Probabilidad y Teorema de Bayes

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con exactitud, incluso si se repite en las mismas condiciones (por ejemplo, lanzar un dado o realizar una encuesta electoral).

• Espacio muestral ($E$): Es el conjunto de todos los resultados posibles.
• Suceso: Cualquier subconjunto del espacio muestral.
  • Suceso elemental: Formado por un único resultado.
  • Suceso compuesto: Formado por varios resultados elementales.
• Tipos de sucesos:
  • Compatibles: Si pueden ocurrir a la vez ($A \cap B \neq \emptyset$).
  • Incompatibles: Si es imposible que ocurran simultáneamente ($A \cap B = \emptyset$).

Al igual que con los conjuntos, podemos operar con sucesos para definir situaciones más complejas:

1. Unión ($A \cup B$): Ocurre A, ocurre B o ambos.
2. Intersección ($A \cap B$): Ocurren A y B al mismo tiempo.
   • Si dos sucesos son incompatibles, su intersección es el suceso vacío ($\emptyset$).
3. Suceso contrario o complementario ($\bar{A}$): Ocurre cuando no ocurre A. Se cumple que $A \cup \bar{A} = E$.

Leyes de De Morgan: Son esenciales para simplificar cálculos complejos:

• $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ (El contrario de la unión es la intersección de los contrarios).
• $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ (El contrario de la intersección es la unión de los contrarios).

Para calcular probabilidades, a menudo necesitamos contar cuántos casos favorables existen.

• Principio de multiplicación: Si un evento puede ocurrir de $n$ formas y otro de $m$ formas, ambos ocurren de $n \cdot m$ formas.
• Permutaciones: Importa el orden y se usan todos los elementos ($P_n = n!$).
• Variaciones: Importa el orden pero no se usan todos los elementos ($V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$).
• Combinaciones: No importa el orden de los elementos ($C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$). Son vitales en Ciencias Sociales para formar comités o grupos de control.

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Existen dos formas principales de entender la probabilidad antes de entrar en fórmulas complejas:

1. Regla de Laplace: Si todos los resultados son equiprobables (tienen la misma probabilidad): $P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$
2. Definición Frecuencial: Basada en la Ley de los Grandes Números. Si repetimos un experimento muchísimas veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en un valor fijo, que llamamos probabilidad. Esto permite calcular probabilidades a posteriori tras observar datos reales.

Andrey Kolmogorov estableció las reglas mínimas que debe cumplir cualquier probabilidad:

1. $0 \leq P(A) \leq 1$ (La probabilidad es un número entre 0 y 1).
2. $P(E) = 1$ (La probabilidad del suceso seguro es 1).
3. Si $A$ y $B$ son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Consecuencias directas:

• Suceso contrario: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
• Suceso imposible: $P(\emptyset) = 0$.
• Unión de sucesos compatibles: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

En sociología o economía, no lanzamos dados, sino que analizamos encuestas. La probabilidad se interpreta como la proporción de la población que cumple una característica. Por ejemplo, si en una muestra de 1000 personas, 450 están en paro, estimamos que la probabilidad de desempleo en esa región es 0,45.

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La probabilidad de un suceso $A$ puede cambiar si sabemos que ya ha ocurrido otro suceso $B$. Esto se escribe $P(A|B)$ (probabilidad de A dado B).

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Esto implica una restricción del espacio muestral: ya no miramos todos los casos posibles de $E$, sino solo aquellos donde ocurre $B$. De aquí surge la Regla del Producto: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Decimos que dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no influye en la probabilidad del otro.

• Condición matemática: $A$ y $B$ son independientes si y solo si ==$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$==.
• Nota importante: No confundir "independientes" con "incompatibles". Los sucesos incompatibles son muy dependientes: si ocurre uno, el otro ya no puede ocurrir.

Son herramientas excelentes para organizar datos cualitativos. Permiten cruzar dos variables (ej. Género y Hábito de fumar).

A partir de aquí, las probabilidades marginales son los totales de las filas o columnas (ej. $P(H) = 50/100$), y las condicionadas se calculan sobre una fila o columna específica (ej. $P(F|M) = 15/50$).

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Son representaciones gráficas útiles para experimentos compuestos (sucesivos).

• En cada nudo, la suma de las probabilidades de las ramas debe ser 1.
• Para hallar la probabilidad de un camino, multiplicamos las probabilidades de las ramas.
• Para hallar la probabilidad de varios caminos que llevan al mismo fin, sumamos sus resultados.

Si tenemos una partición del espacio muestral $A_1, A_2, ..., A_n$ (sucesos que cubren todo $E$ y no se solapan), la probabilidad de cualquier suceso $B$ se calcula sumando su intersección con cada parte:

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + \dots + P(A_n) \cdot P(B|A_n)$

Ejemplo: Si una empresa compra piezas a tres proveedores (A, B y C), la probabilidad de que una pieza sea defectuosa depende de qué proveedor venga y cuánto le compremos a cada uno.

Es el concepto más potente del tema. Permite calcular la probabilidad de una causa dado un efecto observado (probabilidad inversa).

$P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$

Donde $P(B)$ es la probabilidad total calculada anteriormente. El Teorema de Bayes nos permite actualizar nuestras creencias iniciales a medida que obtenemos nueva información.

1. Tests Médicos: Un test puede dar un "falso positivo" (dar positivo cuando el paciente está sano). Bayes permite calcular la probabilidad real de estar enfermo si el test dio positivo, lo cual suele ser sorprendentemente bajo si la enfermedad es rara.
2. Control de Calidad: Si detectamos un producto defectuoso en una tienda, Bayes nos ayuda a determinar qué máquina o fábrica tiene más probabilidades de haberlo producido para corregir el fallo.
3. Ciencias Sociales: Evaluación del impacto de políticas públicas o interpretación de encuestas de opinión donde los encuestados pueden no decir la verdad (sesgos de respuesta).

Resumen para el examen:

• Asegúrate de saber si los sucesos son dependientes o independientes antes de multiplicar.
• Dibuja siempre un diagrama de árbol en problemas de etapas.
• Recuerda que el Teorema de Bayes siempre tiene la Probabilidad Total en el denominador.