Sucesiones numéricas y límites

Una sucesión es un conjunto infinito de números reales dispuestos en un orden específico. Cada número se denomina término y se representa habitualmente como $a_n$, donde $n$ es la posición (un número natural $1, 2, 3...$).

Existen varias formas de definir una sucesión:

1. Término general ($a_n$): Una fórmula que permite calcular cualquier término conociendo solo su posición. Ejemplo: $a_n = 2n + 1$.
2. Ley de recurrencia: Cada término se obtiene operando con los anteriores. Ejemplo: $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ (Sucesión de Fibonacci).
3. Representación gráfica: Los términos se representan como puntos aislados en el plano cartesiano $(n, a_n)$.

Las sucesiones pueden ser monótonas (crecientes si $a_{n+1} \geq a_n$ o decrecientes si $a_{n+1} \leq a_n$) y pueden estar acotadas si existe un valor real que los términos nunca superan (cota superior) o del que nunca bajan (cota inferior).

Son sucesiones donde cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada diferencia ($d$).

• Término general: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$
• Suma de los $n$ primeros términos: Es fundamental para problemas de ahorro o crecimiento lineal. $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

En estas sucesiones, cada término es el resultado de multiplicar el anterior por una constante llamada razón ($r$).

• Término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
• Suma de $n$ términos: $S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$
• Suma de infinitos términos: Si el valor absoluto de la razón es menor que 1 ($|r| < 1$), los términos se hacen cada vez más pequeños, tendiendo a cero. En este caso, la suma de todos los infinitos términos es un valor finito: $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$

El límite de una sucesión es el valor al que se aproximan sus términos cuando $n$ se hace infinitamente grande ($n \to \infty$).

• Convergentes: Tienen un límite real $L$.
• Divergentes: Tienden a $+\infty$ o $-\infty$.
• Oscilantes: No tienen límite ni tienden a infinito (ejemplo: $a_n = (-1)^n$).

Formalmente, decimos que $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ si para cualquier entorno de $L$, por pequeño que sea, todos los términos de la sucesión a partir de uno determinado caen dentro de ese entorno.

Si conocemos los límites de dos sucesiones $a_n \to A$ y $b_n \to B$, podemos operar con ellos de forma intuitiva en la mayoría de los casos:

1. Suma/Resta: $\lim(a_n \pm b_n) = A \pm B$
2. Producto: $\lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
3. Cociente: $\lim(\frac{a_n}{b_n}) = \frac{A}{B}$ (si $B \neq 0$)
4. Potencia: $\lim(a_n^{b_n}) = A^B$

Sin embargo, a veces aparecen indeterminaciones (como $\frac{\infty}{\infty}$ o $\infty - \infty$) que requieren técnicas especiales de resolución.

El número $e$ ($2,71828...$) surge de forma natural al estudiar el límite de la siguiente sucesión: $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ Este número es la base de los logaritmos naturales y es vital para modelar el crecimiento compuesto continuo en finanzas y biología.

Cuando tenemos el cociente de dos polinomios $\frac{P(n)}{Q(n)}$ y $n \to \infty$, aparece la forma $\frac{\infty}{\infty}$. Para resolverla, comparamos los grados de los polinomios:

• Si $grado(P) > grado(Q)$, el límite es $\pm \infty$.
• Si $grado(P) < grado(Q)$, el límite es $0$.
• Si $grado(P) = grado(Q)$, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

La forma $\infty - \infty$ suele aparecer en sucesiones con radicales. La estrategia principal es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión irracional. Ejemplo: Para $\sqrt{n^2+1} - n$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{n^2+1} + n}{\sqrt{n^2+1} + n}$. Esto permite eliminar la raíz del numerador y transformar la resta en un cociente resoluble.

Aparecen en sucesiones de la forma $(a_n)^{b_n}$ donde la base tiende a 1 y el exponente a infinito. Se resuelven usando la fórmula del número $e$: $\lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n} = e^{\lim_{n \to \infty} [b_n \cdot (a_n - 1)]}$ Esta técnica consiste en transformar la base para que se parezca a la definición de $e$.

A diferencia de las sucesiones (donde solo $n \to \infty$), en las funciones podemos estudiar el límite cuando $x$ se acerca a un valor finito $a$. Para que exista el límite $\lim_{x \to a} f(x)$, deben existir los límites laterales y ser iguales: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$ Si los laterales son diferentes o tienden a infinito, el límite no existe como número real.

Estudian el comportamiento de $f(x)$ cuando la variable independiente crece o decrece sin medida. Esto define las asíntotas:

1. Asíntota Horizontal: Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, la recta $y = L$ es una asíntota.
2. Asíntota Oblicua: Si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, la función se aproxima a una recta $y = mx + n$.

Una función es continua en un punto $x = a$ si cumple tres condiciones:

1. Existe $f(a)$ (la función está definida).
2. Existe el límite $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. Ambos valores coinciden: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Tipos de discontinuidad:

• Evitable: El límite existe pero no coincide con el valor de la función.
• Inevitable de salto finito: Los límites laterales son números distintos.
• Inevitable de salto infinito: Al menos uno de los límites laterales es $\pm \infty$ (presencia de asíntota vertical).

Las funciones definidas a trozos son el escenario típico de examen para analizar la continuidad, verificando que los límites por la izquierda y la derecha coincidan en los puntos de unión de los intervalos.