Inferencia estadística

En estadística, es fundamental distinguir entre el conjunto total y el grupo de estudio:

• Población: Es el conjunto completo de todos los individuos, objetos o eventos que poseen una característica común que deseamos estudiar.
• Individuo: Cada uno de los elementos que componen la población.
• Muestra: Es un subconjunto representativo de la población.

La necesidad del muestreo surge porque, en la mayoría de los casos reales, estudiar a toda la población es imposible debido a costes elevados, falta de tiempo o porque el proceso de estudio es destructivo. Para que las conclusiones sean válidas, la muestra debe cumplir el requisito de representatividad; es decir, debe reflejar fielmente las características de la población original.

Para garantizar la representatividad, se utilizan métodos donde el azar interviene en la selección:

1. Muestreo aleatorio simple: Todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Es como un sorteo puro.
2. Muestreo aleatorio estratificado: Se divide la población en grupos homogéneos llamados estratos (por ejemplo, por edades o sexo). Se seleccionan individuos de cada estrato de forma proporcional al tamaño del mismo en la población.
3. Muestreo sistemático: Se elige un primer individuo al azar y los siguientes se seleccionan utilizando un intervalo fijo $k$ (por ejemplo, cada 10 personas en una lista).
4. Muestreo por conglomerados: Se seleccionan grupos naturales (clases de un colegio, barrios de una ciudad) al azar, y se estudia a todos los individuos dentro de esos grupos.

Es vital diferenciar los valores reales de la población de los calculados en la muestra:

• Parámetros (Población): Son valores fijos pero generalmente desconocidos. Los más comunes son la media poblacional ($\mu$) y la desviación típica poblacional ($\sigma$).
• Estadísticos (Muestra): Son valores calculados a partir de los datos de la muestra, como la media muestral ($\bar{x}$) o la proporción muestral ($\hat{p}$).

El error muestral es la diferencia entre el valor del parámetro poblacional y el estadístico muestral. Si el método de selección favorece sistemáticamente a ciertos individuos, decimos que la muestra tiene un sesgo.

Si tomamos muchas muestras del mismo tamaño $n$ de una población, las medias de esas muestras no serán iguales, sino que formarán su propia distribución.

El Teorema del Límite Central afirma que, si el tamaño de la muestra $n$ es suficientemente grande ($n \ge 30$), la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución Normal, independientemente de la forma de la población original: $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ Donde $\mu$ es la media de la población y $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es el error típico.

Cuando estudiamos variables cualitativas (como "votar a un partido" o "tener una enfermedad"), trabajamos con proporciones. Si en una población la probabilidad de éxito es $p$, la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución: $\hat{P} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}\right)$ Donde $q = 1 - p$. Para aplicar esta aproximación a la Normal, se deben cumplir las condiciones $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot q \ge 5$. En ocasiones, al pasar de una variable discreta a una continua, se aplica una corrección por continuidad, aunque en selectividad suele omitirse si $n$ es muy grande.

Para calcular la probabilidad de que una media muestral esté en un rango, debemos tipificar la variable para usar la tabla $N(0,1)$: $Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ Tipificar es el paso esencial para transformar cualquier problema de muestreo en un cálculo estándar de áreas bajo la curva normal.

• Estimación puntual: Dar un solo número como valor del parámetro (ej. "la media es 170 cm"). Es poco fiable.
• Estimación por intervalos: Dar un rango de valores $[a, b]$ dentro del cual esperamos que se encuentre el parámetro con una cierta probabilidad.
• Nivel de confianza ($1 - \alpha$): Es la probabilidad de que el intervalo contenga el parámetro real. Los valores típicos son 95% ($\alpha = 0,05$) o 99% ($\alpha = 0,01$).
• Valor crítico ($z_{\alpha/2}$): Es el valor en el eje horizontal de la $N(0,1)$ que deja un área de $\alpha/2$ a cada lado. Para el 95%, $z_{\alpha/2} = 1,96$.

Si conocemos la desviación típica poblacional $\sigma$, el intervalo para la media $\mu$ es: $I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ El término $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ se denomina margen de error.

Para estimar una proporción poblacional $p$ (como en los sondeos electorales), usamos: $I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$ Este intervalo es la base de las encuestas de opinión, donde se suele indicar un margen de error del $\pm 3\%$ aproximadamente.

El error $E$ representa la máxima diferencia que estamos dispuestos a aceptar entre el estadístico y el parámetro. Observando la fórmula $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, vemos que:

1. Si aumenta el nivel de confianza, aumenta el error (el intervalo es más ancho).
2. Si aumenta la dispersión ($\sigma$), aumenta el error.
3. Si aumenta el tamaño de la muestra ($n$), disminuye el error.

A menudo, el problema es al revés: ¿a cuánta gente debo preguntar para no equivocarme en más de un valor $E$? Despejando $n$ de la fórmula del error para la media: $n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$ Para la proporción (si no conocemos $p$, usamos el caso más desfavorable $p = 0,5$): $n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$ Siempre debemos redondear el resultado de $n$ al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido.

En la práctica, existe un compromiso entre coste y precisión. Para reducir el error a la mitad, necesitaríamos cuadruplicar el tamaño de la muestra (debido a la raíz cuadrada). Por ello, los investigadores buscan un equilibrio, a menudo aceptando un nivel de confianza del 95% como estándar suficiente para la mayoría de aplicaciones científicas.

Un contraste de hipótesis es una regla de decisión para juzgar si una afirmación sobre la población es compatible con los datos observados.

• Hipótesis nula ($H_0$): Es la hipótesis que se desea contrastar (el "status quo"). Se asume cierta a menos que haya pruebas fuertes en contra.
• Hipótesis alternativa ($H_1$): Lo que sospechamos que es cierto si $H_0$ es falsa.
• Tipo de contraste: Puede ser bilateral ($H_1: \mu \neq \mu_0$) o unilateral ($H_1: \mu > \mu_0$ o $H_1: \mu < \mu_0$).

Al decidir, podemos cometer dos tipos de fallos:

• Error de Tipo I: Rechazar $H_0$ cuando es verdadera (se define por el nivel de significación $\alpha$).
• Error de Tipo II: Aceptar $H_0$ cuando es falsa.

La región de aceptación es el conjunto de valores del estadístico que nos llevan a no rechazar $H_0$. La región crítica es el conjunto de valores que nos llevan a rechazarla.

El proceso estándar sigue estos pasos:

1. Enunciar $H_0$ y $H_1$.
2. Calcular el estadístico de contraste (valor $Z$ observado).
3. Determinar el P-valor: es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si $H_0$ fuera cierta.
4. Regla de decisión:
   • Si $P\text{-valor} < \alpha \rightarrow$ Rechazamos $H_0$ (hay evidencias significativas).
   • Si $P\text{-valor} \ge \alpha \rightarrow$ No rechazamos $H_0$ (no hay evidencias suficientes).