Rectas y planos en el espacio

Para trabajar numéricamente, utilizamos un sistema de referencia ortonormal $\{O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, donde $O$ es el origen $(0,0,0)$ y los vectores son perpendiculares entre sí y de módulo unidad.

• Componentes: Cualquier vector $\vec{v}$ se expresa como $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$.
• Operaciones lineales:
  • Suma: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3)$.
  • Producto por escalar: $k \cdot \vec{u} = (k u_1, k u_2, k u_3)$.

Existen tres tipos de productos esenciales:

1. Producto Escalar ($\vec{u} \cdot \vec{v}$): El resultado es un número. $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, los vectores son perpendiculares.
2. Producto Vectorial ($\vec{u} \times \vec{v}$): El resultado es un vector perpendicular a ambos. Su módulo coincide con el área del paralelogramo formado por ellos: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$
3. Producto Mixto ($[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$): Es el determinante de las componentes de los tres vectores. Su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo.

El módulo (o norma) de un vector se calcula mediante el teorema de Pitágoras extendido: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$.

• Vector unitario: Se obtiene dividiendo el vector por su módulo: $\vec{u}_{uni} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$.
• Cosenos directores: Son los cosenos de los ángulos que el vector forma con los ejes positivos. Se cumple que $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.

Para definir una recta necesitamos:

• Un punto de paso $A(a_1, a_2, a_3)$.
• Un vector director $\vec{d} = (d_1, d_2, d_3)$, que marca la inclinación. Si nos dan dos puntos $A$ y $B$, el vector director será $\vec{d} = \vec{AB} = B - A$.

Dependiendo del problema, usaremos una u otra:

1. Vectorial: $(x, y, z) = (a_1, a_2, a_3) + \lambda(d_1, d_2, d_3)$.
2. Paramétricas: Útiles para hallar puntos de corte. $\begin{cases} x = a_1 + \lambda d_1 \\ y = a_2 + \lambda d_2 \\ z = a_3 + \lambda d_3 \end{cases}$
3. Continua: Igualando la $\lambda$: $\frac{x-a_1}{d_1} = \frac{y-a_2}{d_2} = \frac{z-a_3}{d_3}$.
4. Implícita o General: Expresada como la intersección de dos planos: $\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' = 0 \end{cases}$

Para saber si un punto $P$ pertenece a $r$, debe satisfacer sus ecuaciones. El punto genérico $P_\lambda = (a_1 + \lambda d_1, a_2 + \lambda d_2, a_3 + \lambda d_3)$ es la herramienta clave para resolver problemas de distancias. Las trazas son los puntos donde la recta corta a los planos coordenados (haciendo $x=0, y=0$ o $z=0$).

Un plano $\pi$ se puede definir mediante:

• Un punto $P$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ (no paralelos).
• Tres puntos no alineados $A, B, C$.
• Un punto $P$ y un vector normal $\vec{n}$ (perpendicular al plano).

1. Ecuación Vectorial y Paramétrica: Similares a la recta pero con dos parámetros ($\lambda, \mu$).
2. Ecuación General o Implícita: $Ax + By + Cz + D = 0$. Esta es la forma más común.
3. Ecuación Segmentaria: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, donde $a, b, c$ son los cortes con los ejes.

En la ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ corresponden directamente a las componentes del vector normal $\vec{n}$ al plano.

• Si $A=0$, el plano es paralelo al eje OX.
• El haz de planos que pasan por una recta $r$ se obtiene combinando linealmente las dos ecuaciones implícitas de la recta: $\alpha(Ax + By + Cz + D) + \beta(A'x + B'y + C'z + D') = 0$.

Dadas $r(A, \vec{d_r})$ y $s(B, \vec{d_s})$, comparamos sus vectores y el vector $\vec{AB}$:

1. Coincidentes: Vectores proporcionales y $A \in s$.
2. Paralelas: Vectores proporcionales pero $A \notin s$.
3. Secantes: No proporcionales y $det(\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{AB}) = 0$. (Se cortan en un punto).
4. Se cruzan: No proporcionales y $det(\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{AB}) \neq 0$.

Analizamos el producto escalar del vector director de la recta $\vec{d_r}$ y el normal del plano $\vec{n_\pi}$:

• Si $\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$, son secantes (hay un punto de corte).
• Si $\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él (se comprueba con un punto de la recta).

Para tres planos, utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius analizando el rango de la matriz de coeficientes $M$ y la ampliada $M'$:

• $Rg(M)=3$: Se cortan en un único punto.
• $Rg(M)=2$: Pueden formar una superficie prismática o cortarse dos a dos.

• Dos rectas: $\cos \alpha = \frac{|\vec{d_r} \cdot \vec{d_s}|}{|\vec{d_r}| |\vec{d_s}|}$.
• Dos planos: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
• Recta y plano: Se usa el seno debido a la complementariedad: $\sin \alpha = \frac{|\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{|\vec{d_r}| |\vec{n_\pi}|}$.

1. Punto $P$ a Plano $\pi$: $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
2. Punto a Recta: Usamos el área del paralelogramo: $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d_r}|}{|\vec{d_r}|}$.
3. Entre dos rectas que se cruzan: Usamos el volumen del paralelepípedo: $d(r, s) = \frac{|[\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{AB}]|}{|\vec{d_r} \times \vec{d_s}|}$

Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P$ respecto a un plano:

1. Hallar la recta perpendicular al plano que pasa por $P$.
2. Calcular la intersección $M$ de esa recta con el plano (proyección ortogonal).
3. Aplicar que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$: $M = \frac{P + P'}{2}$.

• Área de un triángulo: $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
• Volumen de un tetraedro: $\frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$.

Resumen para el examen: En problemas de distancias entre rectas que se cruzan, siempre es más seguro verificar primero la posición relativa mediante el determinante de sus vectores y el vector que une puntos de ambas.