Probabilidad: sucesos y regla de Laplace

En el mundo de la ciencia y la vida cotidiana, podemos distinguir dos tipos de fenómenos:

1. Experimentos deterministas: Son aquellos en los que, bajo las mismas condiciones, el resultado es siempre el mismo y se puede predecir con exactitud.
   • Ejemplo: Si sueltas una piedra desde una altura, sabemos con total seguridad que caerá debido a la gravedad.
2. Experimentos aleatorios: Son aquellos cuyo resultado no se puede predecir con certeza, aunque se repitan en las mismas condiciones. Interviene el azar.
   • Ejemplo: Lanzar un dado, jugar a la lotería o el tiempo que tardará en llegar el próximo autobús.

Un experimento es aleatorio si conocemos todos los resultados posibles, pero no cuál de ellos ocurrirá en una prueba concreta.

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se suele representar con la letra $E$ (o a veces con la letra griega $\Omega$).

• Notación: Los resultados se escriben entre llaves y separados por comas.
• Ejemplos:
  • Lanzar una moneda: $E = \{cara, cruz\}$
  • Lanzar un dado de seis caras: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Existen espacios muestrales finitos (como los anteriores) e infinitos (como el número de gotas de lluvia que caen en un cubo hasta llenarse, aunque en este curso nos centraremos en los finitos).

Para no olvidar ningún resultado posible en experimentos complejos, usamos técnicas de recuento:

• Enumeración sistemática: Listar los casos siguiendo un orden lógico (por ejemplo, de menor a mayor).
• Diagramas de árbol: Muy útiles para experimentos compuestos (lanzar dos monedas).
  • Ejemplo (2 monedas):
    • Moneda 1: Cara → Moneda 2: Cara (CC) o Cruz (CX)
    • Moneda 1: Cruz → Moneda 2: Cara (XC) o Cruz (XX)
    • $E = \{CC, CX, XC, XX\}$
• Tablas de doble entrada: Ideales para lanzar dos dados. En las filas ponemos los resultados del dado A y en las columnas los del dado B. El cruce de cada fila y columna nos da un resultado (1-1, 1-2, etc.).

---

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, uno o varios de los resultados posibles.

• Suceso elemental: Es aquel que consta de un único resultado del experimento.
  • Ejemplo: Al lanzar un dado, obtener un 5 es un suceso elemental: $A = \{5\}$.
• Suceso compuesto: Es el que consta de dos o más resultados elementales.
  • Ejemplo: Obtener un número par al lanzar un dado: $B = \{2, 4, 6\}$.

Existen dos casos extremos que debemos conocer:

1. Suceso seguro: Es el que siempre ocurre. Coincide con el espacio muestral $E$.
   • Ejemplo: Sacar un número menor que 7 al lanzar un dado estándar.
2. Suceso imposible: Es el que nunca puede ocurrir. Se representa con el símbolo del conjunto vacío $\emptyset$.
   • Ejemplo: Sacar un 8 al lanzar un dado de seis caras.

Los sucesos pueden interactuar entre sí de diferentes maneras:

• Sucesos compatibles: Pueden ocurrir a la vez porque tienen elementos en común.
  • Ejemplo: "Sacar par" y "Sacar múltiplo de 3" (el 6 cumple ambos).
• Sucesos incompatibles: No pueden ocurrir simultáneamente.
  • Ejemplo: "Sacar un 1" y "Sacar un 6".
• Sucesos contrarios o complementarios: El suceso contrario a $A$ (denotado como $\bar{A}$ o $A^c$) es el que ocurre cuando no ocurre $A$.
  • Ejemplo: Si $A$ es "sacar par", $\bar{A}$ es "sacar impar".

---

La unión de dos sucesos $A$ y $B$ (se escribe $A \cup B$) es el suceso formado por todos los elementos que están en $A$, en $B$ o en ambos.

• Concepto: Equivale a la conjunción disyuntiva "o".
• Visualización: Si usamos diagramas de Venn, la unión es el área total que cubren ambos círculos.

La intersección de dos sucesos $A$ y $B$ (se escribe $A \cap B$) es el suceso formado por los elementos comunes a ambos.

• Concepto: Equivale a la conjunción "y".
• Sucesos disjuntos: Si $A \cap B = \emptyset$, decimos que los sucesos son disjuntos o incompatibles (no tienen nada en común).

El suceso contrario $\bar{A}$ contiene todos los elementos de $E$ que no están en $A$. Propiedades importantes:

1. $A \cup \bar{A} = E$ (La unión de un suceso y su contrario es el espacio muestral completo).
2. $A \cap \bar{A} = \emptyset$ (Un suceso y su contrario no pueden ocurrir a la vez).

---

Para aplicar la Regla de Laplace, los sucesos elementales deben ser equiprobables, es decir, todos deben tener la misma posibilidad de ocurrir.

• Ejemplo: Un dado no debe estar trucado y una moneda debe estar equilibrada. Si hay simetría física, hay equiprobabilidad.

La Regla de Laplace es la herramienta fundamental para calcular probabilidades en espacios muestrales finitos:

$P(A) = \frac{\text{Número de casos favorables al suceso } A}{\text{Número de casos posibles}}$

Características de la probabilidad:

• El valor siempre está entre 0 y 1: $0 \leq P(A) \leq 1$.
• $P(\text{Suceso imposible}) = 0$.
• $P(\text{Suceso seguro}) = 1$.
• Se puede expresar como fracción, decimal o porcentaje (multiplicando por 100).

Veamos ejemplos prácticos de aplicación:

---

Cuando no podemos usar Laplace (porque no conocemos la estructura interna del objeto o no hay equiprobabilidad), recurrimos a la experimentación:

• Frecuencia absoluta ($n_i$): Número de veces que ocurre el suceso en $N$ ensayos.
• Frecuencia relativa ($f_i$): Es el cociente $\frac{n_i}{N}$.

Esta ley es el puente entre la estadística y la probabilidad. Establece que: Al repetir un experimento aleatorio un número muy grande de veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse alrededor de un valor fijo.

Ese valor fijo es la probabilidad teórica del suceso. Por ejemplo, si lanzas una moneda 10 veces, puede que salgan 7 caras ($f_i = 0,7$), pero si la lanzas 10.000 veces, la frecuencia relativa estará muy cerca de $0,5$.

En la vida real (seguros médicos, meteorología, calidad industrial), usamos la frecuencia relativa para estimar probabilidades:

1. Realizamos muchas pruebas.
2. Calculamos la frecuencia relativa.
3. Asignamos ese valor como la probabilidad del suceso para el futuro.

Limitación: Los resultados son estimaciones. Cuantas más pruebas hagamos (mayor $N$), más fiable será nuestra predicción, pero nunca tendremos la certeza absoluta que da la Regla de Laplace en sistemas ideales.