Vectores en el espacio

Un vector en el espacio es un segmento orientado que representa una magnitud física con dirección. A diferencia de un número (escalar), un vector queda definido por tres elementos fundamentales:

1. Módulo: Es la longitud del segmento. Se representa como $|\vec{v}|$.
2. Dirección: Es la recta que contiene al vector o cualquier recta paralela a ella.
3. Sentido: Indicado por la punta de la flecha, señala hacia dónde se dirige el vector dentro de su dirección.

En el sistema $\mathbb{R}^3$, representamos los vectores mediante una terna ordenada de números reales $(x, y, z)$. Es importante distinguir entre:

• Vector fijo: Tiene un origen y un extremo específicos.
• Vector libre: Es el conjunto de todos los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Un vector libre representa un desplazamiento genérico en el espacio.

Las operaciones básicas permiten manipular vectores de forma algebraica y geométrica:

• Suma de vectores: Si $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, entonces $\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3)$. Geométricamente, se utiliza la regla del paralelogramo o la regla del extremo y origen.
• Producto por un escalar: Al multiplicar un vector $\vec{v}$ por un número $k \in \mathbb{R}$, obtenemos $k\vec{v} = (k v_1, k v_2, k v_3)$. Si $k > 0$ el sentido se mantiene; si $k < 0$, el sentido se invierte.

Propiedades destacadas:

• Conmutativa: $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$.
• Distributiva respecto a la suma de vectores: $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$.

Decimos que un vector $\vec{w}$ es combinación lineal de otros vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ si existen números $a, b$ tales que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

• Vectores Linealmente Independientes (L.I.): Un conjunto de vectores es L.I. si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. En el espacio, tres vectores son L.I. si no son coplanarios (no están en el mismo plano).
• Vectores Linealmente Dependientes (L.D.): Si al menos uno puede escribirse en función de los otros. Geométricamente, dos vectores son L.D. si son paralelos.

Una base de $\mathbb{V}^3$ es un conjunto de tres vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ que son linealmente independientes. Cualquier vector del espacio puede expresarse de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

La base más utilizada es la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, donde: $\vec{i} = (1, 0, 0), \quad \vec{j} = (0, 1, 0), \quad \vec{k} = (0, 0, 1)$ Estos vectores son unitarios y perpendiculares entre sí (ortonormales).

Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto fijo $O$ (origen) y una base. Normalmente usamos el sistema cartesiano con ejes $X$, $Y$ y $Z$.

• Vector entre dos puntos: Si tenemos los puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$, el vector que los une es $\vec{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.
• Punto medio de un segmento: El punto $M$ que divide al segmento $AB$ en dos partes iguales se calcula como: $M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2} \right)$

Podemos encontrar un punto $P$ que divida a un segmento $AB$ en una relación dada $k$, tal que $\vec{AP} = k \cdot \vec{PB}$.

Una aplicación común es el baricentro ($G$) de un triángulo con vértices $A, B$ y $C$. El baricentro es el centro de masas y sus coordenadas son la media aritmética de los vértices: $G = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, \frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right)$

El producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es un número real (escalar).

• Definición geométrica: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, donde $\alpha$ es el ángulo entre ellos.
• Expresión analítica: En una base ortonormal, se calcula sumando los productos de sus componentes: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$

A partir del producto escalar, derivamos herramientas métricas esenciales:

1. Módulo de un vector: Se define como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo: $|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$
2. Ángulo entre vectores: Despejando el coseno de la fórmula original: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
3. Ortogonalidad: Dos vectores son perpendiculares (ortogonales) si y solo si su producto escalar es cero ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$).

La proyección de un vector $\vec{u}$ sobre un vector $\vec{v}$ es la "sombra" que el primero proyecta sobre el segundo. El valor escalar de esta proyección es: $proy_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ Esta herramienta es fundamental en física para descomponer fuerzas en ejes específicos.

A diferencia del escalar, el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ da como resultado un nuevo vector.

• Módulo: $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(\alpha)$.
• Dirección: Perpendicular al plano formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
• Sentido: Determinado por la regla de la mano derecha.

Es importante recordar que el producto vectorial es anticonmutativo: $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$.

La forma más sencilla de calcularlo analíticamente es resolver un determinante simbólico: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$ Si el resultado de este producto es el vector nulo $(0,0,0)$, significa que los vectores son paralelos.

1. Área del paralelogramo: El módulo del producto vectorial $|\vec{u} \times \vec{v}|$ es igual al área del paralelogramo que forman.
2. Área del triángulo: Dado que un triángulo es la mitad de un paralelogramo: $Área_{Triángulo} = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$
3. Vector normal: Es la herramienta principal para encontrar un vector perpendicular a un plano definido por dos vectores.

El producto mixto de tres vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ se define como el producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$.

Analíticamente, se calcula simplemente como el determinante de las componentes de los tres vectores: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$

El producto mixto tiene una interpretación geométrica volumétrica:

• Volumen del paralelepípedo: Es igual al valor absoluto del producto mixto: $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$.
• Volumen del tetraedro: Un tetraedro formado por tres vectores que parten de un mismo vértice ocupa la sexta parte del paralelepípedo: $V_{Tetraedro} = \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$

Tres vectores son coplanarios (están en el mismo plano) si no encierran ningún volumen. Esto ocurre cuando su producto mixto es igual a cero. ==Si $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$, los vectores son linealmente dependientes==.

Esta propiedad es muy útil en ejercicios de examen para determinar si cuatro puntos $A, B, C, D$ pertenecen al mismo plano, comprobando si los vectores $\vec{AB}, \vec{AC}$ y $\vec{AD}$ tienen producto mixto nulo.