Distribución binomial y normal

Una variable aleatoria (V.A.) es una función que asigna un número real a cada resultado posible de un experimento aleatorio. Decimos que es discreta cuando solo puede tomar valores aislados (generalmente números enteros).

• Función de probabilidad $P(X = x_i)$: Asigna a cada valor posible su probabilidad de ocurrir. La suma de todas las probabilidades debe ser siempre 1: $\sum P(x_i) = 1$.
• Esperanza matemática ($\mu$): Es el valor medio teórico que esperaríamos obtener si repitiéramos el experimento infinitas veces. Se calcula como: $\mu = E[X] = \sum x_i \cdot P(x_i)$
• Varianza ($\sigma^2$) y Desviación típica ($\sigma$): Miden la dispersión de los datos respecto a la media. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

El cimiento de la distribución binomial es el ensayo de Bernoulli. Este consiste en un experimento con solo dos resultados posibles y excluyentes:

1. Éxito (E): El suceso que estudiamos, con probabilidad $P(E) = p$.
2. Fracaso (F): El suceso contrario, con probabilidad $P(F) = q = 1 - p$.

Para que una serie de ensayos sea considerada de Bernoulli, los sucesos deben ser totalmente independientes entre sí; es decir, el resultado de un ensayo no afecta al siguiente.

Si repetimos un ensayo de Bernoulli $n$ veces, la variable $X$ que cuenta el "número de éxitos" sigue una Distribución Binomial. Se denota como $X \sim B(n, p)$.

Función de cuantía: La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en $n$ intentos es: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ Donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el número combinatorio.

Parámetros fundamentales:

• Media: $\mu = n \cdot p$
• Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$

Ejemplo rápido: Si lanzamos una moneda 10 veces, $X \sim B(10, 0.5)$. La probabilidad de sacar exactamente 3 caras sería $P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^7$.

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A diferencia de las discretas, las variables continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo real (ej. la altura de una persona o el tiempo de espera del autobús).

• Función de densidad $f(x)$: No da la probabilidad directa de un punto (que siempre es 0), sino que describe la forma de la distribución.
• Cálculo de probabilidad: La probabilidad de que la variable esté entre dos valores $a$ y $b$ es el área bajo la curva de la función de densidad entre esos puntos: $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$

Es la distribución más importante de la estadística. Muchos fenómenos naturales siguen este modelo, representado por la Campana de Gauss.

• Características:
  1. Es simétrica respecto a la media $\mu$.
  2. El área total bajo la curva es 1.
  3. La media, la mediana y la moda coinciden en el centro.
  4. Los puntos de inflexión se encuentran en $\mu - \sigma$ y $\mu + \sigma$.

Para evitar calcular integrales complejas, usamos la Normal Estándar, denotada por la letra $Z$. Tiene media 0 y desviación típica 1.

Tipificación de la variable: Para calcular probabilidades de cualquier $X \sim N(\mu, \sigma)$, debemos transformarla en una $Z$ mediante la fórmula: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

Uso de la tabla: Las tablas de la normal estándar proporcionan $P(Z \leq z)$ para valores positivos de $z$. Si necesitamos valores negativos o intervalos, usamos la simetría:

• $P(Z > a) = 1 - P(Z \leq a)$
• $P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z \leq a)$
• $P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)$

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A veces, trabajar con la binomial es inviable (por ejemplo, calcular $P(X < 400)$ en una $B(1000, 0.5)$). En estos casos, usamos el Teorema de De Moivre-Laplace. Podemos aproximar una binomial por una normal si se cumplen estas tres condiciones:

1. $n$ es grande (generalmente $n \geq 30$).
2. $n \cdot p \geq 5$.
3. $n \cdot q \geq 5$.

Si se cumplen, entonces: $X \sim B(n, p) \approx X' \sim N(np, \sqrt{npq})$

Al pasar de una variable discreta (puntos aislados) a una continua (área continua), perdemos precisión. Para corregirlo, sumamos o restamos 0.5 a los límites del intervalo.

Para resolver estos ejercicios con éxito:

1. Identificar: ¿Es un recuento de éxitos (Binomial) o una medida (Normal)?
2. Comprobar: Si es Binomial y $n$ es muy grande, verificar si se puede aproximar.
3. Calcular parámetros: Obtener $\mu = np$ y $\sigma = \sqrt{npq}$.
4. Tipificar: Pasar a la variable $Z$ y usar la tabla.

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En las pruebas EvAU, las distribuciones suelen aplicarse a:

• Control de calidad: Probabilidad de que una pieza sea defectuosa en una cadena de producción.
• Biología y Genética: Transmisión de rasgos hereditarios (éxito/fracaso).
• Psicología y Sociología: Distribución de cocientes intelectuales o resultados de encuestas de opinión.

Es común que pregunten por el valor de $k$ tal que $P(\mu - k < X < \mu + k) = 1 - \alpha$.

• Valores críticos ($z_{\alpha/2}$): Son valores de la tabla que dejan un área determinada a sus lados. Por ejemplo, para el 95% de confianza, el valor crítico es 1.96.
• Dominar la lectura inversa de la tabla (buscar la probabilidad en el interior para hallar el valor de $z$) es esencial para estos ejercicios.

Para obtener la máxima puntuación, sigue estas pautas:

1. Define la variable: Empieza siempre escribiendo "$X =$ número de..." y especifica el modelo: $X \sim B(n, p)$.
2. Justifica la aproximación: Si usas la normal para una binomial, escribe explícitamente que $np > 5$ y $nq > 5$.
3. Indica la tipificación: Escribe la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ antes de sustituir los números.
4. Cuidado con el lenguaje: "Al menos 3" significa $P(X \geq 3)$, mientras que "menos de 3" significa $P(X < 3)$. Un error aquí invalida todo el cálculo posterior.

Recuerda: En la distribución normal, $P(X \leq a)$ es lo mismo que $P(X < a)$ porque la probabilidad en un punto exacto es cero. En la binomial, esto no es así; la distinción entre "menor" y "menor o igual" es crítica.