Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada surge cuando tenemos información adicional que restringe nuestro espacio muestral. Si sabemos que ha ocurrido un suceso $B$, la probabilidad de que ocurra $A$ ya no se calcula sobre todo el espacio $\Omega$, sino únicamente sobre los casos en los que $B$ es cierto.

La notación utilizada es $P(A|B)$, que se lee como "probabilidad de $A$ dado $B$". La fórmula fundamental es:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ siempre que } P(B) > 0$

El efecto principal de la condición es la reducción del espacio muestral. Por ejemplo, si lanzamos un dado y sabemos que ha salido un número par (suceso $B$), la probabilidad de que sea un 6 (suceso $A$) ya no es $1/6$, sino $1/3$, porque ahora nuestro "mundo" solo contiene los resultados $\{2, 4, 6\}$.

Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no altera en absoluto la probabilidad del otro. Formalmente, $A$ y $B$ son independientes si:

$P(A|B) = P(A) \quad \text{o bien} \quad P(B|A) = P(B)$

De aquí se deriva la condición de independencia más utilizada en ejercicios: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Si esta igualdad no se cumple, decimos que los sucesos son dependientes. Es vital no confundir sucesos independientes con sucesos incompatibles (o disjuntos).

• Incompatibles: No pueden ocurrir a la vez ($P(A \cap B) = 0$).
• Independientes: La ocurrencia de uno no da información sobre el otro.

La probabilidad condicionada cumple con la axiomática de Kolmogórov, lo que implica:

1. Rango de valores: $0 \leq P(A|B) \leq 1$.
2. Suceso contrario: $P(\bar{A}|B) = 1 - P(A|B)$. Ojo: La condición $B$ no se cambia, solo el suceso que queremos analizar.
3. Si $A$ es el suceso seguro ($\Omega$), entonces $P(\Omega|B) = 1$.

A partir de la definición de probabilidad condicionada, podemos despejar la probabilidad de la intersección (que ocurran ambos sucesos):

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Esta regla es especialmente útil en experimentos que ocurren en etapas. Para $n$ sucesos, la fórmula se generaliza (Regla de la Cadena): $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2)$

Un contexto típico en EvAU son las extracciones:

• Con reemplazamiento: Los sucesos son independientes (la probabilidad no cambia).
• Sin reemplazamiento: Los sucesos son dependientes (la probabilidad cambia en cada paso).

El diagrama de árbol es la herramienta gráfica más potente para visualizar experimentos compuestos.

• Cada rama representa un suceso condicionado a los anteriores.
• La probabilidad de un camino completo es el producto de las probabilidades de sus ramas (Regla del producto).
• La suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre 1.

Cuando los datos nos vienen dados en frecuencias absolutas de dos variables cruzadas (por ejemplo: hombres/mujeres y fuman/no fuman), las tablas de contingencia simplifican mucho el trabajo.

Las probabilidades marginales se encuentran en los totales de las filas y columnas. La probabilidad condicionada se identifica visualmente dividiendo una celda interior por el total de su fila o columna correspondiente.

Para aplicar este teorema, necesitamos un sistema completo de sucesos $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$. Esto significa que:

1. Son incompatibles entre sí ($A_i \cap A_j = \emptyset$).
2. Su unión cubre todo el espacio muestral ($\cup A_i = \Omega$).
3. La suma de sus probabilidades es igual a 1 ($P(A_1) + ... + P(A_n) = 1$).

Si queremos calcular la probabilidad de un suceso $B$ que puede ocurrir a través de distintos caminos (causas $A_i$), sumamos las probabilidades de todos esos caminos. La fórmula es:

$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)$

En un diagrama de árbol, esto equivale a identificar todas las ramas finales donde aparece $B$ y sumar sus probabilidades.

Un ejemplo clásico es una fábrica con tres máquinas ($A_1, A_2, A_3$) que producen piezas defectuosas ($D$). Para saber la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa, calculamos: $P(D) = P(A_1)P(D|A_1) + P(A_2)P(D|A_2) + P(A_3)P(D|A_3)$ Este cálculo nos da el efecto final o la probabilidad global del suceso.

El Teorema de Bayes es el proceso inverso al de la Probabilidad Total. Si sabemos que ya ha ocurrido el efecto ($B$), ¿cuál es la probabilidad de que se deba a una causa específica ($A_i$)?

$P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$

Donde el denominador $P(B)$ se calcula mediante el Teorema de la Probabilidad Total visto anteriormente.

Es muy común en medicina para evaluar la validez de un test:

• Sensibilidad: $P(\text{Test}+ | \text{Enfermo})$.
• Especificidad: $P(\text{Test}- | \text{Sano})$.
• Falso positivo: Alguien sano que da positivo.
• Falso negativo: Alguien enfermo que da negativo.

Bayes permite calcular el Valor Predictivo Positivo: la probabilidad de estar realmente enfermo si el test ha dado positivo.

El Teorema de Bayes permite actualizar creencias. Empezamos con unas probabilidades "a priori" y, tras observar una evidencia o resultado, obtenemos probabilidades "a posteriori" más precisas. Es la base de la estadística moderna y la inteligencia artificial.

En el examen, el mayor reto es traducir el lenguaje natural al lenguaje matemático.

1. Identifica los sucesos principales: Nómbralos claramente (ej. $V$: viajar, $T$: trabajar).
2. Distingue la pregunta:
   • Si preguntan por la probabilidad de que ocurran dos cosas a la vez: Intersección ($P(A \cap B)$).
   • Si preguntan por la probabilidad de un suceso final: Probabilidad Total ($P(B)$).
   • Si dan un dato conocido ("sabiendo que...") y preguntan por el origen: Bayes ($P(A|B)$).

• Confundir $P(A|B)$ con $P(A \cap B)$: La intersección es "probabilidad de ser mujer y fumar", la condicionada es "probabilidad de fumar sabiendo que es mujer".
• No verificar la suma: En el diagrama de árbol, comprueba siempre que las ramas que parten de un punto suman 1.
• Olvidar el denominador en Bayes: Muchos alumnos solo calculan el numerador (la rama específica) y olvidan dividir por la probabilidad total del suceso observado.

1. Urnas y bolas: "Se extrae una bola de la urna A y se pasa a la B...". Requiere árbol y cuidado con el cambio de composición de la segunda urna.
2. Control de calidad: "El 5% de los productos son defectuosos...". Suele pedir probabilidad total de defectuoso y Bayes para saber de qué máquina proviene.
3. Encuestas sociales: "El 60% de los jóvenes lee, el 40% no...". Ideal para resolver mediante tablas de contingencia si dan datos cruzados.