Trazados geométricos fundamentales y polígonos

Un segmento es la porción de recta comprendida entre dos puntos. Las operaciones con ellos son gráficas:

• Suma de segmentos: Se trasladan los segmentos uno a continuación de otro sobre una recta auxiliar mediante el compás.
• Resta de segmentos: Se traslada el segmento menor sobre el mayor; la diferencia es el espacio restante.
• Transporte de ángulos: Para copiar un ángulo sin usar transportador, trazamos un arco de radio cualquiera en el ángulo original. Con el mismo radio, trazamos un arco en la nueva ubicación. Medimos la "cuerda" del arco original y la trasladamos al nuevo arco.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad geométrica.

1. Mediatriz: Es la recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos sus puntos equidistan de los extremos del segmento. Es el eje de simetría del segmento.
2. Bisectriz: Es la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales. Todos sus puntos están a la misma distancia de los lados del ángulo.

El manejo de la escuadra y el cartabón es esencial para el trazado de paralelas y perpendiculares rápidas. Sin embargo, en geometría pura usamos el compás:

• Teorema de Tales: Sirve para dividir un segmento en $n$ partes iguales. Se traza una semirrecta auxiliar desde un extremo, se marcan $n$ divisiones iguales con el compás, se une la última con el otro extremo del segmento y se trazan paralelas.
• Perpendiculares: Desde un punto exterior $P$ a una recta $r$, se traza un arco que corte a $r$ en dos puntos. Las mediatrices de esos puntos pasarán por $P$.

• Según sus lados: Equilátero (3 iguales), Isósceles (2 iguales), Escaleno (3 distintos).
• Según sus ángulos: Acutángulo (3 agudos), Rectángulo (1 recto de $90^\circ$), Obtusángulo (1 obtuso).
• Propiedad fundamental: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$.

Existen cuatro puntos clave donde se cortan las rectas principales del triángulo:

1. Baricentro: Punto de corte de las medianas (unen vértices con el punto medio del lado opuesto). Es el centro de gravedad.
2. Incentro: Punto de corte de las bisectrices. Es el centro de la circunferencia inscrita (tangente interior).
3. Circuncentro: Punto de corte de las mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita (pasa por los vértices).
4. Ortocentro: Punto de corte de las alturas (perpendiculares desde el vértice al lado opuesto).

Para construir un triángulo necesitamos al menos tres datos (siempre que uno sea un lado).

• Tres lados ($a, b, c$): Se coloca el lado $a$ como base. Con el compás, se trazan arcos de radio $b$ y $c$ desde los extremos. Donde se corten, está el tercer vértice.
• Teorema de Pitágoras: En triángulos rectángulos, se cumple que $a^2 = b^2 + c^2$, donde $a$ es la hipotenusa.

1. Paralelogramos: Lados paralelos dos a dos. Incluye el cuadrado (lados y ángulos iguales), rectángulo (ángulos iguales), rombo (lados iguales) y romboide.
2. Trapecios: Solo tienen dos lados paralelos (bases). Pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos.
3. Trapezoides: No tienen ningún lado paralelo.

• Cuadrado dado el lado: Se levanta una perpendicular en un extremo del lado y se traslada la medida con el compás.
• Rombo dadas las diagonales: Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Este es el principio fundamental para su trazado.

Para dibujar un trapecio isósceles, necesitamos conocer las bases y la altura. Se traza la base mayor, se sitúa el eje de simetría (mediatriz) y sobre él se marca la altura para situar la base menor centrada.

• Centro: Punto equidistante de todos los vértices.
• Radio ($R$): Distancia del centro al vértice.
• Apotema ($a$): Distancia del centro al punto medio de un lado.
• Ángulo central: Se calcula como $\frac{360^\circ}{n}$, donde $n$ es el número de lados.

Es el método más preciso cuando conocemos el radio:

• Hexágono: El lado del hexágono regular es igual al radio de la circunferencia ($L = R$). Basta con pinchar en un punto y marcar el radio seis veces.
• Triángulo equilátero: Se obtiene uniendo vértices alternos del hexágono.
• Cuadrado: Se trazan dos diámetros perpendiculares.

Cuando no tenemos un método específico, usamos el Método General (basado en el Teorema de Tales sobre el diámetro). Aunque es una aproximación, permite dibujar polígonos de cualquier número de lados (7, 9, 11...). La precisión en el afilado del lápiz y el ajuste del compás es crítica aquí.

Se obtienen uniendo los vértices de un polígono regular de forma no consecutiva.

• Género: Número de vértices.
• Paso: Número de divisiones que saltamos al unir. Para que una estrella sea "falsa" (compuesta), el paso y el género deben tener divisores comunes (ej. Estrella de David).

1. Recta y circunferencia: El radio que pasa por el punto de tangencia $T$ es siempre perpendicular a la recta tangente.
2. Dos circunferencias: Los centros de las circunferencias y el punto de tangencia $T$ deben estar siempre alineados sobre la misma recta.

Un enlace es la unión de líneas (rectas o arcos) de forma suave, sin picos.

• Óvalo: Curva cerrada y plana compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí. Tiene dos ejes de simetría.
• Ovoide: Curva con forma de huevo. Solo tiene un eje de simetría y consta de cuatro arcos (uno de ellos es una semicircunferencia).

La geometría no es solo dibujo; es la base del diseño industrial y la arquitectura.

• Logotipos: La mayoría de marcas famosas (Apple, Nike) se construyen mediante enlaces de circunferencias y trazados de tangencias.
• Redondeos: En la fabricación de piezas, se evitan las esquinas vivas mediante "acuerdos" o enlaces curvos para evitar que el material se rompa por fatiga.

Resumen para el examen: Asegúrate de llevar el compás bien ajustado y el lápiz 2H bien afilado. La mayoría de los errores en 3º ESO no son de concepto, sino de falta de precisión en los puntos de corte.