Números enteros y divisibilidad

El conjunto $\mathbb{Z}$ incluye a los enteros positivos ($+1, +2, +3...$), al cero ($0$) y a los enteros negativos ($-1, -2, -3...$). Para visualizarlos, utilizamos la recta numérica, situando el cero en el centro, los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda.

• Valor absoluto: Se representa como $|a|$ y es la distancia de un número al cero. Como es una distancia, siempre es un valor positivo o cero. Por ejemplo: $|-5| = 5$ y $|+5| = 5$.
• Opuesto de un número: El opuesto de un número $a$ es $-a$. Tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Ejemplo: El opuesto de $-8$ es $+8$.
• Comparación: En la recta, cualquier número situado a la derecha de otro es mayor.
  • Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo.
  • Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto (el que está más cerca del cero). Ejemplo: $-2 > -10$.

Para sumar y restar enteros, debemos prestar atención a los signos:

1. Suma del mismo signo: Se suman los valores absolutos y se deja el signo que tengan.
   • $(+3) + (+5) = +8$
   • $(-4) + (-2) = -6$
2. Suma de distinto signo: Se restan los valores absolutos (el mayor menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.
   • $(-7) + (+10) = +3$
   • $(+4) + (-9) = -5$
3. Resta: Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.
   • $a - b = a + (-b)$
   • Ejemplo: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

Para estas operaciones aplicamos la Regla de los Signos:

• Propiedad Distributiva: Es fundamental para simplificar cálculos: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
  • Ejemplo: $3 \cdot (5 - 2) = 3 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 15 - 6 = 9$.

Para resolver expresiones con varias operaciones, debemos seguir estrictamente el orden de prioridad:

1. Paréntesis y corchetes: Desde los más internos a los más externos.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones: De izquierda a derecha.
4. Sumas y restas: De izquierda a derecha.

Error común: Realizar una suma antes que una multiplicación por estar a la izquierda. Ejemplo correcto: $2 + 3 \cdot 5 = 2 + 15 = 17$ (No $5 \cdot 5 = 25$).

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Una potencia $a^n$ es una forma abreviada de escribir una multiplicación del número $a$ (base) por sí mismo $n$ veces (exponente).

• Si la base es positiva, el resultado siempre es positivo.
• Si la base es negativa:
  • Exponente par: Resultado positivo. $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16$.
  • Exponente impar: Resultado negativo. $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.

Estas reglas facilitan enormemente el cálculo con números grandes:

1. Producto de igual base: Se suman exponentes. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.
2. Cociente de igual base: Se restan exponentes. $a^n : a^m = a^{n-m}$.
3. Potencia de una potencia: Se multiplican exponentes. $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.
4. Potencia de un producto/cociente: El exponente afecta a cada factor. $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado. $\sqrt{a} = b$ si $b^2 = a$.

• Raíz exacta: Cuando existe un entero cuyo cuadrado es el radicando. $\sqrt{49} = 7$.
• Raíz entera: Si no es exacta, buscamos el mayor entero cuyo cuadrado no supere al número. El resto es la diferencia: $Resto = Radicando - Raiz^2$.
• Números negativos: No existe la raíz cuadrada de un número negativo en el conjunto de los números enteros, ya que ningún número (positivo o negativo) al elevarse al cuadrado da un resultado negativo.

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Decimos que un número $a$ es divisible por $b$ si la división $a : b$ es exacta (resto cero).

• Múltiplos: Se obtienen multiplicando un número por los naturales. Todo número tiene infinitos múltiplos.
• Divisores: Son los números que dividen a otro de forma exacta. Todo número tiene un número finito de divisores.
  • Si $a$ es múltiplo de $b$, entonces $b$ es divisor de $a$.

Son reglas rápidas para saber si un número es divisible por otro sin hacer la división:

• Divisible por 2: Si termina en cifra par (0, 2, 4, 6, 8).
• Divisible por 3: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Divisible por 5: Si termina en 0 o 5.
• Divisible por 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Divisible por 10: Si termina en 0.
• Divisible por 11: Si la diferencia entre la suma de las cifras en posición impar y las de posición par es 0 o múltiplo de 11.

• Número Primo: Solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo (ej. 2, 3, 5, 7, 11...).
• Número Compuesto: Tiene más de dos divisores.
• Criba de Eratóstenes: Es un método para hallar primos tachando múltiplos de números conocidos.

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Cualquier número compuesto puede expresarse como un producto de números primos. Se utiliza el método de la raya vertical, dividiendo sucesivamente por los primos más pequeños posibles.

Ejemplo: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Es el mayor de los divisores comunes de varios números.

• Cálculo: Se descomponen los números y se eligen los factores comunes elevados al menor exponente.
• Aplicación: Se usa para repartir o cortar objetos en trozos del mayor tamaño posible sin que sobre nada.

Es el menor de los múltiplos comunes (distinto de cero) de varios números.

• Cálculo: Se descomponen los números y se eligen los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
• Aplicación: Se usa para calcular cuándo coincidirán en el tiempo varios sucesos cíclicos.

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Para resolver problemas de enteros, es vital asignar correctamente el signo:

• Positivo (+): Subir, tener dinero, temperatura sobre cero, años después de Cristo, altura sobre el nivel del mar.
• Negativo (-): Bajar, deber dinero, temperatura bajo cero, años antes de Cristo, profundidad marina.

Ejemplo: Un buzo está a $-15$ metros y baja $10$ metros más. Su posición final es $(-15) + (-10) = -25$ metros.

Identificar qué herramienta usar es la clave del éxito:

1. Usamos m.c.m. si: El problema habla de repetir acciones, coincidir en el futuro, o buscar un número que sea "más grande" que los datos iniciales. Palabras clave: volver a coincidir, cada cuánto tiempo.
2. Usamos M.C.D. si: El problema pide dividir, agrupar, hacer lotes o trocear algo en partes iguales de forma que sean lo más grandes posible. Palabras clave: el mayor tamaño, el máximo posible, sin que sobre nada.

Para afrontar cualquier problema matemático en 2º de ESO, sigue estos pasos:

1. Lectura comprensiva: Identifica los datos y qué es lo que te preguntan.
2. Planificación: Decide si necesitas operar con enteros o buscar múltiplos/divisores.
3. Ejecución: Realiza los cálculos con cuidado, respetando la jerarquía y la regla de los signos.
4. Verificación: ¿Tiene sentido que un trozo de cuerda mida 500 metros si la cuerda original mide 20? Comprueba siempre la lógica del resultado.
5. Respuesta: Escribe la solución indicando las unidades (metros, euros, grados, etc.).