Proportionnalité et fonctions linéaires

La proportionnalité est une relation fondamentale en mathématiques qui décrit comment deux quantités changent l'une par rapport à l'autre.

Définition de la proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre non nul. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemples de situations proportionnelles :

• Le prix payé pour des pommes : si 1 kg coûte 2€, alors 2 kg coûteront 4€, 3 kg coûteront 6€, etc. Le prix est proportionnel à la quantité.
• La distance parcourue par une voiture à vitesse constante : si elle parcourt 100 km en 1 heure, elle parcourra 200 km en 2 heures. La distance est proportionnelle au temps.
• Le périmètre d'un carré : le périmètre est proportionnel à la longueur de son côté (P = 4 $\times$ côté).

Exemples de situations non proportionnelles :

• L'âge et la taille d'une personne : une personne de 10 ans n'est pas deux fois plus grande qu'une personne de 5 ans.
• Le prix d'un taxi : il y a souvent un prix de départ fixe, puis un prix proportionnel à la distance. Le prix total n'est donc pas directement proportionnel à la distance parcourue.
• Le nombre de points obtenus à un contrôle et le temps passé à réviser : même si réviser aide, la relation n'est pas strictement proportionnelle.

Comment savoir si une situation est proportionnelle ? On utilise souvent des tableaux.

Tableaux de proportionnalité : Un tableau est un tableau de proportionnalité si l'on peut passer de la première ligne à la deuxième ligne (ou inversement) en multipliant (ou divisant) toujours par le même nombre.

Si c'est un tableau de proportionnalité, alors $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3} = \text{coefficient de proportionnalité}$.

Coefficient de proportionnalité : C'est le nombre par lequel on multiplie les valeurs d'une grandeur pour obtenir les valeurs de l'autre grandeur. Si on a un tableau de proportionnalité, pour chaque colonne $(a, b)$, le coefficient $k = \frac{b}{a}$. Exemple :

Vérification par le produit en croix : Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, le produit des nombres en diagonale est toujours égal. Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$.

Exemple :

Ces propriétés sont très utiles pour résoudre des problèmes.

Additivité : Si deux situations sont proportionnelles, alors la somme de ces situations est aussi proportionnelle. Si $A \to B$ et $C \to D$ sont des situations proportionnelles, alors $(A+C) \to (B+D)$ est aussi proportionnelle. Exemple :

Homogénéité (multiplication par un nombre) : Si une situation est proportionnelle, alors la multiplier par un nombre donne une nouvelle situation proportionnelle. Si $A \to B$ est proportionnel, alors $k \times A \to k \times B$ est aussi proportionnel. Exemple :

Passage à l'unité : C'est une méthode qui consiste à calculer la valeur pour une unité de la première grandeur. Exemple : Si 2 kg de pommes coûtent 3€, alors 1 kg coûte $3 \div 2 = 1,50$€. C'est très utile pour trouver le coefficient de proportionnalité.

C'est une méthode directe et efficace.

Calcul du coefficient : Pour trouver le coefficient de proportionnalité $k$, on divise une valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur : $k = \frac{\text{Valeur de la grandeur 2}}{\text{Valeur de la grandeur 1}}$. Exemple : Si 5 litres d'essence coûtent 8 €, le coefficient est $\frac{8}{5} = <mark>1,6</mark>$ €/litre.

Application du coefficient pour trouver des valeurs : Une fois le coefficient trouvé, on peut l'utiliser pour calculer n'importe quelle valeur manquante. Valeur de la grandeur 2 = Valeur de la grandeur 1 $\times$ Coefficient. Exemple : Si le coefficient est 1,6 €/litre, alors 12 litres d'essence coûteront $12 \times 1,6 = 19,20$ €.

Sens du coefficient : Le coefficient indique combien d'unités de la deuxième grandeur correspondent à une unité de la première grandeur. Dans l'exemple de l'essence, 1,6 €/litre signifie que chaque litre coûte 1,60 €.

C'est une méthode très utilisée, surtout quand on a un tableau avec trois valeurs connues et une inconnue.

Mise en place du tableau : On organise les données dans un tableau de proportionnalité, avec la valeur inconnue représentée par une lettre (souvent $x$).

Calcul du quatrième proportionnelle : On utilise le produit en croix : $a \times x = b \times c$. Pour trouver $x$, on fait $x = \frac{b \times c}{a}$. Exemple : Si 3 baguettes coûtent 2,70 €, combien coûtent 5 baguettes ?

$3 \times x = 2,70 \times 5$ $3x = 13,50$ $x = \frac{13,50}{3} = <mark>4,50</mark>$ €. Donc 5 baguettes coûtent 4,50 €.

Applications concrètes : La règle de trois est partout : recettes de cuisine, changements de monnaie, échelles de cartes, calcul de distances, etc.

Cette méthode consiste à trouver la valeur pour une seule unité.

Calcul de la valeur pour une unité : On divise la valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur, pour obtenir "combien pour 1". Exemple : Si 4 cahiers coûtent 6 €, alors 1 cahier coûte $6 \div 4 = <mark>1,50</mark>$ €.

Utilisation pour trouver d'autres valeurs : Une fois la valeur pour une unité connue, on la multiplie par le nombre d'unités souhaité. Exemple : Si un cahier coûte 1,50 €, alors 7 cahiers coûteront $7 \times 1,50 = 10,50$ €.

Avantages et limites de la méthode :

• Avantage : Très intuitive et facile à comprendre.
• Limite : Peut mener à des calculs avec des nombres décimaux (parfois longs) si le "retour à l'unité" n'est pas un nombre simple.

Ces propriétés permettent de combiner des colonnes du tableau.

Addition de colonnes : Si on connaît le prix de 2 kg de fruits et le prix de 3 kg de fruits, on peut trouver le prix de $2+3=5$ kg en additionnant les prix. Exemple :

Multiplication d'une colonne : Si on connaît le prix de 2 kg, on peut trouver le prix de $2 \times 3 = 6$ kg en multipliant le prix par 3. Exemple :

Combinaison de méthodes : On peut parfois utiliser plusieurs propriétés en même temps. Exemple : Pour trouver le prix de 7 kg, si on connaît le prix de 2 kg (4€) et de 5 kg (10€), on peut additionner les deux : $2+5=7$ kg et $4+10=14$ €.

Les pourcentages sont une forme particulière de proportionnalité, basée sur 100.

Définition d'un pourcentage : Un pourcentage est un rapport exprimé sur une base de 100. Par exemple, "25 %" signifie "25 sur 100", ou $\frac{25}{100}$.

Calculer un pourcentage d'une quantité : Pour calculer $P \%$ d'une quantité $Q$, on multiplie $Q$ par $\frac{P}{100}$. $P \% \text{ de } Q = Q \times \frac{P}{100}$. Exemple : Calculer 20 % de 150 €. $150 \times \frac{20}{100} = 150 \times 0,20 = <mark>30</mark>$ €.

Appliquer un pourcentage (réduction, augmentation) :

• Réduction : Pour une réduction de $P \%$, on calcule la réduction, puis on la soustrait. Ou plus directement, on multiplie la quantité par $(1 - \frac{P}{100})$. Exemple : Un article de 80 € avec 10 % de réduction. Réduction : $80 \times \frac{10}{100} = 8$ €. Nouveau prix : $80 - 8 = <mark>72</mark>$ €. Ou : $80 \times (1 - \frac{10}{100}) = 80 \times 0,90 = 72$ €.
• Augmentation : Pour une augmentation de $P \%$, on calcule l'augmentation, puis on l'ajoute. Ou plus directement, on multiplie la quantité par $(1 + \frac{P}{100})$. Exemple : Un salaire de 1200 € augmenté de 5 %. Augmentation : $1200 \times \frac{5}{100} = 60$ €. Nouveau salaire : $1200 + 60 = <mark>1260</mark>$ €. Ou : $1200 \times (1 + \frac{5}{100}) = 1200 \times 1,05 = 1260$ €.

Les graphiques aident à visualiser les pourcentages.

Diagrammes circulaires (camemberts) : Chaque pourcentage correspond à un angle dans le cercle. L'angle se calcule par : $\text{Angle} = \text{Pourcentage} \times 3,6^\circ$ (car un cercle fait $360^\circ$, et $360 \div 100 = 3,6$). C'est idéal pour montrer la répartition d'un tout.

Diagrammes en barres : La hauteur des barres est proportionnelle aux pourcentages. Utile pour comparer plusieurs pourcentages.

Lecture de graphiques : Il faut toujours lire attentivement la légende et les axes pour comprendre ce que représente le graphique.

L'échelle est un coefficient de proportionnalité utilisé pour les cartes et les plans.

Définition d'une échelle : L'échelle est le rapport entre une distance sur une carte (ou un plan) et la distance réelle correspondante. $\text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}}$. Elle est souvent écrite sous la forme $1:E$, ce qui signifie que 1 unité sur le plan représente $E$ unités dans la réalité. Exemple : Une échelle de $1:100$ signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm (soit 1 mètre) dans la réalité.

Calculer une dimension réelle à partir d'une carte : Dimension réelle = Dimension sur le plan $\times$ Dénominateur de l'échelle. Attention aux unités ! Il faut que toutes les unités soient les mêmes. Exemple : Sur une carte à l'échelle $1:50 \ 000$, une distance de 3 cm. Distance réelle = $3 \times 50 \ 000 = 150 \ 000$ cm = $1 \ 500$ m = 1,5 km.

Calculer une dimension sur une carte à partir d'une dimension réelle : Dimension sur le plan = Dimension réelle $\div$ Dénominateur de l'échelle. Exemple : Une route de 10 km sur une carte à l'échelle $1:25 \ 000$. 10 km = $10 \ 000$ m = $1 \ 000 \ 000$ cm. Distance sur le plan = $1 \ 000 \ 000 \div 25 \ 000 = <mark>40</mark>$ cm.

Pour visualiser la proportionnalité, on utilise un repère.

Axes des abscisses et des ordonnées :

• L'axe des abscisses est l'axe horizontal (souvent noté $x$).
• L'axe des ordonnées est l'axe vertical (souvent noté $y$). L'intersection des deux axes est l'origine du repère, de coordonnées $(0;0)$.

Coordonnées d'un point : Un point est repéré par ses coordonnées $(x;y)$, où $x$ est l'abscisse et $y$ est l'ordonnée. Pour placer un point $(x;y)$, on se déplace de $x$ unités horizontalement, puis de $y$ unités verticalement.

Construction d'un repère :

1. Tracer deux droites perpendiculaires.
2. Placer l'origine $(0;0)$ à leur intersection.
3. Graduer les axes régulièrement en choisissant une unité.

La représentation graphique d'une situation de proportionnalité a des caractéristiques très spécifiques.

Alignement des points : Si les points d'un graphique sont tous alignés sur une même droite, il y a de fortes chances que ce soit une situation de proportionnalité.

Passage par l'origine du repère : En plus d'être alignés, pour qu'il y ait proportionnalité, les points doivent former une droite qui passe impérativement par l'origine $(0;0)$ du repère. Pourquoi ? Parce que si la quantité de départ est 0, la quantité d'arrivée doit aussi être 0 dans une situation proportionnelle. Par exemple, 0 kg de pommes coûtent 0 €.

Interprétation graphique :

• Si les points sont alignés et passent par l'origine, c'est une relation de proportionnalité.
• Si les points sont alignés mais ne passent PAS par l'origine, ce n'est PAS une proportionnalité (mais une fonction affine).
• Si les points ne sont pas alignés, ce n'est ni l'un ni l'autre.

Une fois les points placés, on peut tracer la droite.

Utilisation de deux points : Puisqu'une droite est définie par deux points, on peut placer deux points $(x_1; y_1)$ et $(x_2; y_2)$ puis tracer la droite qui passe par ces deux points et l'origine $(0;0)$.

Pente de la droite : La "pente" ou "coefficient directeur" de la droite est le coefficient de proportionnalité. Plus la pente est forte, plus la deuxième grandeur augmente rapidement par rapport à la première. Si on a deux points $(x_1; y_1)$ et $(x_2; y_2)$ sur la droite, la pente $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Lecture de valeurs sur le graphique : On peut lire graphiquement des valeurs inconnues :

1. Pour trouver $y$ connaissant $x$ : partir de $x$ sur l'axe des abscisses, monter jusqu'à la droite, puis lire l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées.
2. Pour trouver $x$ connaissant $y$ : partir de $y$ sur l'axe des ordonnées, aller horizontalement jusqu'à la droite, puis lire l'abscisse correspondante sur l'axe des abscisses.

Les fonctions linéaires sont la traduction mathématique de la proportionnalité.

Définition d'une fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction qui associe à chaque nombre $x$ un nombre $y$ qui est le produit de $x$ par un nombre fixe $a$. On la note souvent $f: x \mapsto ax$ ou $f(x) = ax$.

Forme $f(x) = ax$ :

• $f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.
• $x$ est la variable (l'antécédent).
• $a$ est le coefficient de la fonction linéaire (ou coefficient de proportionnalité).

Le coefficient '$a$' comme coefficient de proportionnalité : Le nombre $a$ est exactement le même que le coefficient de proportionnalité que nous avons étudié. Il représente le rapport constant entre $f(x)$ et $x$ (puisque $a = \frac{f(x)}{x}$).

Ces calculs sont fondamentaux pour comprendre les fonctions.

Définition d'image et d'antécédent :

• L'image de $x$ par la fonction $f$ est $f(x)$. C'est le résultat du calcul $a \times x$.
• L'antécédent de $y$ par la fonction $f$ est le nombre $x$ tel que $f(x) = y$.

Calcul de $f(x)$ pour une valeur donnée de $x$ (calculer une image) : On remplace $x$ par sa valeur dans la formule $f(x) = ax$. Exemple : Soit la fonction linéaire $f(x) = 3x$. Calculer l'image de 2. $f(2) = 3 \times 2 = <mark>6</mark>$. L'image de 2 est 6.

Calcul de $x$ pour une valeur donnée de $f(x)$ (calculer un antécédent) : On résout l'équation $ax = f(x)$. Exemple : Soit la fonction linéaire $f(x) = 3x$. Calculer l'antécédent de 15. On pose $3x = 15$. $x = \frac{15}{3} = <mark>5</mark>$. L'antécédent de 15 est 5.

La droite de proportionnalité est la représentation graphique d'une fonction linéaire.

Une droite passant par l'origine : La représentation graphique d'une fonction linéaire $f(x) = ax$ est toujours une droite qui passe par l'origine du repère $(0;0)$. C'est la caractéristique principale !

Interprétation du coefficient '$a$' :

• Si $a > 0$, la droite "monte" (elle est croissante). Plus $a$ est grand, plus elle monte vite.
• Si $a < 0$, la droite "descend" (elle est décroissante). Plus $a$ est petit (négatif), plus elle descend vite.
• Si $a = 0$, la droite est l'axe des abscisses ($f(x) = 0$).

Lecture graphique des images et antécédents : Comme pour la proportionnalité, on utilise le graphique pour trouver des images et antécédents.

• Pour trouver l'image de $x$ : on part de $x$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la droite, puis on lit l'ordonnée correspondante.
• Pour trouver l'antécédent de $y$ : on part de $y$ sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la droite, puis on lit l'abscisse correspondante.