Figuras planas: polígonos y circunferencia

Un polígono es una figura geométrica plana delimitada por una línea poligonal cerrada. Esto significa que es una porción del plano rodeada por segmentos rectos que se unen entre sí. Si la línea no se cierra o tiene curvas, no es un polígono.

Podemos clasificar los polígonos según su forma en dos grandes grupos:

1. Polígonos convexos: Son aquellos en los que todos sus ángulos interiores miden menos de $180^\circ$. Si trazamos una línea entre dos puntos cualesquiera del interior, la línea siempre queda dentro.
2. Polígonos cóncavos: Tienen al menos un ángulo interior mayor de $180^\circ$. A simple vista, parece que tienen un "hueco" o entrada hacia el interior.

Para entender cómo se construyen estas figuras, debemos identificar sus partes:

• Lados: Son los segmentos de recta que forman el borde del polígono.
• Vértices: Son los puntos donde se encuentran dos lados consecutivos.
• Ángulos interiores: Es la abertura formada por dos lados que se encuentran en un vértice, medida por dentro de la figura.
• Diagonales: Son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Por ejemplo, en un triángulo no existen diagonales, pero en un cuadrado hay dos.

El perímetro ($P$) es la medida del contorno de una figura. Para calcularlo, simplemente debemos realizar la suma de las longitudes de todos sus lados.

• Polígonos regulares: Como todos sus lados miden lo mismo, podemos multiplicar la longitud de un lado ($l$) por el número de lados ($n$).
  • Fórmula: $P = n \times l$
• Polígonos irregulares: Debemos sumar cada lado por separado.
  • Ejemplo: Un triángulo con lados de $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ y $5\text{ cm}$ tiene un perímetro de $3 + 4 + 5 = 12\text{ cm}$.

Las unidades de medida siempre son lineales: milímetros ($\text{mm}$), centímetros ($\text{cm}$), metros ($\text{m}$), etc.

El triángulo es el polígono más sencillo, con solo 3 lados. Según cuánto midan estos lados, se clasifican en:

• Equilátero: Sus tres lados son exactamente iguales.
• Isósceles: Tiene dos lados iguales y uno diferente.
• Escaleno: Sus tres lados tienen medidas distintas.

Si nos fijamos en la amplitud de sus ángulos, encontramos:

• Acutángulo: Sus tres ángulos son agudos (miden menos de $90^\circ$).
• Rectángulo: Tiene un ángulo recto (exactamente $90^\circ$). El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
• Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (mide más de $90^\circ$).

Una de las reglas más importantes de la geometría es que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es $180^\circ$.

Esto nos permite calcular un ángulo desconocido. Si sabemos que dos ángulos miden $50^\circ$ y $60^\circ$, el tercero será: $180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ$

Para construir triángulos con precisión, utilizamos la regla y el compás, asegurándonos siempre de que la suma de los dos lados más cortos sea mayor que el lado más largo (propiedad de la existencia del triángulo).

Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados. Los paralelogramos son un grupo especial donde los lados opuestos son paralelos entre sí.

• Cuadrado: 4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
• Rectángulo: Lados iguales dos a dos y 4 ángulos rectos.
• Rombo: 4 lados iguales, pero sus ángulos no son rectos (iguales dos a dos).
• Romboide: Lados y ángulos iguales dos a dos.

Son cuadriláteros que no tienen todos sus lados opuestos paralelos:

• Trapecios: Tienen solo dos lados paralelos (llamados base mayor y base menor).
• Trapezoides: No tienen ningún lado paralelo. Son figuras totalmente irregulares.

Si dibujamos una diagonal en cualquier cuadrilátero, veremos que se divide en dos triángulos. Como cada triángulo suma $180^\circ$, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es siempre $360^\circ$.

Un polígono es regular cuando todos sus lados miden lo mismo y todos sus ángulos interiores son iguales. Elementos clave:

• Centro: Punto interior que está a la misma distancia de todos los vértices.
• Radio: Segmento que une el centro con un vértice.
• Apotema: Segmento que une el centro con el punto medio de un lado (es perpendicular al lado).

El nombre de los polígonos cambia según cuántos lados tengan:

Un eje de simetría es una línea imaginaria que divide a la figura en dos partes idénticas, como si fuera un espejo.

• En los polígonos regulares, el número de ejes de simetría coincide con el número de lados. Un cuadrado tiene 4 ejes; un pentágono regular, 5.
• Las figuras que no pueden dividirse así se llaman asimétricas.

La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia del centro. Sus elementos son:

• Centro: Punto central equidistante de la línea.
• Radio: Distancia del centro a cualquier punto de la línea.
• Diámetro: Cuerda que pasa por el centro (mide el doble que el radio).
• Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar necesariamente por el centro.
• Arco: Trozo o sección de la circunferencia.

Es vital no confundirlos:

• Circunferencia: Es solo el borde (el "aro").
• Círculo: Es la circunferencia más toda la superficie interior (el "disco").

Dentro del círculo podemos encontrar el sector circular (como una porción de pizza) y el segmento circular (parte cortada por una cuerda).

Una recta respecto a una circunferencia puede ser:

• Exterior: No se tocan.
• Tangente: Toca a la circunferencia en un solo punto.
• Secante: Corta a la circunferencia en dos puntos.

Entre dos circunferencias, pueden ser concéntricas (mismo centro pero distinto radio) o excéntricas (distinto centro).

Para calcular cuánto mide el borde de una circunferencia (su longitud), usamos el número $\pi$ (Pi), que es aproximadamente $3,14$. La fórmula es: $L = d \times \pi \quad \text{o} \quad L = 2 \times \pi \times r$ Donde $d$ es el diámetro y $r$ es el radio.

El área es la medida de la superficie que ocupa una figura. A diferencia del perímetro, se mide en unidades cuadradas:

• Centímetro cuadrado ($\text{cm}^2$): Un cuadrado de $1\text{ cm}$ de lado.
• Metro cuadrado ($\text{m}^2$): Un cuadrado de $1\text{ m}$ de lado.

Calcular estas áreas es muy sencillo mediante multiplicaciones:

• Rectángulo: Se multiplica la base por la altura.
  • $A = \text{base} \times \text{altura}$
• Cuadrado: Como la base y la altura son iguales (lados), se multiplica lado por lado.
  • $A = l \times l = l^2$

Ejemplo: Si una habitación rectangular mide $5\text{ m}$ de largo y $3\text{ m}$ de ancho, su área es $5 \times 3 = 15\text{ m}^2$.

Si cortamos un rectángulo por su diagonal, obtenemos dos triángulos iguales. Por eso, el área de un triángulo es la mitad de la de un rectángulo con su misma base y altura. La fórmula es: $A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$

Es fundamental identificar correctamente la altura ($h$), que es la línea perpendicular que va desde un vértice hasta la base opuesta.