Ángulos y figuras planas: polígonos

Para medir ángulos utilizamos el sistema sexagesimal. La unidad principal es el grado (º).

• Un grado se divide en 60 minutos ($1^\circ = 60'$).
• Un minuto se divide en 60 segundos ($1' = 60''$).

Para medir y trazar ángulos usamos el transportador. Según su apertura, los ángulos pueden ser:

• Convexos: Miden menos de $180^\circ$.
• Cóncavos: Miden más de $180^\circ$ pero menos de $360^\circ$.

Los ángulos pueden relacionarse entre sí según su posición o la suma de sus amplitudes:

1. Ángulos consecutivos: Tienen el vértice y un lado en común.
2. Ángulos adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta (suman $180^\circ$).
3. Ángulos opuestos por el vértice: Tienen el vértice común y sus lados son prolongación los del otro. Miden lo mismo.
4. Ángulos complementarios: Dos ángulos que suman exactamente $90^\circ$.
5. Ángulos suplementarios: Dos ángulos que suman exactamente $180^\circ$.

Existe una regla fundamental en la geometría plana que debemos recordar siempre:

• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$.
• La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es siempre $360^\circ$.

Si conocemos dos ángulos de un triángulo, podemos calcular el tercero restando a $180^\circ$ la suma de los conocidos.

Los elementos principales son los lados, los vértices, los ángulos y las diagonales (segmentos que unen dos vértices no consecutivos).

• Polígonos regulares: Todos sus lados y ángulos son iguales.
• Polígonos irregulares: Tienen lados o ángulos diferentes entre sí.

Según su número de lados se llaman: Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5), Hexágono (6), Heptágono (7), Octógono (8), Eneágono (9) y Decágono (10).

Los triángulos se clasifican siguiendo dos criterios:

1. Según sus lados:
   • Equilátero: 3 lados iguales.
   • Isósceles: 2 lados iguales.
   • Escaleno: 3 lados diferentes.
2. Según sus ángulos:
   • Acutángulo: 3 ángulos agudos.
   • Rectángulo: 1 ángulo recto ($90^\circ$).
   • Obtusángulo: 1 ángulo obtuso (más de $90^\circ$).

La base de un triángulo es cualquiera de sus lados, y la altura es el segmento perpendicular que va desde el vértice opuesto a la base.

Los cuadriláteros se dividen en:

• Paralelogramos: Lados paralelos dos a dos. Incluyen el cuadrado (lados y ángulos iguales), rectángulo (ángulos iguales), rombo (lados iguales) y romboide (lados y ángulos iguales dos a dos).
• No paralelogramos: Trapecios (solo dos lados paralelos) y trapezoides (ningún lado paralelo).

El perímetro ($P$) es la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono.

• En un polígono regular de $n$ lados de longitud $L$: $P = n \times L$.
• Se mide en unidades lineales (mm, cm, m, km).

El área mide la superficie interior de la figura. Las fórmulas principales son:

• Cuadrado: $Área = lado \times lado$
• Rectángulo: $Área = base \times altura$
• Triángulo: $Área = \frac{base \times altura}{2}$
• Rombo: $Área = \frac{Diagonal\ mayor \times diagonal\ menor}{2}$
• Trapecio: $Área = \frac{(Base\ mayor + base\ menor) \times altura}{2}$

Para calcular el área de un pentágono, hexágono, etc., usamos el concepto de apotema ($a$), que es la distancia del centro al punto medio de un lado. $Área = \frac{Perímetro \times apotema}{2}$ Esto se debe a que un polígono regular se puede descomponer en tantos triángulos iguales como lados tiene.

La circunferencia es la línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia del centro. El círculo es la superficie interior.

• Radio: Une el centro con cualquier punto.
• Diámetro: Une dos puntos pasando por el centro (equivale a 2 radios).
• Cuerda: Une dos puntos sin pasar necesariamente por el centro.
• Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

Para estos cálculos usamos el número $\pi$ (Pi), cuyo valor aproximado es $3,14$.

• Longitud de la circunferencia ($L$): $L = d \times \pi$ o $L = 2 \times \pi \times r$.
• Área del círculo ($A$): $A = \pi \times r^2$.

• Sector circular: Parte del círculo limitada por dos radios (como una porción de pizza).
• Corona circular: Espacio entre dos circunferencias que tienen el mismo centro.
• Segmento circular: Parte del círculo limitada por una cuerda y su arco.

Las figuras pueden moverse sin cambiar su forma ni su tamaño:

1. Simetría: Una figura es simétrica si al doblarla por un eje de simetría, las dos mitades coinciden.
2. Traslación: Desplazar una figura a lo largo de una línea recta manteniendo su orientación.
3. Giro o rotación: Mover la figura alrededor de un punto fijo un determinado ángulo.

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. La escala es la relación entre las medidas de un dibujo (mapa o plano) y las medidas reales.

• Ejemplo: Escala $1:100$ significa que $1\ cm$ en el papel son $100\ cm$ ($1\ metro$) en la realidad.

Un mosaico es un recubrimiento del plano mediante figuras planas sin dejar huecos ni solaparse.

• Los polígonos regulares que pueden formar mosaicos por sí solos son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular, porque la suma de sus ángulos en un vértice común es exactamente $360^\circ$.

Resumen para el examen:

1. Repasa las fórmulas de las áreas.
2. No olvides que el diámetro es el doble del radio.
3. Asegúrate de sumar bien los ángulos interiores ($180^\circ$ en triángulos).