Muestreo estadístico

En estadística, la población es el conjunto completo de individuos, objetos o eventos que presentan una característica común que deseamos estudiar. Cada elemento individual se denomina unidad estadística.

Sin embargo, estudiar a toda la población suele ser imposible por tiempo o coste. Por ello, seleccionamos una muestra, que es un subconjunto representativo de la población.

• Representatividad: Una muestra es representativa si refleja fielmente las características de la población.
• Sesgo de selección: Ocurre cuando la muestra no es representativa (por ejemplo, preguntar sobre hábitos de lectura solo a la salida de una biblioteca). Para evitar el sesgo, la selección debe ser aleatoria.

Es aquel en el que todos los individuos tienen una probabilidad conocida de ser elegidos. Tipos principales:

1. Muestreo Aleatorio Simple (MAS): Todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Se asigna un número a cada uno y se eligen al azar.
2. Muestreo Sistemático: Se elige un individuo al azar y, a partir de él, se seleccionan los siguientes a intervalos constantes (cada $k$ individuos).
3. Muestreo Estratificado: La población se divide en grupos homogéneos llamados estratos (por edad, sexo, renta). La muestra se forma eligiendo individuos de cada estrato.
   • Afijación igual: Se elige el mismo número de personas de cada estrato.
   • Afijación proporcional: El número de personas de cada estrato es proporcional a su peso en la población total.
4. Muestreo por Conglomerados: Se seleccionan grupos naturales (clases de un colegio, barrios de una ciudad) en lugar de individuos aislados.

En este caso, la selección no depende del azar, lo que limita la capacidad de generalizar resultados a la población total.

• Por conveniencia: Se eligen los sujetos porque son accesibles (ej. voluntarios).
• Por cuotas: Se seleccionan individuos que cumplen ciertas características hasta completar un número fijo, pero la elección final es subjetiva.
• Limitaciones: Los resultados no permiten calcular el margen de error de forma matemática rigurosa, por lo que su validez científica es menor.

Cuando extraemos todas las muestras posibles de tamaño $n$ de una población, la media de cada muestra ($\bar{X}$) varía. Por tanto, la media muestral es una variable aleatoria.

• Esperanza: La media de todas las posibles medias muestrales coincide con la media poblacional ($\mu$).
• Error estándar: Es la desviación típica de la media muestral, calculada como $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $\sigma$ es la desviación típica de la población.

Es el pilar de la inferencia. Establece que, si el tamaño de la muestra es suficientemente grande (generalmente $n > 30$), la distribución de la media muestral se aproxima a una distribución normal, independientemente de la forma de la distribución de la población original. $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Para calcular probabilidades, debemos tipificar la variable para usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$. La fórmula de tipificación es: $Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ El error estándar disminuye al aumentar el tamaño de la muestra, lo que significa que las medias muestrales estarán más cerca de la media real de la población.

Cuando estudiamos una característica cualitativa (ej. votar a un partido, ser fumador), trabajamos con proporciones. Si en una población la proporción de individuos con una característica es $p$, en una muestra de tamaño $n$ la proporción observada será $\hat{p}$.

Si $n$ es grande ($np \geq 5$ y $n(1-p) \geq 5$), la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal: $\hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}\right)$ Donde $q = 1 - p$. La media de esta distribución es la proporción poblacional $p$, y su desviación típica (error estándar) es $\sqrt{\frac{pq}{n}}$.

Se utiliza para predecir resultados electorales o éxito de productos. Por ejemplo, si sabemos que el 20% de la población usa una app, podemos calcular la probabilidad de que en una muestra de 100 personas, más del 25% la use. En estos casos, a veces se aplica la corrección por continuidad de Yates, aunque en 2º de Bachillerato suele omitirse a menos que el enunciado lo indique.

Un intervalo de confianza es un rango de valores, calculado a partir de una muestra, dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro poblacional (como la media $\mu$) con una determinada probabilidad.

• Nivel de confianza ($1-\alpha$): Probabilidad de que el intervalo contenga el valor real. Los más comunes son 95% ($0,95$) y 99% ($0,99$).
• Valor crítico ($z_{\alpha/2}$): Valor de la normal $N(0,1)$ que deja un área de $\alpha/2$ a cada lado. Para el 95%, $z_{\alpha/2} = 1,96$.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media $\mu$ es: $I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ El término $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ se denomina Error Máximo Admisible.

Podemos calcular qué tamaño de muestra $n$ necesitamos para no superar un error determinado $E$ despejando la fórmula anterior: $n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$ Si el resultado de $n$ no es entero, siempre se redondea al alza para garantizar que el error sea menor o igual al deseado.

Para estimar una proporción poblacional $p$ desconocida, usamos la proporción de la muestra $\hat{p}$. El intervalo de confianza se construye así: $I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$ Donde $\hat{q} = 1 - \hat{p}$.

El error máximo para la proporción es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$. Para calcular el tamaño muestral necesario: $n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$ Caso más desfavorable: Si no conocemos $\hat{p}$, nos ponemos en la situación que requiere mayor muestra, que es cuando $p = q = 0,5$. Esto maximiza el producto $p \cdot q = 0,25$.

Es crucial entender que un intervalo de confianza no nos da una certeza absoluta, sino una seguridad probabilística.

• Si aumentamos la confianza, el intervalo se hace más ancho (menos preciso).
• Si aumentamos el tamaño de la muestra, el intervalo se hace más estrecho (más preciso).

Resumen de valores críticos habituales:

Al analizar noticias, siempre debemos fijarnos en la ficha técnica: si el error es del $\pm 3\%$, significa que el intervalo de confianza tiene una amplitud total del 6%.