Interacción gravitatoria

La Ley de Gravitación Universal, formulada por Isaac Newton en 1687, supuso uno de los hitos más importantes de la ciencia. Por primera vez, se unificó la física terrestre (la caída de los objetos) con la física celeste (el movimiento de los planetas).

Newton estableció que dos cuerpos cualesquiera, por el simple hecho de tener masa, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Matemáticamente:

$F = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

Donde:

• $G$ es la constante de gravitación universal, cuyo valor es $6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Es una constante extremadamente pequeña, lo que explica por qué solo percibimos la gravedad cuando al menos uno de los cuerpos tiene una masa colosal (como un planeta).
• La fuerza es siempre atractiva y actúa en la línea que une los centros de masas de los cuerpos.
• Es una fuerza central, lo que implica que el momento de la fuerza respecto al centro de atracción es nulo y, por tanto, el momento angular se conserva.

La fuerza gravitatoria no es solo un número; es un vector. Si queremos expresar la fuerza que la masa $M$ ejerce sobre la masa $m$, utilizamos la forma vectorial:

$\vec{F} = -G \frac{M \cdot m}{r^2} \vec{u}_r$

Aquí, $\vec{u}_r$ es un vector unitario que apunta desde $M$ hacia $m$. El signo negativo indica que la fuerza tiene sentido opuesto al vector unitario, es decir, es atractiva.

Un aspecto fundamental es el principio de superposición: si una masa está rodeada de varias masas, la fuerza total sobre ella es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las otras masas: $\vec{F}_{total} = \sum \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n$

Antes de Newton, Johannes Kepler ya había descrito cómo se movían los planetas mediante sus tres leyes empíricas. Newton demostró que sus leyes de la dinámica y la gravitación explicaban matemáticamente las observaciones de Kepler.

Es vital distinguir entre dos conceptos de masa:

1. Masa inercial: La resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento ($F = m_i a$).
2. Masa gravitatoria: La capacidad de un cuerpo para atraer a otros o ser atraído ($F = m_g g$).

El Principio de Equivalencia establece que ambas masas son iguales, lo que permite que todos los cuerpos caigan con la misma aceleración en el vacío. Además, debemos recordar que la interacción gravitatoria tiene un alcance infinito, aunque su intensidad disminuye rápidamente con la distancia.

Para evitar la idea de "acción a distancia" instantánea, la física utiliza el concepto de campo. Una masa $M$ altera las propiedades del espacio que la rodea. Cuando introducimos una masa testigo $m$ en esa región, esta experimenta una fuerza.

La intensidad de campo gravitatorio ($\vec{g}$) en un punto es la fuerza gravitatoria que actuaría sobre la unidad de masa colocada en dicho punto:

$\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r$

Sus unidades en el Sistema Internacional son $\text{N/kg}$ (o $\text{m/s}^2$). Las líneas de campo son una herramienta visual para representar el campo: son líneas radiales que apuntan hacia la masa central, indicando la dirección y el sentido de la fuerza sobre una masa de prueba.

En la superficie de la Tierra, el valor medio de $g$ es aproximadamente $9,8 \, \text{m/s}^2$. Sin embargo, este valor no es constante:

• Variación con la altura: A medida que nos alejamos del centro de la Tierra ($h > 0$), la gravedad disminuye según la fórmula $g = G \frac{M_T}{(R_T + h)^2}$.
• Interior de la Tierra: Si pudiéramos bajar hacia el centro, la gravedad disminuiría linealmente hasta ser cero en el centro, ya que solo la masa contenida en la esfera "debajo" de nosotros ejercería atracción neta.

Es importante diferenciar entre peso ($\vec{P} = m\vec{g}$) y fuerza gravitatoria. El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a un cuerpo, e incluye efectos menores como la rotación terrestre, aunque a menudo se usan como sinónimos en problemas simplificados.

Al igual que con la fuerza, el campo gravitatorio resultante en un punto debido a varias masas es la suma vectorial de los campos creados por cada una: $\vec{g}_{total} = \sum \vec{g}_i$

Existen puntos especiales llamados puntos de Lagrange, donde las fuerzas gravitatorias de dos cuerpos masivos (como la Tierra y la Luna) se compensan, permitiendo que un objeto permanezca en una posición relativa fija.

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, lo que significa que el trabajo realizado por ella no depende de la trayectoria, solo de los puntos inicial y final. Esto nos permite definir la energía potencial gravitatoria ($E_p$).

Para una masa $m$ a una distancia $r$ de una masa $M$, la energía potencial se define como: $E_p = -G \frac{M \cdot m}{r}$

Nota importante sobre el signo: El origen de energía potencial ($E_p = 0$) se sitúa por convenio en el infinito. Como la fuerza es atractiva, debemos realizar trabajo en contra del campo para separar las masas; por tanto, en cualquier punto cercano a la masa, la energía potencial es negativa.

El potencial gravitatorio ($V$) es una magnitud escalar que describe el campo independientemente de la masa que coloquemos en él. Es la energía potencial por unidad de masa: $V = \frac{E_p}{m} = -G \frac{M}{r}$ Su unidad es el $\text{J/kg}$. Las superficies equipotenciales son aquellas donde el potencial es constante (en una masa puntual, son esferas concéntricas). El campo gravitatorio siempre apunta hacia donde el potencial disminuye más rápidamente.

En un campo gravitatorio, si no actúan fuerzas no conservativas (como el rozamiento), la energía mecánica total ($E_m$) se conserva: $E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r} = \text{constante}$

Esta propiedad es fundamental para resolver problemas de movimiento planetario y lanzamientos, permitiendo calcular velocidades en diferentes puntos sin conocer los detalles de la trayectoria.

Para que un satélite describa una órbita circular, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta: $F_g = F_c \implies G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

De aquí deducimos la velocidad orbital: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$. Si sustituimos $v = \frac{2\pi r}{T}$, obtenemos la Tercera Ley de Kepler: $T^2 = \left( \frac{4\pi^2}{GM} \right) r^3$ El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita.

Un caso especial son los satélites geoestacionarios, que orbitan sobre el ecuador con un periodo de 24 horas, permaneciendo siempre sobre el mismo punto de la Tierra.

En una órbita circular, existe una relación fija entre las energías:

1. Energía Cinética: $E_c = \frac{1}{2} G \frac{Mm}{r}$
2. Energía Potencial: $E_p = -G \frac{Mm}{r}$
3. Energía Mecánica (Total): $E_m = E_c + E_p = -\frac{1}{2} G \frac{Mm}{r}$

La energía total es la mitad de la energía potencial y tiene signo negativo. Este signo negativo indica que el satélite está "atrapado" en un estado ligado.

Para que un objeto escape totalmente de la atracción gravitatoria de un planeta, su energía mecánica total debe ser al menos cero ($E_m \geq 0$). La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para llegar al infinito con velocidad cero: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ Para la Tierra, este valor es de aproximadamente $11,2 \, \text{km/s}$.

Aunque muchas órbitas son casi circulares, la forma general es la elipse (1ª Ley de Kepler). En estas órbitas:

• El momento angular ($\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$) se conserva porque la fuerza es central.
• Esto implica la 2ª Ley de Kepler: el vector radio barre áreas iguales en tiempos iguales (velocidad aerolar constante).
• Como consecuencia, el satélite se mueve más rápido en el perihelio (punto más cercano) que en el afelio (punto más lejano).