Números decimales

Un número decimal es aquel que está formado por una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma. La parte entera representa unidades completas, mientras que la parte decimal representa una porción de la unidad.

El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que el valor de una cifra depende del lugar que ocupa:

• Décima ($d$): Dividimos la unidad en 10 partes iguales. $1 U = 10 d$.
• Centésima ($c$): Dividimos la unidad en 100 partes iguales. $1 U = 100 c$.
• Milésima ($m$): Dividimos la unidad en 1.000 partes iguales. $1 U = 1.000 m$.

El valor de cada posición es diez veces menor que la posición a su izquierda y diez veces mayor que la de su derecha.

Para leer un número decimal como $12,45$, podemos hacerlo de dos formas:

1. Lectura sencilla: "Doce coma cuarenta y cinco".
2. Lectura técnica: "Doce unidades y cuarenta y cinco centésimas".

Es vital recordar que añadir ceros a la derecha de la parte decimal no cambia el valor del número. Por ejemplo: $0,5 = 0,50 = 0,500$. Sin embargo, los ceros entre la coma y una cifra distinta de cero sí son fundamentales: $0,5$ no es lo mismo que $0,05$.

Para representar decimales, dividimos el segmento entre dos números enteros en partes iguales.

• Si queremos representar décimas, dividimos la unidad en 10 partes.
• Si queremos representar centésimas, dividimos cada décima en otras 10 partes.

Ejemplo: Para situar el $2,3$, buscamos el número $2$ y contamos tres divisiones (décimas) hacia la derecha. Si buscamos el $2,35$, estará justo en la mitad entre el $2,3$ y el $2,4$.

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Para comparar dos números decimales, seguimos estos pasos:

1. Comparamos la parte entera. Es mayor el que tenga la parte entera más grande.
2. Si la parte entera es igual, comparamos las décimas.
3. Si las décimas son iguales, comparamos las centésimas, y así sucesivamente.

Truco: Para no confundirte, iguala el número de cifras decimales añadiendo ceros.

• ¿Qué es mayor, $8,5$ o $8,47$?
• Añadimos un cero: $8,50$ frente a $8,47$.
• Como $50 > 47$, entonces $8,5 > 8,47$.

A veces no necesitamos todas las cifras decimales y preferimos una aproximación.

• Truncamiento: Consiste en "cortar" el número por la cifra indicada, eliminando las demás.
  • Ejemplo: $4,567$ truncado a las centésimas es $4,56$.
• Redondeo: Nos fijamos en la cifra siguiente a la que queremos aproximar.
  • Si es menor que 5 (0, 1, 2, 3, 4), la cifra se queda igual.
  • Si es 5 o mayor (5, 6, 7, 8, 9), sumamos uno a la cifra.
  • Ejemplo: $4,567$ redondeado a las centésimas es $4,57$ (porque la siguiente cifra es un 7).

A diferencia de los números naturales, los decimales son densos. Esto significa que entre dos números decimales cualesquiera, siempre existen infinitos números decimales.

• Ejemplo: Entre $0,1$ y $0,2$ están $0,11, 0,12, 0,125, 0,1999...$

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La regla de oro es la alineación. Debemos colocar los números en columna de modo que las comas coincidan en la misma vertical.

• Si un número tiene menos cifras decimales que otro, rellenamos con ceros para evitar errores, especialmente en la resta.

\begin{array}{r@{\quad}l} 12,50 \\ + 3,75 \\ \hline 16,25 \end{array}

1. Multiplicamos los números como si no tuvieran coma (como si fueran enteros).
2. Contamos el total de cifras decimales que tienen entre los dos factores.
3. Colocamos la coma en el resultado, contando desde la derecha tantos lugares como cifras decimales totales hemos contado.

Multiplicación por potencias de 10: Para multiplicar por $10, 100, 1000...$, movemos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia. Si faltan cifras, añadimos ceros.

• $4,56 \times 100 = 456$

Existen tres casos principales:

1. Decimal entre entero: Dividimos normalmente. Al bajar la primera cifra decimal del dividendo, ponemos una coma en el cociente.
2. Entero entre decimal: Debemos quitar la coma del divisor. Para ello, multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor.
   • $10 \div 0,5 \rightarrow 100 \div 5 = 20$.
3. Decimal entre decimal: Igualamos o quitamos comas multiplicando ambos por la misma potencia de 10 hasta que el divisor sea entero.

Para dividir por $10, 100, 1000...$, movemos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor.

• $25,8 \div 10 = 2,58$
• $3,4 \div 100 = 0,034$

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Una fracción es, en realidad, una división indicada. Para obtener el decimal, dividimos el numerador entre el denominador ($\frac{a}{b} = a \div b$). Podemos obtener tres tipos de resultados:

• Decimal exacto: Tiene un número limitado de cifras decimales (ej. $\frac{1}{2} = 0,5$).
• Periódico puro: La parte decimal se repite infinitamente justo después de la coma (ej. $\frac{1}{3} = 0,333... = 0,\widehat{3}$).
• Periódico mixto: El periodo (la parte que se repite) empieza después de algunas cifras decimales no repetidas (ej. $0,1666... = 0,1\widehat{6}$).

Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10 ($10, 100, 1000...$).

• $\frac{7}{10} = 0,7$
• $\frac{13}{100} = 0,13$ Estas fracciones son muy fáciles de convertir porque solo requieren mover la coma.

Es la fracción irreducible que da origen a un número decimal. Para decimales exactos, el proceso es sencillo:

1. Numerador: El número completo sin coma.
2. Denominador: La unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tuviera el número.
3. Simplificar la fracción hasta que sea irreducible.
   • Ejemplo: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

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En el sistema del Euro (€), utilizamos dos cifras decimales para los céntimos ($1€ = 100$ céntimos).

• Si compramos un libro de $12,45€$ y pagamos con un billete de $20€$, la vuelta se calcula restando: $20,00 - 12,45 = 7,55€$.

El Sistema Métrico Decimal utiliza los decimales para expresar cantidades que no son exactas.

• Longitud: $1,75$ metros son $175$ centímetros.
• Masa: Si una bolsa de manzanas pesa $2,4$ kg y cada kg cuesta $1,50€$, multiplicamos para saber el precio total: $2,4 \times 1,5 = 3,60€$.

Al resolver problemas complejos, debemos respetar la jerarquía de operaciones:

1. Paréntesis y corchetes.
2. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
3. Sumas y restas.

Consejo final: Siempre analiza si el resultado tiene sentido. Si compras tres cuadernos a $1,20€$ cada uno, el resultado no puede ser $36€$ ni $0,36€$; debe estar cerca de los $3€$ o $4€$. La coma decimal cambia drásticamente el valor de las cosas.