Números reales y logaritmos

El conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) engloba todos los números que podemos situar en la recta numérica. Se dividen principalmente en dos grandes grupos:

1. Números Racionales ($\mathbb{Q}$): Aquellos que pueden expresarse como fracción $\frac{a}{b}$. Incluyen a los naturales ($\mathbb{N}$), los enteros ($\mathbb{Z}$) y los decimales exactos o periódicos.
2. Números Irracionales ($\mathbb{I}$): Aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. No pueden escribirse como fracción.

La unión de racionales e irracionales forma el conjunto de los números reales, que goza de la propiedad de completitud: a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa.

Ejemplos de irracionales comunes:

• $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ (raíces no exactas).
• $\pi \approx 3,14159...$ (relación circunferencia-diámetro).
• $e \approx 2,71828...$ (número de Euler).

Mientras que los racionales se sitúan dividiendo segmentos, los irracionales como $\sqrt{n}$ se representan exactamente usando el Teorema de Pitágoras.

• Ejemplo para $\sqrt{2}$: Dibujamos un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1. La hipotenusa mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Con un compás, trasladamos esa distancia a la recta.
• Densidad: Entre dos números racionales siempre existe otro racional (propiedad de densidad), pero solo los reales logran "llenar" todos los huecos de la recta.

Los intervalos son subconjuntos de la recta real que se corresponden con segmentos o semirrectas.

El valor absoluto $|x|$ representa la distancia de un número al cero. Un entorno de centro $a$ y radio $r$, denotado como $E(a, r)$, es el intervalo abierto $(a-r, a+r)$.

Cuando trabajamos con números irracionales o decimales muy largos, necesitamos simplificarlos:

1. Truncamiento: Se cortan las cifras a partir de un orden determinado, ignorando el resto.
2. Redondeo: Se observa la primera cifra eliminada. Si es $\geq 5$, se suma uno a la última cifra mantenida; si es $< 5$, se deja igual.

Las cifras significativas son aquellas que aportan información real sobre la precisión de una medida, contando desde la primera cifra distinta de cero a la izquierda.

Para medir qué tan buena es nuestra aproximación, usamos dos indicadores:

• Error Absoluto ($E_a$): Es la diferencia positiva entre el valor real ($V_r$) y el valor aproximado ($V_a$). $E_a = |V_r - V_a|$
• Error Relativo ($E_r$): Es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Suele expresarse en porcentaje. $E_r = \frac{E_a}{|V_r|}$

El error relativo es el más útil para comparar la calidad de dos aproximaciones, ya que no depende de la magnitud de las unidades.

Se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños de forma compacta: $a \cdot 10^n$, donde $1 \leq a < 10$ y $n \in \mathbb{Z}$.

• Ejemplo: La velocidad de la luz es $3 \cdot 10^8$ m/s. El tamaño de un virus podría ser $5 \cdot 10^{-7}$ m.

Es fundamental recordar que una raíz es, en realidad, una potencia de exponente fraccionario: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ Esto permite aplicar las propiedades de las potencias (misma base se suman exponentes en producto, se restan en cociente) a los radicales.

Para operar con radicales, debemos seguir reglas estrictas:

1. Suma y resta: Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando). Ejemplo: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
2. Producto y cociente: Deben tener el mismo índice. Si no lo tienen, se busca el mínimo común múltiplo de los índices.
3. Extracción de factores: Si el exponente del factor dentro de la raíz es mayor o igual al índice, se puede sacar fuera dividiendo el exponente por el índice.

Racionalizar consiste en eliminar las raíces del denominador para facilitar cálculos.

• Caso 1: $\frac{a}{\sqrt{b}}$. Se multiplica numerador y denominador por $\sqrt{b}$.
• Caso 2: $\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}$. Se multiplica por $\sqrt[n]{b^{n-m}}$.
• Caso 3: $\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$. Se multiplica por el conjugado ($\sqrt{b} - \sqrt{c}$), aprovechando la identidad notable de suma por diferencia.

El logaritmo de un número $x$ en base $a$ es el exponente $y$ al que hay que elevar la base para obtener dicho número. $\log_a(x) = y \iff a^y = x$ Restricciones importantes:

• La base $a$ debe ser positiva y distinta de 1 ($a > 0, a \neq 1$).
• El argumento $x$ debe ser estrictamente positivo ($x > 0$). No existen logaritmos de números negativos ni de cero.

Tipos especiales:

• Logaritmos decimales: Base 10, se escriben $\log(x)$.
• Logaritmos neperianos: Base $e$, se escriben $\ln(x)$.

Los logaritmos transforman operaciones complejas en otras más sencillas:

1. Logaritmo de un producto: $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$
2. Logaritmo de un cociente: $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$
3. Logaritmo de una potencia: $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$
4. Cambio de base: $\log_a(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(a)}$ (útil para usar la calculadora).

Para resolver ecuaciones logarítmicas, el objetivo es conseguir que aparezca un solo logaritmo a cada lado de la igualdad, para luego "eliminarlos": $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \implies f(x) = g(x)$ Es vital comprobar siempre las soluciones obtenidas en la ecuación original para asegurar que no den lugar a logaritmos de números negativos.

Son aquellas donde la incógnita está en el exponente. Se resuelven de dos formas:

• Igualación de bases: Si $2^x = 32$, como $32 = 2^5$, entonces $x = 5$.
• Aplicando logaritmos: Si las bases no son iguales (ej. $2^x = 7$), aplicamos logaritmos en ambos lados: $\log(2^x) = \log(7) \implies x \cdot \log(2) = \log(7) \implies x = \frac{\log(7)}{\log(2)}$.

Muchos procesos naturales siguen modelos exponenciales:

• Interés compuesto: $C_f = C_i \cdot (1 + r)^t$, donde $r$ es el rédito y $t$ el tiempo.
• Crecimiento poblacional: $N = N_0 \cdot e^{kt}$.
• Desintegración radiactiva: Se usa para datar fósiles (Carbono-14). Los logaritmos permiten despejar el tiempo $t$ en estas fórmulas.

En ciencia, cuando los valores varían en rangos inmensos, usamos escalas logarítmicas:

1. Escala Richter: Mide la energía de los terremotos. Un aumento de 1 grado en la escala significa que el terremoto es 10 veces más intenso.
2. pH: Mide la acidez de una sustancia. $pH = -\log[H^+]$.
3. Decibelios (dB): Mide la intensidad del sonido. Al ser logarítmica, permite representar desde el umbral del oído humano hasta el despegue de un cohete sin usar números de demasiados ceros.