Límites y continuidad de funciones

El límite de una función $f(x)$ en un punto $a$ representa el valor al que se aproximan las imágenes ($y$) cuando los valores de $x$ se acercan a $a$, sin llegar necesariamente a tocarlo.

• Definición intuitiva: Decimos que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si podemos hacer que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como queramos acercando $x$ a $a$.
• Definición formal ($\epsilon, \delta$): $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$.

Para que exista el límite global en un punto, es obligatorio que los límites laterales coincidan.

1. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (nos acercamos con valores menores que $a$).
2. Límite por la derecha: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (nos acercamos con valores mayores que $a$).

Condición de existencia: $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$.

El comportamiento en los extremos del dominio se estudia mediante los límites cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$.

• Límites en el infinito: Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, la función se estabiliza en un valor constante. Esto da lugar a una asíntota horizontal $y = L$.
• Límites infinitos: Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, significa que la función crece o decrece sin control al acercarse a $a$. Esto indica la presencia de una asíntota vertical en $x = a$.

Si conocemos los límites de $f(x)$ y $g(x)$, podemos operar con ellos de forma intuitiva:

Para las funciones elementales (polinómicas, racionales, exponenciales, etc.), el límite se calcula mediante sustitución directa siempre que el punto $a$ pertenezca al dominio de la función.

1. Tipo $\frac{0}{0}$: Suele aparecer en funciones racionales. Se resuelve factorizando el numerador y el denominador (usando Ruffini o identidades notables) y simplificando el factor común $(x-a)$.
   • Ejemplo: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
2. Tipo $\frac{\infty}{\infty}$: Aparece en el infinito. Se resuelve comparando los grados de los polinomios:
   • Grado numerador > Grado denominador $\to \infty$.
   • Grado numerador < Grado denominador $\to 0$.
   • Grados iguales → Cociente de los coeficientes principales.
3. Tipo $\infty - \infty$ con raíces: Se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión irracional para eliminar la indeterminación.

Este límite está relacionado con el número $e$. Se aplica cuando tenemos una función de la forma $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$ donde $f(x) \to 1$ y $g(x) \to \infty$.

La fórmula general abreviada es: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x) - 1)]}$

Para resolver límites en el infinito de forma rápida, utilizamos la jerarquía de crecimiento. Algunas funciones crecen mucho más rápido que otras:

1. Exponenciales ($a^x, a > 1$): El crecimiento más rápido.
2. Potencias/Polinomios ($x^n$): Crecimiento intermedio.
3. Logaritmos ($\log x$): El crecimiento más lento.

Regla práctica: En un cociente, manda la función de mayor jerarquía. Si el "infinito más potente" está arriba, el resultado es $\infty$; si está abajo, es $0$.

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, $f(x)$ es continua en $x = a$ si cumple tres condiciones:

1. Existe $f(a)$ (el punto está en el dominio).
2. Existe $\lim_{x \to a} f(x)$ (los límites laterales coinciden).
3. Ambos valores son iguales: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Para intervalos, una función es continua en $(a, b)$ si lo es en cada punto del mismo.

Si falla alguna de las condiciones anteriores, la función presenta una discontinuidad:

• Evitable: Existe el límite, pero no coincide con $f(a)$ o $f(a)$ no existe. Se puede "reparar" redefiniendo el punto.
• De salto finito: Los límites laterales son números reales distintos. La diferencia entre ellos se llama salto.
• De salto infinito (esencial): Al menos uno de los límites laterales es $\pm \infty$.

En las funciones definidas a trozos, el análisis debe centrarse en los puntos de ruptura.

• Se calculan los límites laterales en el valor de cambio.
• Se igualan los límites para hallar parámetros desconocidos (típico ejercicio de examen: "Halla $k$ para que $f$ sea continua").

Es uno de los teoremas más importantes para demostrar la existencia de soluciones. Enunciado: Si $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y el signo de $f(a)$ es distinto al de $f(b)$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Utilidad: Se usa para demostrar que una ecuación tiene al menos una raíz (solución) en un intervalo dado.

Es una generalización de Bolzano. Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$, la función toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$. Es decir, si $k$ es un valor entre $f(a)$ y $f(b)$, existe un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = k$.

Este teorema asegura la existencia de extremos. Enunciado: Si $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, entonces $f(x)$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. La continuidad en un intervalo cerrado garantiza que la función no se escapa al infinito.

Son rectas de la forma $x = a$.

• Se buscan en los puntos donde la función no está definida (por ejemplo, valores que anulan el denominador).
• Se confirma si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.
• Es crucial estudiar los límites laterales para saber si la curva sube o baja a cada lado de la recta.

Son rectas de la forma $y = L$.

• Se calculan mediante $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$.
• Una función puede tener hasta dos asíntotas horizontales distintas (una por cada lado).
• Si existe asíntota horizontal en un lado ($\pm \infty$), no puede haber asíntota oblicua en ese mismo lado.

Son rectas de la forma $y = mx + n$ (con $m \neq 0$). Se calculan cuando no hay asíntota horizontal:

1. $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
2. $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$

Nota práctica: En funciones racionales $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, existe asíntota oblicua si el grado de $P(x)$ es exactamente uno más que el grado de $Q(x)$. En este caso, la asíntota es el cociente de la división de los polinomios.