Sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas

Una sucesión numérica es un conjunto infinito de números dispuestos en un orden determinado. A diferencia de un conjunto normal, en una sucesión el orden es vital.

Cada uno de los números que forman la sucesión se denomina término. Para identificarlos, utilizamos una letra (normalmente la $a$) y un subíndice que indica la posición:

• $a_1$: primer término.
• $a_2$: segundo término.
• $a_n$: término general o término que ocupa la posición $n$.

El índice ($n$) siempre es un número natural ($1, 2, 3...$), mientras que el valor del término puede ser cualquier número (decimal, negativo, fracción).

Existen varias maneras de presentar una sucesión para que sepamos cómo continúa:

1. Listado de términos: Escribimos los primeros elementos: $2, 4, 6, 8, ...$ (los puntos suspensivos indican que es infinita).
2. Descripción mediante una regla: Por ejemplo, "la sucesión de los números impares".
3. Representación gráfica: En unos ejes de coordenadas, representamos en el eje X la posición ($n$) y en el eje Y el valor del término ($a_n$). El resultado son puntos aislados, nunca una línea continua.

El término general ($a_n$) es una fórmula matemática que nos permite calcular cualquier término de la sucesión sin necesidad de conocer los anteriores.

• Ejemplo: Si $a_n = 3n + 1$:
  • Para $n=1 \rightarrow a_1 = 3(1) + 1 = 4$
  • Para $n=10 \rightarrow a_{10} = 3(10) + 1 = 31$

Para obtener el término general por inspección, debemos buscar la relación entre la posición y el valor. Si vemos $1, 4, 9, 16...$, observamos que cada número es el cuadrado de su posición, por lo tanto $a_n = n^2$.

Una sucesión es recurrente cuando cada término se obtiene operando con los términos anteriores. El ejemplo más famoso es la Sucesión de Fibonacci: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...$ Aquí, cada término (a partir del tercero) es la suma de los dos anteriores: $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$. Para definir estas sucesiones, es obligatorio dar los primeros valores (condiciones iniciales).

Una progresión aritmética (PA) es un tipo de sucesión donde cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada diferencia ($d$).

• Si $d > 0$, la progresión es creciente.
• Si $d < 0$, la progresión es decreciente.

Para calcular la diferencia, restamos cualquier término menos el anterior: ==$d = a_n - a_{n-1}$==.

Para no tener que sumar la diferencia muchas veces, usamos la fórmula: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$ Esta fórmula es una herramienta potente:

• Si conocemos $a_1$ y $d$, podemos hallar cualquier $a_n$.
• Si conocemos dos términos cualesquiera, podemos despejar $d$ y luego hallar $a_1$.

Ejemplo: En la progresión $5, 8, 11...$, tenemos $a_1 = 5$ y $d = 3$. El término 20 será: $a_{20} = 5 + (20 - 1) \cdot 3 = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62$.

Interpolar medios aritméticos entre dos números dados ($a$ y $b$) consiste en encontrar varios números que, situados entre ellos, formen una progresión aritmética. Si queremos intercalar $k$ términos entre $a$ y $b$, el número total de términos será $n = k + 2$. Usamos la fórmula del término general para hallar la diferencia necesaria.

En una PA finita, la suma de los términos que están a la misma distancia de los extremos es constante. Es decir: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \dots$ Esta propiedad es la base para calcular sumas rápidamente.

Cuenta la historia que el matemático Gauss, siendo niño, sumó los números del 1 al 100 en segundos usando esta lógica. La fórmula para sumar los primeros $n$ términos ($S_n$) es: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ Multiplicamos la suma de los extremos por el número de términos y dividimos entre dos (porque al sumar extremos estamos haciendo parejas).

Las progresiones aritméticas aparecen en:

1. Ahorro lineal: Guardar 5€ la primera semana, 10€ la segunda, 15€ la tercera...
2. Asientos en teatros: Donde cada fila tiene 2 asientos más que la anterior.
3. Entrenamientos: Correr 10 minutos el primer día y aumentar 2 minutos cada día.

Una progresión geométrica (PG) es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada razón ($r$). Para hallar la razón, dividimos un término entre el anterior: $r = \frac{a_n}{a_{n-1}}$.

• Si $r > 1$, la progresión crece muy rápido.
• Si $0 < r < 1$, los términos se hacen cada vez más pequeños (decreciente).
• Si $r < 0$, los términos alternan su signo (positivos y negativos).

La fórmula para encontrar cualquier término es: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ Aquí el crecimiento es exponencial, lo que significa que los valores aumentan o disminuyen mucho más rápido que en las aritméticas.

Interpolar medios geométricos consiste en insertar números entre dos dados para que formen una PG. Para hallar la razón en estos casos, usamos la fórmula: $r = \sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}$ donde $k$ es el número de términos a interpolar, $a$ es el primero y $b$ el último.

Para sumar los primeros $n$ términos de una PG, usamos: $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r - 1} \quad \text{o también} \quad S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$ Esta fórmula es vital para calcular, por ejemplo, el total de personas que reciben un mensaje en una cadena de WhatsApp.

¿Podemos sumar infinitos números y que el resultado no sea infinito? ¡Sí! Ocurre en las PG decrecientes donde la razón está entre -1 y 1 ($|r| < 1$). A medida que añadimos términos, estos son tan pequeños que la suma se estabiliza en un valor límite: $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$ Esta fórmula solo es válida si $-1 < r < 1$.

Al igual que en la suma aritmética, en la PG el producto de términos equidistantes es constante: $a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1}$. El producto de los $n$ primeros términos se calcula como: $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$

Es la aplicación financiera más importante. Si invertimos un capital $C$ a un interés anual $i$ (en decimal), el dinero que tendremos cada año sigue una progresión geométrica de razón $r = (1 + i)$. La fórmula del capital final es: $C_f = C_i \cdot (1 + i)^t$, donde $t$ es el tiempo.

Las bacterias se suelen duplicar en periodos fijos de tiempo ($r=2$). Si una noticia se difunde de modo que cada persona se la cuenta a 3 más, estamos ante una PG de razón $r=3$. Entender estas progresiones ayuda a predecir la expansión de epidemias o el éxito de campañas de marketing.

Para resolver problemas de sucesiones, sigue estos pasos:

1. Identificar el tipo: ¿Se suma siempre lo mismo (PA) o se multiplica (PG)?
2. Extraer datos: Anotar $a_1$, $d$ o $r$, y qué nos preguntan ($a_n$ o $S_n$).
3. Aplicar fórmula: Sustituir y despejar con cuidado las potencias o raíces.
4. Sentido común: Si una población de bacterias disminuye y tu resultado es mayor al inicial, revisa los cálculos.