Números reales y aproximaciones

El conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) engloba todos los números que podemos situar en la recta numérica. Se divide principalmente en dos grandes grupos:

1. Números Racionales ($\mathbb{Q}$): Son aquellos que pueden expresarse como una fracción $\frac{a}{b}$ (donde $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$). Incluyen:
   • Enteros: Positivos, negativos y el cero.
   • Decimales exactos: Ejemplo: $0,25 = \frac{1}{4}$.
   • Decimales periódicos puros: Ejemplo: $0,333... = \frac{1}{3}$.
   • Decimales periódicos mixtos: Ejemplo: $0,1666... = \frac{1}{6}$.
2. Números Irracionales ($\mathbb{I}$): Son números con infinitas cifras decimales no periódicas. No pueden escribirse como fracción. Ejemplos clásicos son $\pi$, $e$, o $\sqrt{2}$.

La unión de racionales e irracionales forma el conjunto de los números reales. Es una estructura completa, lo que significa que no hay "huecos" en la recta.

Cada número real corresponde a un punto único en la recta.

• Ordenación: Decimos que $a < b$ si el punto $a$ está a la izquierda de $b$.
• Representación de raíces: Para representar exactamente $\sqrt{n}$, usamos el Teorema de Pitágoras. Por ejemplo, para $\sqrt{2}$, dibujamos un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1; la hipotenusa mide $\sqrt{2}$, y con un compás trasladamos esa medida a la recta.
• Densidad: Entre dos números reales, por muy próximos que estén, siempre existen infinitos números reales.

Los intervalos son subconjuntos de la recta real que corresponden a segmentos o rayos.

El valor absoluto $|x|$ representa la distancia de un número al cero. Por tanto, $|x| < 3$ define el intervalo $(-3, 3)$.

En la vida real, a menudo trabajamos con valores cercanos al real por comodidad o limitación de los instrumentos.

• Truncamiento: Cortar el número en una cifra determinada, eliminando el resto. Ejemplo: $3,14159$ truncado a las centésimas es $3,14$.
• Redondeo: Si la primera cifra eliminada es $\ge 5$, sumamos uno a la última cifra mantenida. Si es $< 5$, la dejamos igual. Ejemplo: $3,14159$ redondeado a las milésimas es $3,142$.

Al aproximar, cometemos un error que debemos cuantificar:

1. Error Absoluto ($E_a$): Es la diferencia positiva entre el valor real ($V_r$) y el valor aproximado ($V_a$). $E_a = |V_r - V_a|$
2. Error Relativo ($E_r$): Es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Suele expresarse en porcentaje. $E_r = \frac{E_a}{|V_r|}$

El error relativo es el más útil para comparar la calidad de una medida, ya que no depende de la magnitud de lo que medimos. No es lo mismo fallar por 1 cm al medir un folio que al medir una carretera.

Cuando operamos con datos aproximados, el error resultante puede aumentar. Por ejemplo, al sumar dos medidas con error, el error absoluto de la suma es la suma de los errores absolutos. Es vital usar el sentido común y la calculadora con precaución, manteniendo suficientes cifras significativas durante los pasos intermedios.

Las potencias facilitan el trabajo con multiplicaciones repetidas. Recordamos las reglas clave:

• $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
• $a^n / a^m = a^{n-m}$
• $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ (Exponente fraccionario)

Se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños mediante el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10.

• Formato: $m \cdot 10^n$, donde $1 \le |m| < 10$.
• Ejemplo: La velocidad de la luz es $\approx 3 \cdot 10^8$ m/s. El tamaño de un virus puede ser $5 \cdot 10^{-9}$ m.
• Operaciones: Para multiplicar, multiplicamos las mantisas y sumamos exponentes. Para sumar, debemos igualar primero los exponentes.

Muchos fenómenos naturales siguen un crecimiento exponencial. Si una población de bacterias se dobla cada hora, tras $t$ horas habrá $2^t$ veces la población inicial. La notación científica es esencial aquí para manejar las magnitudes astronómicas o microscópicas resultantes.

Un radical $\sqrt[n]{a}$ es la operación inversa a la potencia. Propiedades fundamentales:

• Equivalencia: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.
• Introducir factores: $x \cdot \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{x^n \cdot a}$.
• Extraer factores: Dividimos el exponente del radicando entre el índice. El cociente sale fuera y el resto queda dentro.

• Suma/Resta: Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando). Ejemplo: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
• Producto/Cociente: Deben tener el mismo índice. Si no lo tienen, buscamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices para reducirlos a común índice.

Consiste en eliminar las raíces del denominador para facilitar los cálculos.

1. Tipo $\frac{a}{\sqrt{b}}$: Multiplicamos numerador y denominador por $\sqrt{b}$.
2. Tipo $\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$: Multiplicamos por el conjugado $(\sqrt{b} - \sqrt{c})$. Usamos la identidad notable $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ para anular la raíz.

El logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base $a$ para obtener un número $x$. $\log_a x = y \iff a^y = x$

• Logaritmos decimales: Base 10 ($\log x$).
• Logaritmos neperianos: Base $e \approx 2,718$ ($\ln x$).

Son las "inversas" de las propiedades de las potencias:

1. Producto: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
2. Cociente: $\log_a (x / y) = \log_a x - \log_a y$
3. Potencia: $\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x$
4. Cambio de base: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ (Útil para calcular cualquier logaritmo con la calculadora).

Los logaritmos permiten "bajar" el exponente de una ecuación, siendo fundamentales para resolver ecuaciones exponenciales donde la incógnita está en el exponente.

• Escalas: La escala Richter (terremotos) o el pH (acidez) son logarítmicos; un aumento de 1 unidad significa que la intensidad se multiplica por 10.
• Finanzas: Se usan para calcular el tiempo necesario para alcanzar un capital determinado en interés compuesto.