Campo gravitatorio terrestre

Isaac Newton postuló que la gravedad es una fuerza central y atractiva que actúa entre todas las masas del universo. Esta ley establece que dos cuerpos puntuales de masas $m_1$ y $m_2$ se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $r$ que las separa.

La expresión vectorial es: $\vec{F} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{u}_r$

Donde:

• $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ es la Constante de Gravitación Universal.
• El signo negativo indica que la fuerza es siempre atractiva (dirigida hacia la masa que crea el campo).
• $\vec{u}_r$ es el vector unitario en la dirección de la recta que une ambas masas.

La gravedad es una fuerza de alcance infinito, aunque su intensidad disminuye rápidamente con la distancia debido a la dependencia con $1/r^2$.

Para evitar la idea de "acción a distancia", introducimos el concepto de campo gravitatorio. Una masa $M$ perturba el espacio a su alrededor, creando un campo de fuerzas.

La intensidad de campo gravitatorio ($\vec{g}$) en un punto se define como la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa colocada en dicho punto: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r$

• Líneas de campo: Son líneas imaginarias que indican la dirección de la fuerza. En el caso de una masa puntual, son radiales y hacia el centro.
• Superficies equipotenciales: Son los lugares geométricos donde el potencial es constante. Para una masa puntual, son esferas concéntricas.
• Principio de superposición: Si existen varias masas, el campo total en un punto es la suma vectorial de los campos creados por cada una: $\vec{g}_{total} = \sum \vec{g}_i$.

El campo gravitatorio es conservativo, lo que permite definir magnitudes escalares que facilitan los cálculos energéticos.

1. Energía Potencial Gravitatoria ($E_p$): Es el trabajo que realiza el campo para trasladar una masa $m$ desde el infinito hasta un punto $r$. $E_p = -G \frac{M m}{r}$ Se toma el origen de energías en el infinito ($E_p = 0$ cuando $r \to \infty$). Por tanto, la $E_p$ es siempre negativa.

2. Potencial Gravitatorio ($V$): Es la energía potencial por unidad de masa. $V = \frac{E_p}{m} = -G \frac{M}{r}$

3. Trabajo realizado por el campo: El trabajo para mover una masa entre dos puntos A y B es $W_{A \to B} = -\Delta E_p = E_{pA} - E_{pB}$. Si el trabajo es positivo, el campo realiza el trabajo de forma espontánea.

El valor de $g$ en la superficie de la Tierra es aproximadamente $9,8 \, \text{m/s}^2$, pero no es constante.

• Variación con la altura: A medida que nos alejamos del centro de la Tierra ($h > 0$), la distancia es $R_T + h$. $g_h = G \frac{M_T}{(R_T + h)^2}$
• Influencia de la latitud y rotación: La Tierra no es una esfera perfecta (está achatada por los polos). Además, la rotación genera una aceleración centrífuga que resta valor a la gravedad efectiva, siendo mínima en el ecuador y máxima en los polos.

La masa es una propiedad intrínseca de la materia, mientras que el peso es la fuerza gravitatoria con la que la Tierra atrae a esa masa ($\vec{P} = m \cdot \vec{g}$).

Para alturas muy pequeñas comparadas con el radio terrestre ($h \ll R_T$), la expresión de la energía potencial se simplifica. Si establecemos el origen de energía ($E_p = 0$) en la superficie terrestre: $\Delta E_p = E_{p(R+h)} - E_{p(R)} \approx mgh$ Esta es la fórmula clásica de la mecánica elemental. Es fundamental recordar que $mgh$ es una aproximación válida solo cerca de la superficie, mientras que $-G \frac{Mm}{r}$ es la expresión general.

La velocidad de escape ($v_e$) es la velocidad mínima que debe comunicarse a un cuerpo para que venza la atracción gravitatoria y se aleje indefinidamente (llegue al infinito con velocidad cero).

Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica ($E_{mec} = E_c + E_p$): $E_{mec}(\text{superficie}) = E_{mec}(\infty) \implies \frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M_T m}{R_T} = 0$ Despejando: $v_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T}}$ Para la Tierra, $v_e \approx 11,2 \, \text{km/s}$. Es importante notar que esta velocidad es independiente de la masa del objeto que escapa.

Johannes Kepler describió el movimiento planetario mediante tres leyes empíricas que Newton explicaría más tarde:

1. Primera Ley (Órbitas): Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos.
2. Segunda Ley (Áreas): El radio vector que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que la velocidad es mayor en el perihelio (punto más cercano) que en el afelio (punto más lejano).
3. Tercera Ley (Periodos): El cuadrado del periodo orbital ($T$) es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita ($a$). $T^2 = k \cdot a^3$

Para que un satélite mantenga una órbita circular de radio $r$, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta: $F_g = F_c \implies G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

De aquí obtenemos la velocidad orbital: $v_o = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$

• Satélites geoestacionarios: Son aquellos que permanecen siempre sobre el mismo punto del ecuador terrestre. Su periodo es igual al de rotación de la Tierra ($T = 24 \, \text{h}$). Se sitúan a una altura aproximada de $35.786 \, \text{km}$.

La energía mecánica total de un satélite en órbita (también llamada energía de enlace) es la suma de su energía cinética y potencial: $E_m = \frac{1}{2} m v_o^2 - G \frac{M_T m}{r}$ Sustituyendo la velocidad orbital, obtenemos: $E_m = -\frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}$ La energía mecánica de un satélite en órbita estable es siempre negativa e igual a la mitad de su energía potencial. Si queremos cambiar a una órbita de mayor radio, debemos aportar energía (trabajo externo).

La Tierra y la Luna forman un sistema vinculado. Ambos cuerpos orbitan alrededor de su centro de masas común, que se encuentra dentro de la Tierra debido a la gran diferencia de masas.

• Mareas: Son causadas por el gradiente de la fuerza gravitatoria lunar a través del diámetro terrestre. La cara de la Tierra más cercana a la Luna siente una atracción mayor que el centro, y esta mayor que la cara opuesta, provocando el abombamiento de las masas oceánicas.

En un sistema de dos cuerpos grandes (como Tierra-Sol), existen cinco puntos de equilibrio llamados puntos de Lagrange (L1 a L5). En estos puntos, las fuerzas gravitatorias combinadas y la fuerza centrífuga se compensan, permitiendo que un objeto pequeño permanezca en una posición relativa fija.

• El punto L2 es famoso por albergar telescopios espaciales como el James Webb, ya que permite una observación estable del cosmos protegiéndose de la radiación solar y terrestre.

La gravitación permite determinar masas de cuerpos celestes midiendo sus periodos y radios orbitales.

• Anomalías gravitatorias: Diferencias en el valor de $g$ local sirven para prospecciones geológicas (detección de minerales o petróleo).
• Límites: Aunque la mecánica clásica de Newton es excelente para el sistema solar, en campos gravitatorios extremadamente intensos (agujeros negros) o para mediciones de altísima precisión (GPS), es necesario recurrir a la Relatividad General de Einstein.