Calcul littéral : expressions et équations

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres (aussi appelées variables) en plus des nombres et des symboles d'opérations ($+$, $-$, $\times$, $\div$). Ces lettres représentent des nombres dont la valeur peut varier ou être inconnue.

L'intérêt principal est de pouvoir écrire des formules générales ou de résoudre des problèmes où des valeurs sont inconnues.

• $3 + x$
• $2 \times a - 5$
• $y^2$ (qui signifie $y \times y$)
• $4a + 2b - 7$

Dans l'expression $3 + x$, $x$ est la variable. Elle peut prendre n'importe quelle valeur numérique.

Pour rendre les expressions littérales plus faciles à lire et à écrire, on utilise des conventions de simplification :

1. Omission du signe '$\times$' (multiplication) :

   • Entre un nombre et une lettre : $3 \times a$ s'écrit $3a$.
   • Entre deux lettres : $a \times b$ s'écrit $ab$.
   • Entre un nombre/lettre et une parenthèse : $3 \times (x+1)$ s'écrit $3(x+1)$.
   • Attention : On ne peut pas enlever le $\times$ entre deux nombres ($3 \times 5 \neq 35$).

2. Ordre des termes :

   • Le nombre est généralement placé avant la lettre : $a \times 5$ s'écrit $5a$.
   • Les lettres sont souvent rangées par ordre alphabétique : $b \times a$ s'écrit $ab$.

3. Puissances :

   • $a \times a$ s'écrit $a^2$ (se lit "a au carré").
   • $a \times a \times a$ s'écrit $a^3$ (se lit "a au cube").

• $2 \times x + 4 \times y$ devient $2x + 4y$
• $a \times 7 \times b$ devient $7ab$
• $1 \times x$ s'écrit simplement $x$ (le 1 est implicite)

Ces conventions permettent une écriture plus concise et claire.

Pour calculer la valeur d'une expression littérale, il faut remplacer chaque variable par sa valeur numérique donnée, puis effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires.

Méthode :

1. Substituer : Remplace chaque lettre par le nombre qu'elle représente. N'oublie pas de rajouter les signes $\times$ qui avaient été omis si nécessaire pour éviter les confusions (ex: $3x$ devient $3 \times 5$ si $x=5$).
2. Calculer : Effectue les opérations en suivant les règles de priorité (parenthèses, puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions).

1. On remplace $x$ par $2$ : $A = 3 \times 2 + 5$
2. On calcule : $A = 6 + 5 = 11$ Donc, pour $x=2$, la valeur de l'expression $A$ est $11$.

Autre exemple : Calcule $B = 2a^2 - 4b$ pour $a = 3$ et $b = 1$.

1. On remplace : $B = 2 \times 3^2 - 4 \times 1$
2. On calcule : $B = 2 \times 9 - 4 \times 1$ (priorité à la puissance) $B = 18 - 4$ (priorité aux multiplications) $B = 14$ Donc, pour $a=3$ et $b=1$, la valeur de l'expression $B$ est $14$.

Ces propriétés s'appliquent à l'addition et à la multiplication.

• Commutativité : L'ordre des termes (pour l'addition) ou des facteurs (pour la multiplication) ne change pas le résultat.
  • Addition : $a + b = b + a$
  • Multiplication : $a \times b = b \times a$ (ou $ab = ba$)
  • Exemple : $3 + x = x + 3$ ; $5 \times y = y \times 5 = 5y$
• Associativité : La manière de regrouper les termes (pour l'addition) ou les facteurs (pour la multiplication) ne change pas le résultat.
  • Addition : $(a + b) + c = a + (b + c)$
  • Multiplication : $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
  • Exemple : $(2 + x) + 4 = 2 + (x + 4)$ ; $(3 \times y) \times 2 = 3 \times (y \times 2)$

Ces propriétés permettent de réorganiser les termes pour faciliter les calculs ou la simplification.

La distributivité est une propriété qui lie la multiplication à l'addition (ou la soustraction). Elle permet de "distribuer" une multiplication sur une somme ou une différence.

• Développer une expression : C'est transformer un produit en une somme (ou une différence).
  • $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ (ou $k(a+b) = ka + kb$)
  • $k \times (a - b) = k \times a - k \times b$ (ou $k(a-b) = ka - kb$)

*   $3(x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$
*   $5(y - 4) = 5 \times y - 5 \times 4 = 5y - 20$

• Factoriser une expression : C'est l'opération inverse du développement. C'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. On cherche un facteur commun.
  • $ka + kb = k(a + b)$
  • $ka - kb = k(a - b)$

*   $4x + 4y = 4(x + y)$ (le facteur commun est $4$)
*   $7a - 14 = 7a - 7 \times 2 = 7(a - 2)$ (le facteur commun est $7$)

La distributivité est une notion clé pour simplifier et transformer les expressions.

Réduire une expression littérale, c'est l'écrire avec le moins de termes possible. Pour cela, on regroupe les termes semblables. Des termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale (la même lettre avec la même puissance).

Méthode :

1. Identifier les termes semblables : Ce sont les termes qui contiennent la même variable élevée à la même puissance (ex: $3x$ et $5x$ sont semblables, mais $3x$ et $5x^2$ ne le sont pas). Les nombres sans variable sont aussi des termes semblables entre eux.
2. Regrouper les termes semblables : Additionne ou soustrais leurs coefficients.

• $A = 3x + 5 + 2x - 1$

  • Termes en $x$ : $3x + 2x = (3+2)x = 5x$
  • Termes constants (nombres) : $5 - 1 = 4$
  • Donc, $A = 5x + 4$

• $B = 7a - 2b + 3a + b$

  • Termes en $a$ : $7a + 3a = 10a$
  • Termes en $b$ : $-2b + b = (-2+1)b = -1b = -b$
  • Donc, $B = 10a - b$

• $C = 4x^2 + 2x - x^2 + 5$

  • Termes en $x^2$ : $4x^2 - x^2 = (4-1)x^2 = 3x^2$
  • Termes en $x$ : $2x$ (pas d'autre terme en $x$)
  • Termes constants : $5$ (pas d'autre terme constant)
  • Donc, $C = 3x^2 + 2x + 5$

Réduire une expression la rend plus simple et plus facile à utiliser.

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent représentées par des lettres comme $x$, $y$, etc.). Le but est de trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

• Une équation est composée de deux parties, appelées membres, séparées par un signe égal ($=$).
  • Membre de gauche = Membre de droite

• $x + 5 = 12$ (l'inconnue est $x$)
• $3y - 1 = 8$ (l'inconnue est $y$)
• $2a + 7 = a - 3$ (l'inconnue est $a$)

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue.

Pour vérifier si un nombre est une solution d'une équation, il faut remplacer l'inconnue par ce nombre dans les deux membres de l'équation, puis calculer la valeur de chaque membre.

• Si les deux résultats sont égaux, le nombre est une solution.
• Si les deux résultats sont différents, le nombre n'est pas une solution.

1. Calcul du membre de gauche ($3x - 2$) pour $x=4$ : $3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

2. Calcul du membre de droite ($x + 6$) pour $x=4$ : $4 + 6 = 10$

3. Comparaison : Les deux membres sont égaux ($10 = 10$). Conclusion : Oui, $x=4$ est une solution de l'équation $3x - 2 = x + 6$.

Autre exemple : Le nombre $x=1$ est-il solution de $2x + 5 = 10$?

1. Membre de gauche : $2 \times 1 + 5 = 2 + 5 = 7$
2. Membre de droite : $10$
3. Comparaison : $7 \neq 10$. Conclusion : Non, $x=1$ n'est pas une solution.

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Pour cela, on utilise le principe d'équilibre : On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions.

L'objectif est d'isoler l'inconnue (la lettre) d'un côté de l'équation. Pour "annuler" une opération, on utilise l'opération inverse.

• L'inverse de l'addition est la soustraction.
• L'inverse de la soustraction est l'addition.

1. Équation : $x + 5 = 12$

   • Pour isoler $x$, il faut enlever $5$ du membre de gauche. On fait l'opération inverse : soustraire $5$ aux deux membres.
   • $x + 5 - 5 = 12 - 5$
   • $x = 7$
   • Vérification : $7 + 5 = 12$. C'est correct.

2. Équation : $y - 3 = 8$

   • Pour isoler $y$, il faut annuler le $-3$. On fait l'opération inverse : ajouter $3$ aux deux membres.
   • $y - 3 + 3 = 8 + 3$
   • $y = 11$
   • Vérification : $11 - 3 = 8$. C'est correct.

3. Équation : $10 = z + 4$

   • Pour isoler $z$, on soustrait $4$ aux deux membres.
   • $10 - 4 = z + 4 - 4$
   • $6 = z$
   • Vérification : $10 = 6 + 4$. C'est correct.

Comme pour l'addition et la soustraction, on utilise les opérations inverses pour isoler l'inconnue.

• L'inverse de la multiplication est la division.
• L'inverse de la division est la multiplication.

On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par le même nombre (non nul) sans changer ses solutions.

1. Équation : $3x = 15$

   • Pour isoler $x$, on annule la multiplication par $3$. On divise les deux membres par $3$.
   • $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$
   • $x = 5$
   • Vérification : $3 \times 5 = 15$. Correct.

2. Équation : $\frac{y}{2} = 7$

   • Pour isoler $y$, on annule la division par $2$. On multiplie les deux membres par $2$.
   • $\frac{y}{2} \times 2 = 7 \times 2$
   • $y = 14$
   • Vérification : $\frac{14}{2} = 7$. Correct.

3. Équation : $-4a = 20$

   • On divise par $-4$.
   • $\frac{-4a}{-4} = \frac{20}{-4}$
   • $a = -5$
   • Vérification : $-4 \times (-5) = 20$. Correct.

Lorsque l'équation contient plusieurs opérations, il faut les "annuler" dans l'ordre inverse des priorités opératoires. On commence par les additions/soustractions, puis les multiplications/divisions.

Méthode pas à pas :

1. Isoler le terme contenant l'inconnue : En ajoutant ou soustrayant le même nombre aux deux membres.
2. Isoler l'inconnue : En multipliant ou divisant les deux membres par le même nombre.

1. Équation : $2x + 5 = 11$

   • Étape 1 (addition) : On soustrait $5$ aux deux membres pour isoler $2x$. $2x + 5 - 5 = 11 - 5$ $2x = 6$
   • Étape 2 (multiplication) : On divise par $2$ aux deux membres pour isoler $x$. $\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}$ $x = 3$
   • Vérification : $2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$. Correct.

2. Équation : $4y - 3 = 17$

   • Étape 1 (soustraction) : On ajoute $3$ aux deux membres. $4y - 3 + 3 = 17 + 3$ $4y = 20$
   • Étape 2 (multiplication) : On divise par $4$ aux deux membres. $\frac{4y}{4} = \frac{20}{4}$ $y = 5$
   • Vérification : $4 \times 5 - 3 = 20 - 3 = 17$. Correct.

3. Équation avec des parenthèses : $3(x - 2) = 15$

   • Méthode 1 (distribuer) : $3x - 6 = 15$ $3x - 6 + 6 = 15 + 6 \implies 3x = 21$ $\frac{3x}{3} = \frac{21}{3} \implies x = 7$
   • Méthode 2 (diviser d'abord) : $\frac{3(x-2)}{3} = \frac{15}{3}$ $x - 2 = 5$ $x - 2 + 2 = 5 + 2 \implies x = 7$
   • Vérification : $3(7 - 2) = 3 \times 5 = 15$. Correct.

L'un des principaux intérêts des équations est de résoudre des problèmes concrets.

Étapes pour mettre un problème en équation et le résoudre :

1. Choisir l'inconnue : Lis attentivement l'énoncé et décide quelle quantité inconnue sera représentée par une lettre (souvent $x$). C'est généralement ce que l'on cherche à calculer.
2. Traduire l'énoncé en équation : Écris l'information donnée dans le problème sous forme d'une égalité mathématique, en utilisant l'inconnue choisie.
3. Résoudre l'équation : Utilise les techniques vues précédemment pour trouver la valeur de l'inconnue.
4. Vérifier et interpréter le résultat :
   • Vérifie si la solution trouvée a du sens dans le contexte du problème.
   • Formule une phrase de conclusion claire pour répondre à la question posée.

"J'ai acheté 3 cahiers et un stylo qui coûte 2 €. J'ai payé 14 € au total. Quel est le prix d'un cahier ?"

1. Choix de l'inconnue : Soit $x$ le prix d'un cahier (en €).

2. Mise en équation :

   • Le prix des 3 cahiers est $3 \times x$ ou $3x$.
   • Le prix du stylo est $2 €$.
   • Le total payé est $14 €$.
   • Donc, l'équation est : $3x + 2 = 14$

3. Résolution de l'équation : $3x + 2 = 14$ $3x + 2 - 2 = 14 - 2$ $3x = 12$ $\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$ $x = 4$

4. Vérification et interprétation :

   • Si un cahier coûte $4 €$, alors 3 cahiers coûtent $3 \times 4 = 12 €$.
   • Avec le stylo à $2 €$, le total est $12 + 2 = 14 €$. Cela correspond bien à l'énoncé.
   • Conclusion : Le prix d'un cahier est $4 €$.

La mise en équation est une compétence très utile pour résoudre des problèmes de la vie courante.