Décomposer, comparer et encadrer des fractions

Une fraction représente une partie d'un tout. Elle montre qu'une unité a été partagée en parts égales. Elle s'écrit avec un trait de fraction : $\frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}$ Le numérateur indique le nombre de parts que l'on prend. Le dénominateur indique le nombre total de parts égales dans lesquelles l'unité est divisée. Exemple : $\frac{1}{2}$ se lit "un demi". Cela signifie qu'on a 1 part sur 2.

Pour placer une fraction sur une droite numérique :

1. Trace une droite et place le 0 et le 1.
2. Divise l'unité (entre 0 et 1) en autant de parts égales que l'indique le dénominateur.
3. Compte les parts à partir de 0 jusqu'au nombre indiqué par le numérateur. Exemple : Pour $\frac{3}{4}$, tu divises l'unité en 4 parts égales et tu comptes 3 parts.

Quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1. Exemples : $\frac{1}{1} = 1$, $\frac{2}{2} = 1$, $\frac{3}{3} = 1$, $\frac{4}{4} = 1$. C'est comme prendre toutes les parts de l'unité. Une fraction peut aussi être égale à d'autres nombres entiers, par exemple $\frac{6}{3} = 2$ car 6 divisé par 3 fait 2.

Certaines fractions sont plus grandes que 1. On peut les écrire comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction plus petite que 1. On appelle ça la décomposition. Exemple : $\frac{7}{3}$. Combien de fois y a-t-il 3 dans 7 ? Il y a 2 fois 3 (ça fait 6), et il reste 1. Donc $\frac{7}{3} = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = 1 + 1 + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$.

Sur la droite numérique, tu peux voir combien d'unités entières ta fraction dépasse. Pour $\frac{7}{3}$ :

1. Place 0, 1, 2, 3...
2. Chaque unité est divisée en 3 parts.
3. $\frac{7}{3}$ se situe après 2 (qui est $\frac{6}{3}$) et juste avant 3.
4. Tu vois que $\frac{7}{3}$ c'est 2 unités entières et une petite partie après.

Pour décomposer une fraction comme $\frac{11}{4}$ :

1. Combien de fois 4 dans 11 ? Il y a 2 fois 4 (ça fait 8).
2. Il reste $11 - 8 = 3$.
3. Donc $\frac{11}{4} = 2 + \frac{3}{4}$.

Si les fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : $\frac{3}{5}$ et $\frac{2}{5}$. On compare 3 et 2. Comme $3 > 2$, alors $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.

Si les fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Exemple : $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{4}$. Un demi est plus grand qu'un quart. C'est comme partager un gâteau en 2 ou en 4. Donc $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$.

• Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1. Exemple : $\frac{2}{5} < 1$.
• Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1. Exemple : $\frac{7}{4} > 1$.
• Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1. Exemple : $\frac{3}{3} = 1$.

Pour comparer une fraction à un entier, on peut transformer l'entier en fraction. Exemple : Comparer $\frac{5}{2}$ et 2. On sait que $2 = \frac{4}{2}$. Comme $\frac{5}{2}$ et $\frac{4}{2}$ ont le même dénominateur, on compare les numérateurs : $5 > 4$. Donc $\frac{5}{2} > 2$.

Encadrer une fraction, c'est trouver l'entier juste avant et l'entier juste après. Exemple : Encadrer $\frac{7}{3}$. On a vu que $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$. L'entier juste avant est 2. L'entier juste après est 3. Donc $2 < \frac{7}{3} < 3$.

Sur la droite numérique, tu places ta fraction. Les entiers les plus proches, de chaque côté de la fraction, sont ton encadrement. Pour $\frac{7}{3}$, elle est entre 2 et 3.

Pour encadrer $\frac{11}{4}$ :

1. Fais la division du numérateur par le dénominateur : 11 divisé par 4.
2. $11 \div 4 = 2$ et il reste 3.
3. Le quotient (2) est l'entier inférieur.
4. L'entier supérieur est le quotient + 1, soit $2 + 1 = 3$.
5. Donc $2 < \frac{11}{4} < 3$.

• Une fraction plus grande que 1 peut s'écrire comme un entier + une fraction.
• Exemple : $\frac{9}{2} = 4 + \frac{1}{2}$ (car 9 divisé par 2 fait 4 reste 1).
• On peut le visualiser sur une droite numérique.

• Même dénominateur : on compare les numérateurs.
• Même numérateur : on compare les dénominateurs (le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction).
• Comparer à 1 : si numérateur < dénominateur, alors < 1 ; si numérateur > dénominateur, alors > 1.
• Comparer avec un entier : transformer l'entier en fraction.

• Trouver l'entier juste avant et l'entier juste après la fraction.
• On peut utiliser la décomposition ou la division.
• Exemple : pour $\frac{13}{5}$, $13 \div 5 = 2$ reste 3. Donc $2 < \frac{13}{5} < 3$.

Quand tu as un problème avec des fractions :

1. Lis bien l'énoncé.
2. Dessine si ça peut t'aider.
3. Utilise les méthodes de décomposition, comparaison ou encadrement selon ce qu'on te demande.
4. Écris ta réponse clairement. Exemple : "J'ai mangé $\frac{1}{4}$ de la pizza et mon ami $\frac{2}{4}$. Qui a mangé le plus ?" Réponse : Mon ami a mangé le plus car $\frac{2}{4} > \frac{1}{4}$.