Intervalos de confianza

En estadística, la población es el conjunto completo de individuos o elementos que queremos estudiar (por ejemplo, todos los votantes de España). Como suele ser imposible estudiar a todos, extraemos una muestra, que es un subconjunto representativo de esa población.

• Parámetros poblacionales: Son valores fijos que describen a la población, como la media poblacional ($\mu$) o la proporción poblacional ($p$). Generalmente son desconocidos.
• Estadísticos muestrales: Son valores calculados a partir de la muestra, como la media muestral ($\bar{x}$) o la proporción muestral ($\hat{p}$). Se usan para estimar los parámetros.
• Muestreo aleatorio simple: Es la técnica donde cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Sin aleatoriedad, los resultados no son válidos.

Si tomamos muchas muestras del mismo tamaño $n$ de una población, las medias de esas muestras no serán iguales, sino que seguirán una distribución propia.

Según el Teorema del Límite Central (TLC), si el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n \geq 30$) o la población de origen es normal:

1. La media de las medias muestrales coincide con la media poblacional: $\mu_{\bar{x}} = \mu$.
2. La desviación típica de las medias (llamada error típico) es $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
3. La distribución sigue una Normal: $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Cuando estudiamos variables cualitativas (como "votar a X" o "estar en paro"), trabajamos con proporciones. Si una población tiene una proporción $p$ de éxito, y tomamos muestras de tamaño $n$:

La proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal si $n \cdot p \geq 5$ y $n \cdot q \geq 5$ (donde $q = 1-p$): $\hat{P} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}\right)$ Este modelo nos permite calcular probabilidades sobre qué porcentaje de la muestra cumplirá una característica determinada.

Una estimación puntual es dar un solo número (ej. "la media es 10"). Sin embargo, es casi seguro que fallaremos. Por eso preferimos una estimación por intervalos, que consiste en dar un rango de valores entre los cuales esperamos que se encuentre el parámetro real.

• Nivel de confianza ($1-\alpha$): Es la probabilidad de que el intervalo contenga el verdadero parámetro. Se suele expresar en porcentaje (90%, 95%, 99%).
• Nivel de significación ($\alpha$): Es la probabilidad de error, es decir, que el parámetro quede fuera del intervalo.
• Interpretación: Si decimos que un intervalo tiene una confianza del 95%, significa que si repitiéramos el experimento 100 veces, en 95 de ellas el valor real estaría dentro del intervalo calculado.

El valor crítico, denotado como $z_{\alpha/2}$, es el valor en la distribución Normal Estándar $N(0,1)$ que deja un área central igual al nivel de confianza.

Para calcularlo:

1. Buscamos el área total a la izquierda del valor crítico: $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$.
2. Buscamos ese valor en la tabla de la Normal.

El margen de error ($E$) es la distancia máxima que esperamos que haya entre el estadístico y el parámetro real. Es el "radio" del intervalo. $Intervalo = (Estadístico - E, Estadístico + E)$ A mayor nivel de confianza, mayor será el error (el intervalo es más ancho). Para reducir el error sin perder confianza, la única opción es aumentar el tamaño de la muestra ($n$).

Cuando conocemos la desviación típica poblacional ($\sigma$), el intervalo para la media $\mu$ se calcula como: $I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Ejemplo práctico: En una muestra de 100 estudiantes, la media de estudio semanal es de 15 horas con $\sigma = 4$. Para una confianza del 95% ($z_{\alpha/2} = 1,96$): $E = 1,96 \cdot \frac{4}{\sqrt{100}} = 1,96 \cdot 0,4 = 0,784$ $I.C. = (15 - 0,784; 15 + 0,784) = (14,216; 15,784)$

A veces el problema nos pide determinar qué tamaño de muestra necesitamos para no superar un error determinado. Despejando $n$ de la fórmula del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: $n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$ Nota importante: El resultado de $n$ siempre debe redondearse al entero superior, ya que con un decimal menos no cumpliríamos la restricción del error.

Un intervalo más estrecho indica mayor precisión. Si aumentamos el tamaño de la muestra al cuádruple, el error se reduce a la mitad (debido a la raíz cuadrada). Si un intervalo para la media de edad es $(20, 24)$, podemos afirmar con la confianza elegida que la edad media de toda la población está en ese rango.

En Ciencias Sociales es muy común estimar porcentajes. Si en una muestra de tamaño $n$ observamos una proporción $\hat{p}$, el intervalo para la proporción poblacional $p$ es: $I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} , \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$ Donde $\hat{q} = 1 - \hat{p}$. Este cálculo es válido siempre que $n$ sea grande.

Para calcular $n$ con un error $E$ prefijado: $n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$

• Caso p conocido: Usamos una estimación previa de $p$.
• Caso más desfavorable (p desconocido): Si no tenemos idea de cuánto vale $p$, nos ponemos en el peor de los casos para asegurar el error. ==La varianza máxima ocurre cuando $p = 0,5$ y $q = 0,5$==. Esto maximiza el tamaño de la muestra necesario.

1. Sondeos electorales: Cuando leemos que un partido tiene un 30% de intención de voto con un error de $\pm 3\%$, nos están dando los componentes de un intervalo de confianza.
2. Control de calidad: Estimar la proporción de productos defectuosos en una fábrica.
3. Estudios de mercado: Determinar qué porcentaje de consumidores prefiere un nuevo producto antes de lanzarlo masivamente.

Resumen de fórmulas clave para el examen:

• Error media: $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• Error proporción: $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$
• Amplitud del intervalo: $A = 2 \cdot E$