Decomposer un nombre entier

Notre système de numération est appelé système décimal. Cela veut dire qu'il est basé sur le nombre 10. Nous utilisons 10 chiffres pour écrire tous les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Quand on arrive à 10, on "change de rang" (on passe aux dizaines). On fait des groupements par 10.

Un chiffre n'a pas toujours la même valeur. Sa valeur dépend de sa position dans le nombre. Exemple : Dans 345, le 5 est 5 unités. Dans 521, le 5 est 5 centaines (500). On utilise un tableau de numération pour bien comprendre la valeur de chaque chiffre :

Pour lire les grands nombres, on les sépare en groupes de 3 chiffres en partant de la droite. Ces groupes s'appellent des classes. On met un espace entre chaque classe. Exemple : $1234567$ s'écrit $1~234~567$. On le lit : "un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept". C'est plus facile de le lire et de le comprendre.

C'est écrire un nombre comme une somme de ses valeurs de position. Exemple pour un nombre à 3 chiffres : $345 = 300 + 40 + 5$ Ici, $300$ représente 3 centaines, $40$ représente 4 dizaines et $5$ représente 5 unités.

On applique la même règle pour les nombres plus grands. Exemple : $12~345$ $12~345 = 10~000 + 2~000 + 300 + 40 + 5$ $10~000$ est 1 dizaine de mille, $2~000$ est 2 unités de mille.

Même principe pour les millions ! Exemple : $2~500~000$ $2~500~000 = 2~000~000 + 500~000$ $2~000~000$ est 2 unités de million, $500~000$ est 5 centaines de mille.

C'est une décomposition plus précise. On utilise des multiplications par 10, 100, 1000, etc. Chaque chiffre est multiplié par la valeur de sa position. Exemple : $345$ $345 = (3 \times 100) + (4 \times 10) + (5 \times 1)$ Ici, $3 \times 100$ signifie 3 centaines, $4 \times 10$ signifie 4 dizaines et $5 \times 1$ signifie 5 unités.

Pour les nombres avec des milliers, on continue la logique. Exemple : $12~345$ $12~345 = (1 \times 10~000) + (2 \times 1~000) + (3 \times 100) + (4 \times 10) + (5 \times 1)$ Chaque chiffre est multiplié par sa valeur de position.

Et pour les millions, c'est pareil ! Exemple : $2~500~000$ $2~500~000 = (2 \times 1~000~000) + (5 \times 100~000) + (0 \times 10~000) + (0 \times 1~000) + (0 \times 100) + (0 \times 10) + (0 \times 1)$ Les zéros peuvent être omis pour simplifier la décomposition. $2~500~000 = (2 \times 1~000~000) + (5 \times 100~000)$

C'est une façon de parler des nombres avec des mots simples. Exemple : $345$ $345 = 3$ centaines et $4$ dizaines et $5$ unités. C'est très utile pour comprendre les quantités.

On peut décomposer un nombre en plusieurs parties pour le rendre plus simple. Exemple : $345 = 300 + 45$ Ou $345 = 340 + 5$ C'est utile pour le calcul mental.

Décomposer aide à calculer plus vite dans la tête. Exemple : Pour calculer $25 + 37$ On peut décomposer : $20 + 5 + 30 + 7$ Ensuite, on regroupe : $(20 + 30) + (5 + 7) = 50 + 12 = 62$.

Pour comparer deux nombres, on regarde d'abord leur classe la plus élevée. Exemple : Comparer $A = (2 \times 1000) + (3 \times 100)$ et $B = (1 \times 1000) + (9 \times 100)$ $A = 2300$ et $B = 1900$. Comme $2000 > 1000$, alors $A > B$.

Pour ranger des nombres (du plus petit au plus grand, ou l'inverse), on les compare deux par deux.

1. On recompose les nombres si c'est plus facile.
2. On compare les chiffres des classes les plus grandes, puis des suivantes. Exemple : Ranger $(1 \times 100) + (5 \times 1)$, $(2 \times 10)$, $(1 \times 100) + (2 \times 10) + (3 \times 1)$ Cela donne : $105$, $20$, $123$. En ordre croissant : $20 < 105 < 123$.

C'est l'inverse de la décomposition. On met ensemble toutes les parties. Exemple : Recomposer $(4 \times 1000) + (6 \times 100) + (2 \times 10) + (8 \times 1)$ $4000 + 600 + 20 + 8 = 4628$. C'est une bonne façon de vérifier si on a bien compris la valeur de position des chiffres.