Fuerzas de la naturaleza: gravitatoria y elástica

Isaac Newton formuló en 1687 que cualquier par de masas en el universo se atraen mutuamente. La Ley de Gravitación Universal establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Matemáticamente se expresa como: $F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

Donde:

• $G$ es la constante de gravitación universal, cuyo valor es $6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Es un valor extremadamente pequeño, lo que explica por qué solo notamos la gravedad cuando al menos una de las masas es astronómica.
• $r$ es la distancia entre los centros de masa.
• La fuerza es siempre atractiva y actúa en la línea que une los centros de los cuerpos (fuerza central).

La gravedad es una fuerza de alcance infinito, aunque su intensidad disminuye rápidamente con la distancia debido al factor $1/r^2$.

Aunque en los cálculos cotidianos usamos el término "masa" de forma genérica, existen dos conceptos teóricos distintos:

1. Masa inercial: Mide la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento (aparece en la 2ª Ley de Newton, $F=ma$).
2. Masa gravitatoria: Mide la capacidad de un cuerpo para atraer a otros o ser atraído por ellos.

El Principio de Equivalencia de Einstein postula que ambas son indistinguibles. Es fundamental entender que la masa es una propiedad intrínseca (se mide en kg), mientras que el peso es la fuerza con la que la Tierra nos atrae ($P = m \cdot g$) y varía según el lugar del universo donde nos encontremos.

Cuando tenemos un sistema de varias partículas, la fuerza total sobre una de ellas es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por las demás. Esto se conoce como el Principio de Superposición.

Si queremos calcular la fuerza resultante sobre una masa $M$ debida a varias masas $m_i$: $\vec{F}_{total} = \sum \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n$

Para resolver estos problemas, es vital dibujar los vectores de fuerza y descomponerlos en sus componentes cartesianas ($x, y$) antes de sumar.

La intensidad del campo gravitatorio ($\vec{g}$) en un punto es la fuerza que experimentaría la unidad de masa colocada en ese punto. $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r$

• En el Sistema Internacional se mide en $\text{N/kg}$ o $\text{m/s}^2$.
• En la superficie terrestre, su valor medio es $9,8 \, \text{m/s}^2$.
• La gravedad disminuye con la altura, ya que $g$ es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra ($R_T + h$).

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, lo que significa que el trabajo realizado por ella no depende del camino seguido, sino solo de los puntos inicial y final. Esto nos permite definir una energía potencial.

La expresión general para la energía potencial entre dos masas es: $E_p = -G \frac{M \cdot m}{r}$

El signo negativo es un convenio: indica que el sistema está ligado y que la energía es cero en el infinito. A medida que un objeto se acerca a la Tierra, su $E_p$ disminuye (se hace más negativa).

El potencial gravitatorio ($V$) es la energía potencial por unidad de masa: $V = \frac{E_p}{m} = -G \frac{M}{r}$

Se mide en $\text{J/kg}$. Las superficies equipotenciales son lugares del espacio donde el potencial es el mismo (en una masa puntual, son esferas concéntricas). Mover una masa a lo largo de una superficie equipotencial no requiere trabajo gravitatorio.

Johannes Kepler describió el movimiento planetario con tres leyes fundamentales:

1. 1ª Ley: Los planetas describen órbitas elípticas, con el Sol en uno de sus focos.
2. 2ª Ley: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (implica que el planeta va más rápido en el perihelio que en el afelio).
3. 3ª Ley: El cuadrado del periodo orbital ($T$) es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita ($r$): $T^2 = k \cdot r^3$

Para que un satélite mantenga una órbita circular, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta: $G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

De aquí despejamos la velocidad orbital: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$. Un caso especial son los satélites geoestacionarios, que orbitan sobre el ecuador con un periodo de 24 horas, pareciendo fijos desde la Tierra. Son esenciales para las telecomunicaciones.

La energía mecánica total de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética y potencial: $E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r} = -\frac{1}{2}G\frac{Mm}{r}$

La energía total de un cuerpo en órbita es siempre negativa, lo que indica que está "atrapado" por el campo gravitatorio. La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo escape de la atracción gravitatoria ($E_m = 0$): $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Cuando deformamos un muelle, este ejerce una fuerza de restauración proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto: $\vec{F} = -k \cdot \Delta\vec{x}$

• $k$ es la constante elástica (N/m), que depende de la rigidez del muelle.
• El signo negativo indica que la fuerza siempre intenta devolver al objeto a su posición de equilibrio.
• Esta ley solo es válida dentro del límite de elasticidad; si se estira demasiado, el material se deforma permanentemente.

Si aplicamos la 2ª Ley de Newton a un muelle ($F = ma$), obtenemos una ecuación diferencial cuyo resultado es un movimiento periódico. La relación entre la masa y la constante elástica define la rapidez de la oscilación: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ Donde $\omega$ es la frecuencia angular. El periodo de oscilación es $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

En un sistema masa-muelle ideal (sin rozamiento), la energía mecánica se conserva.

• Energía Potencial Elástica: $E_{pe} = \frac{1}{2} k x^2$
• Energía Cinética: $E_c = \frac{1}{2} m v^2$

En los extremos de la oscilación, la energía es puramente potencial. En el punto de equilibrio, la energía es puramente cinética y la velocidad es máxima.

El Movimiento Armónico Simple (MAS) es aquel cuya posición sigue una función senoidal o cosenoidal: $x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$

El MAS es la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Esta analogía permite entender por qué las funciones trigonométricas describen tan bien las oscilaciones de los muelles y otros sistemas físicos.