Teorema de Pitágoras y semejanza

El Teorema de Pitágoras es una de las herramientas más potentes de las matemáticas. Se aplica exclusivamente a los triángulos rectángulos, que son aquellos que tienen un ángulo de $90^\circ$ (ángulo recto).

En estos triángulos, los lados reciben nombres específicos:

• Catetos: Son los dos lados que forman el ángulo recto. Los llamaremos $a$ y $b$.
• Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto. Es siempre el lado más largo del triángulo. La llamaremos $c$.

El teorema establece que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos: $a^2 + b^2 = c^2$

Podemos usar esta fórmula para encontrar la medida de un lado si conocemos los otros dos. Para ello, debemos despejar la incógnita usando la raíz cuadrada:

1. Calcular la hipotenusa ($c$): Si conocemos los dos catetos, sumamos sus cuadrados y extraemos la raíz. $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
2. Calcular un cateto ($a$ o $b$): Si conocemos la hipotenusa y el otro cateto, restamos el cuadrado del cateto al cuadrado de la hipotenusa. $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Ejemplo práctico: Si un triángulo tiene catetos de $3\text{ cm}$ y $4\text{ cm}$, la hipotenusa será $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$.

El Teorema de Pitágoras también sirve para saber qué tipo de triángulo tenemos basándonos en sus medidas. Si llamamos $c$ al lado mayor:

• Si $a^2 + b^2 = c^2$, el triángulo es rectángulo.
• Si $a^2 + b^2 > c^2$, el triángulo es acutángulo (todos los ángulos son menores de $90^\circ$).
• Si $a^2 + b^2 < c^2$, el triángulo es obtusángulo (tiene un ángulo mayor de $90^\circ$).

Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos $(a, b, c)$ que cumplen exactamente el teorema. La más famosa es $(3, 4, 5)$. Multiplicar una terna por un mismo número genera otra terna proporcional. Por ejemplo, si multiplicamos $(3, 4, 5)$ por $2$, obtenemos $(6, 8, 10)$, que también cumple $6^2 + 8^2 = 10^2$ ($36 + 64 = 100$).

Muchas figuras geométricas pueden dividirse en triángulos rectángulos para facilitar el cálculo de sus elementos:

• Diagonal de un cuadrado/rectángulo: La diagonal actúa como hipotenusa, mientras que los lados son los catetos.
• Altura de un triángulo isósceles: Al trazar la altura desde el vértice superior, dividimos el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales. El cateto base será la mitad de la base total.
• Apotema de un polígono regular: En un hexágono, por ejemplo, el radio, la apotema y la mitad del lado forman un triángulo rectángulo.

En un sistema de coordenadas cartesianas, podemos calcular la distancia entre dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$. La diferencia entre las coordenadas $x$ forma un cateto, y la diferencia entre las $y$ forma el otro. $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ Esta fórmula es vital para la navegación y el diseño de mapas digitales.

El teorema nos permite resolver situaciones cotidianas:

• Escaleras: Si apoyamos una escalera de $5\text{ m}$ a una distancia de $3\text{ m}$ de la pared, ¿a qué altura llega? ($h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\text{ m}$).
• Sombras: Si conocemos la altura de un poste y la distancia desde su punta hasta el extremo de su sombra, podemos calcular la longitud de la sombra.
• Perímetros indirectos: Calcular el contorno de una parcela de la que solo conocemos algunas diagonales.

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño. Para que esto ocurra, deben cumplirse dos condiciones simultáneamente:

1. Los ángulos correspondientes son iguales.
2. Los lados homólogos son proporcionales.

La relación de proporcionalidad entre los lados se llama razón de semejanza ($k$): $k = \frac{lado\text{ figura nueva}}{lado\text{ figura original}}$

En los polígonos semejantes, si multiplicamos cualquier longitud de la figura original por $k$, obtenemos la longitud correspondiente en la figura nueva.

• Propiedad de los perímetros: La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a la razón de semejanza $k$. Si una figura es el doble de grande que otra ($k=2$), su perímetro también será el doble.

Las escalas son aplicaciones prácticas de la semejanza en mapas y planos:

• Escala numérica: Se expresa como $1:50.000$. Significa que $1$ unidad en el papel equivale a $50.000$ unidades en la realidad.
• Escala gráfica: Una línea graduada que indica la equivalencia directa.

Cálculo de distancias reales: $\text{Distancia Real} = \text{Distancia Mapa} \cdot \text{Escala}$

El matemático griego Tales de Mileto enunció que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en las secantes son proporcionales. Si tenemos las paralelas $a, b, c$ cortando a las secantes $r$ y $s$, se cumple: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$

El Teorema de Tales permite dividir un segmento en partes iguales o proporcionales utilizando solo regla y compás:

1. Se traza una semirrecta auxiliar desde un extremo del segmento.
2. Se marcan en ella divisiones iguales con el compás.
3. Se une la última marca con el otro extremo del segmento.
4. Se trazan paralelas a esta última línea desde cada marca.

Se dice que dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. En esta configuración, los dos triángulos son necesariamente semejantes, lo que permite calcular lados desconocidos mediante proporciones simples.

No es necesario comprobar todos los ángulos y lados para saber si dos triángulos son semejantes. Basta con que cumplan uno de estos criterios:

1. Criterio AA (Ángulo-Ángulo): Tienen dos ángulos iguales.
2. Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado): Tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.
3. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Sus tres lados son proporcionales.

La semejanza permite medir objetos inaccesibles o muy altos:

• Método de las sombras: Un poste de $2\text{ m}$ proyecta una sombra de $3\text{ m}$. Si un edificio proyecta una sombra de $15\text{ m}$ a la misma hora, su altura $x$ cumple: $\frac{x}{15} = \frac{2}{3} \rightarrow x = 10\text{ m}$.
• Uso de espejos: Colocando un espejo en el suelo y alejándose hasta ver la punta del objeto, se forman dos triángulos semejantes.

Cuando cambiamos el tamaño de una figura con una razón $k$, las superficies y volúmenes no cambian de la misma forma:

• La razón de las áreas es $k^2$. Si duplicas el lado de un cuadrado, su área se multiplica por $4$.
• La razón de los volúmenes es $k^3$. Si duplicas el tamaño de una maqueta, su volumen (y peso, si es del mismo material) se multiplica por $8$.

Recuerda siempre: las longitudes van con $k$, las superficies con $k^2$ y los volúmenes con $k^3$.