Les parallelogrammes

Un quadrilatère est une figure géométrique plane fermée qui possède quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.

• Sommets : Les points où les côtés se rencontrent (ex: A, B, C, D).
• Côtés : Les segments de droite qui relient les sommets (ex: [AB], [BC], [CD], [DA]).
• Diagonales : Les segments de droite qui relient deux sommets non consécutifs (ex: [AC], [BD]).

On distingue les quadrilatères convexes (tous les angles internes sont inférieurs à 180°) et non convexes (au moins un angle interne est supérieur à 180°). Dans ce cours, nous étudierons principalement les quadrilatères convexes.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

• Si un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, alors :
  • Le côté [AB] est parallèle au côté [DC] (AB // DC).
  • Le côté [AD] est parallèle au côté [BC] (AD // BC).

Contre-exemple : Un trapèze a seulement deux côtés parallèles, ce n'est donc pas un parallélogramme.

Notation : Un parallélogramme se nomme souvent par ses sommets, par exemple ABCD.

Pour reconnaître un parallélogramme, on peut :

1. Observer les propriétés visuelles : Les côtés opposés semblent parallèles et de même longueur. Les angles opposés semblent égaux.
2. Utiliser des instruments de géométrie :
   • Avec une règle et une équerre, on peut vérifier le parallélisme des côtés.
   • Avec un compas, on peut vérifier l'égalité des longueurs des côtés ou l'égalité des diagonales.
   • Avec un rapporteur, on peut mesurer les angles.
3. Différence avec d'autres quadrilatères : Un quadrilatère quelconque n'aura pas toutes ces propriétés. Un trapèze n'aura qu'une seule paire de côtés parallèles.

Dans un parallélogramme :

1. Les côtés opposés sont parallèles (c'est la définition).
   • Si ABCD est un parallélogramme, alors (AB) // (DC) et (AD) // (BC).
2. Les côtés opposés ont la même longueur.
   • Si ABCD est un parallélogramme, alors ==AB = DC et AD = BC==.

Démonstration intuitive : Imaginez deux paires de rails parallèles. Les segments qui les relient en formant un parallélogramme auront nécessairement la même longueur pour maintenir le parallélisme.

Dans un parallélogramme : Les angles opposés ont la même mesure.

• Si ABCD est un parallélogramme, alors $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$.

Démonstration intuitive : Si vous faites pivoter un parallélogramme de 180° autour de son centre, il se superpose à lui-même. Les angles opposés se correspondent donc.

Dans un parallélogramme : Les angles consécutifs sont supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme est égale à 180°.

• Si ABCD est un parallélogramme, alors :
  • $\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ$
  • $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$
  • $\widehat{C} + \widehat{D} = 180^\circ$
  • $\widehat{D} + \widehat{A} = 180^\circ$

Lien avec les droites parallèles : Ces angles sont des angles consécutifs internes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante. On sait que la somme de tels angles est de 180°. La somme des angles d'un quadrilatère est toujours de $360^\circ$. Pour un parallélogramme, cela se vérifie : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{A} + \widehat{B} = 2(\widehat{A} + \widehat{B}) = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.

Dans un parallélogramme : Les diagonales se coupent en leur milieu. Ce point d'intersection est le centre du parallélogramme.

• Si ABCD est un parallélogramme et que ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en un point O, alors O est le milieu de [AC] et O est le milieu de [BD].
• Le point O est le centre de symétrie du parallélogramme.

Cette propriété est très utile pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Réciproque : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.

Soient trois points non alignés A, B, C. On veut construire un parallélogramme ABCD.

Méthode 1 : Utilisation du compas et de la règle

1. Tracez le segment [AB].
2. Pour trouver le point D :
   • Tracez un arc de cercle de centre C et de rayon AB.
   • Tracez un arc de cercle de centre A et de rayon BC.
   • L'intersection de ces deux arcs est le point D.
   • Reliez A à D et C à D.

Méthode 2 : Utilisation de l'équerre et de la règle (parallélisme)

1. Tracez le segment [AB].
2. Tracez la droite parallèle à (AB) passant par C.
3. Tracez la droite parallèle à (BC) passant par A.
4. L'intersection de ces deux droites est le point D.

1. Choisissez un point O (ce sera le centre du parallélogramme).
2. Tracez la première diagonale [AC] en vous assurant que O en est le milieu.
   • Placez A, puis placez C tel que O soit le milieu de [AC].
3. Tracez la deuxième diagonale [BD] en vous assurant que O en est le milieu.
   • Placez B, puis placez D tel que O soit le milieu de [BD].
4. Reliez les sommets A, B, C, D dans l'ordre pour former le parallélogramme ABCD.

• Vérification : Mesurez les côtés opposés ou les angles opposés pour confirmer.

Des logiciels comme GeoGebra permettent de construire des parallélogrammes facilement et d'explorer leurs propriétés.

1. Avec l'outil "Parallélogramme" : Cliquez sur trois points, le logiciel complète le quatrième.
2. Avec les outils de parallélisme/longueur : Tracez des segments et utilisez les fonctions "droite parallèle" ou "cercle" pour placer les sommets.

• Avantages : Précision, rapidité, permet d'animer la figure et d'observer comment les propriétés se maintiennent.

Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.

• Puisqu'il a un angle droit et que ses angles consécutifs sont supplémentaires, alors tous ses angles sont droits ($90^\circ$).
• Propriétés spécifiques :
  • Quatre angles droits.
  • Les côtés opposés sont de même longueur (comme tout parallélogramme).
  • Les diagonales sont de même longueur (==AC = BD==).
  • Les diagonales se coupent en leur milieu (comme tout parallélogramme).

Un losange est un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur.

• Puisqu'il a quatre côtés de même longueur, il a forcément ses côtés opposés de même longueur (comme tout parallélogramme).
• Propriétés spécifiques :
  • Quatre côtés de même longueur.
  • Les diagonales sont perpendiculaires ($(AC) \perp (BD)$).
  • Les diagonales sont les bissectrices des angles.
  • Les diagonales se coupent en leur milieu (comme tout parallélogramme).

Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

• C'est un parallélogramme qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
• Il possède toutes les propriétés des rectangles et des losanges :
  • Quatre côtés de même longueur.
  • Quatre angles droits.
  • Diagonales de même longueur.
  • Diagonales perpendiculaires.
  • Diagonales se coupant en leur milieu.
  • Diagonales bissectrices des angles.
• C'est le cas le plus symétrique des parallélogrammes.

Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut utiliser l'une des propriétés vues précédemment :

1. Par la définition : Montrer que ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
   • Ex: Si (AB) // (DC) et (AD) // (BC), alors ABCD est un parallélogramme.
2. Par les côtés : Montrer que ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.
   • Ex: Si AB = DC et AD = BC, alors ABCD est un parallélogramme.
   • Ou montrer qu'il a deux côtés opposés parallèles ET de même longueur.
   • Ex: Si (AB) // (DC) et AB = DC, alors ABCD est un parallélogramme.
3. Par les diagonales : Montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu.
   • Ex: Si les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O, alors ABCD est un parallélogramme.

Application des propriétés des angles :

• Si on connaît un angle, on peut trouver tous les autres.
  • Ex: Si $\widehat{A} = 70^\circ$ dans le parallélogramme ABCD :
    • $\widehat{C} = 70^\circ$ (angles opposés)
    • $\widehat{B} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ (angles consécutifs supplémentaires)
    • $\widehat{D} = 110^\circ$ (angles opposés)

Application des propriétés des côtés :

• Si on connaît la longueur d'un côté, on connaît celle de son côté opposé.
  • Ex: Si AB = 5 cm, alors DC = 5 cm.

Ces problèmes demandent souvent de combiner plusieurs propriétés.

1. Tracez le segment [AB] de 6 cm.
2. À partir de A, tracez un segment [AD] de 4 cm formant un angle de $60^\circ$ avec [AB].
3. Pour trouver C :
   • Tracez un arc de cercle de centre B et de rayon AD = 4 cm.
   • Tracez un arc de cercle de centre D et de rayon AB = 6 cm.
   • L'intersection est le point C.
4. Reliez B à C et D à C.

• Justification : On a construit un quadrilatère avec des côtés opposés de même longueur (AB=DC et AD=BC), c'est donc un parallélogramme.