Problemas métricos en el espacio

Dadas dos rectas $r$ y $s$ con vectores directores $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$ respectivamente, el ángulo $\alpha$ que forman es el menor de los ángulos determinados por sus direcciones. Se calcula mediante la fórmula:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{d_r} \cdot \vec{d_s}|}{|\vec{d_r}| \cdot |\vec{d_s}|}$

• Usamos el valor absoluto en el numerador para asegurar que el ángulo sea agudo ($0 \le \alpha \le 90^\circ$).
• Condición de perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto escalar de sus vectores directores es cero ($\vec{d_r} \cdot \vec{d_s} = 0$).

El ángulo $\alpha$ que forman dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ es igual al ángulo que forman sus vectores normales $\vec{n_1}$ y $\vec{n_2}$.

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Si los planos son paralelos, sus vectores normales son proporcionales y el ángulo es $0^\circ$. Si el producto escalar de los normales es cero, los planos son perpendiculares.

Este es un caso especial. El ángulo $\alpha$ entre una recta $r$ (con vector director $\vec{d_r}$) y un plano $\pi$ (con vector normal $\vec{n_\pi}$) es el complementario del ángulo que forman los vectores $\vec{d_r}$ y $\vec{n_\pi}$. Por ello, en lugar del coseno, utilizamos la función seno:

$\operatorname{sen}(\alpha) = \frac{|\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{|\vec{d_r}| \cdot |\vec{n_\pi}|}$

Geométricamente, $\alpha$ es el ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano.

Dados los puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$, la distancia $d(A, B)$ es el módulo del vector $\vec{AB}$:

$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Para un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, la distancia se obtiene sustituyendo el punto en la ecuación del plano:

$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Para hallar la distancia de un punto $P$ a una recta $r$ (que pasa por $A$ y tiene dirección $\vec{d_r}$), usamos el producto vectorial. El área del paralelogramo formado por $\vec{d_r}$ y $\vec{AP}$ es $|\vec{d_r} \times \vec{AP}|$, y su base es $|\vec{d_r}|$. La altura de ese paralelogramo es la distancia buscada:

$d(P, r) = \frac{|\vec{d_r} \times \vec{AP}|}{|\vec{d_r}|}$

1. Rectas paralelas: Se elige un punto de una recta y se calcula la distancia a la otra.
2. Rectas que se cruzan: Si $r(A, \vec{d_r})$ y $s(B, \vec{d_s})$ se cruzan, su distancia es la altura del paralelepípedo formado por $\vec{d_r}, \vec{d_s}$ y $\vec{AB}$: $d(r, s) = \frac{|[\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{AB}]|}{|\vec{d_r} \times \vec{d_s}|}$ Donde el numerador es el valor absoluto del producto mixto.
3. Planos paralelos: Se toma un punto de un plano y se aplica la fórmula de distancia al otro plano.

El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que definen.

• Paralelogramo definido por $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $Área = |\vec{u} \times \vec{v}|$
• Triángulo de vértices $A, B, C$: $Área = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

El producto mixto de tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ (denotado como $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ y calculado como el determinante de la matriz que forman) nos da volúmenes:

• Paralelepípedo: $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$
• Tetraedro: Un tetraedro ocupa la sexta parte de un paralelepípedo con las mismas aristas. $V_{tetraedro} = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$

Estas fórmulas permiten hallar alturas de pirámides (Distancia de un vértice a la base) o determinar el baricentro de un triángulo $G = \frac{A+B+C}{3}$, punto clave para problemas de equilibrio y simetría.

• De un punto $P$ sobre un plano $\pi$: Es el punto de intersección entre el plano $\pi$ y la recta perpendicular a él que pasa por $P$.
• De un punto $P$ sobre una recta $r$: Es el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano perpendicular a ella que pasa por $P$.

Para hallar el simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano o recta:

1. Calculamos la proyección ortogonal $M$ de $P$ sobre el elemento (recta o plano).
2. $M$ es el punto medio del segmento $PP'$.
3. Usamos la fórmula del punto medio: $M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$.

Dadas dos rectas $r$ y $s$ que se cruzan, la perpendicular común es la recta que corta a ambas y es perpendicular a sus dos vectores directores. Su vector director será $\vec{d_p} = \vec{d_r} \times \vec{d_s}$.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad métrica:

• Plano mediador: Puntos que equidistan de dos puntos $A$ y $B$. Es el plano perpendicular al segmento $AB$ por su punto medio.
• Plano bisector: Puntos que equidistan de dos planos que se cortan.

La esfera es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un centro $C(a, b, c)$ es constante e igual al radio $R$.

• Ecuación canónica: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$
• Ecuación general: $x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$

Una recta puede ser exterior, tangente (toca en un punto) o secante a una esfera. La posición se determina comparando el radio con la distancia del centro a la recta.

1. Esquema previo: Dibuja la situación. Identifica si necesitas vectores directores o normales.
2. Eficiencia: Si te piden distancia entre rectas, usa la fórmula del producto mixto directamente en lugar de buscar puntos genéricos, a menos que necesites los puntos de corte.
3. Verificación: En problemas de simetría, comprueba que el vector $\vec{PP'}$ es efectivamente paralelo al vector normal del plano o director de la recta.
4. Cuidado con las unidades: En problemas de áreas y volúmenes, añade siempre $u^2$ o $u^3$ para indicar unidades de medida.