Calculer une probabilite simple

Pour commencer, il faut bien définir de quoi on parle.

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude avant qu'elle ne soit réalisée, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Le hasard joue un rôle.

• Exemples d'expériences aléatoires :
  • Lancer un dé à six faces. On ne sait pas quel chiffre va tomber, mais on sait que ce sera un nombre entre 1 et 6.
  • Tirer une carte d'un jeu de 52 cartes.
  • Lancer une pièce de monnaie.
  • Observer la météo de demain (pluie ou soleil).

Un événement est un ensemble de résultats (ou issues) possibles d'une expérience aléatoire. C'est une description de ce qui pourrait se passer.

• Exemples d'événements :
  • Pour le lancer de dé : "Obtenir un nombre pair" (les issues 2, 4, 6).
  • Pour le tirage de carte : "Tirer un as".
  • Pour le lancer de pièce : "Obtenir Face".

L'univers des possibles, noté $\Omega$ (prononcé "Omega"), est l'ensemble de toutes les issues (ou résultats) possibles d'une expérience aléatoire. C'est l'ensemble de tous les résultats que l'on peut obtenir.

• Énumération des issues possibles :

  • Lancer un dé : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
  • Lancer une pièce : $\Omega = \{\text{Pile, Face}\}$
  • Tirer une boule d'une urne contenant 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B) : $\Omega = \{\text{R, B}\}$ (si les boules de même couleur sont indiscernables au toucher). Si elles sont numérotées R1, R2, R3, B1, B2, alors $\Omega = \{\text{R1, R2, R3, B1, B2}\}$.

• Représentation de l'univers :

  • Liste : Simple énumération des éléments (comme les exemples ci-dessus).
  • Tableau : Utile pour les expériences à deux étapes. Par exemple, lancer deux dés. L'univers peut être représenté par un tableau 6x6.
  • Arbre : Très pratique pour les expériences en plusieurs étapes successives. Par exemple, lancer deux pièces de monnaie :
    • 1ère pièce : Pile ou Face
    • 2ème pièce : Pile ou Face (pour chaque branche de la 1ère pièce)
    • $\Omega = \{(\text{Pile, Pile}), (\text{Pile, Face}), (\text{Face, Pile}), (\text{Face, Face})\}$

Il existe différents types d'événements :

• Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue possible de l'expérience.
  • Exemple (dé) : "Obtenir un 3".
• L'événement certain est l'événement qui se réalise toujours. Il est égal à l'univers $\Omega$.
  • Exemple (dé) : "Obtenir un nombre entre 1 et 6". Sa probabilité est de 1.
• L'événement impossible est l'événement qui ne se réalise jamais. Il est noté $\emptyset$ (ensemble vide).
  • Exemple (dé) : "Obtenir un 7". Sa probabilité est de 0.
• L'événement contraire d'un événement A, noté $\bar{A}$ (ou parfois A'), est l'événement qui se réalise si et seulement si A ne se réalise pas. Il contient toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans A.
  • Exemple (dé) : Si A est "Obtenir un nombre pair" ($\{2, 4, 6\}$), alors $\bar{A}$ est "Obtenir un nombre impair" ($\{1, 3, 5\}$).

L'approche fréquentiste est basée sur l'observation. Imaginez que vous répétez une expérience un très grand nombre de fois.

La fréquence d'apparition d'un événement A est le rapport : $f(A) = \frac{\text{nombre de fois où A s'est réalisé}}{\text{nombre total de répétitions de l'expérience}}$

La loi des grands nombres stipule que lorsque le nombre de répétitions d'une expérience aléatoire augmente, la fréquence d'apparition d'un événement tend à se rapprocher de sa probabilité théorique. Plus on répète une expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la "vraie" probabilité. C'est une estimation de probabilité. C'est ainsi que l'on détermine des probabilités pour des événements complexes (comme la probabilité qu'une ampoule dure plus de 1000 heures, en testant un grand nombre d'ampoules).

C'est le cas le plus courant et le plus simple pour commencer. Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même chance de se produire.

• Exemples d'équiprobabilité :
  • Un dé "équilibré" : chaque face a la même probabilité de tomber.
  • Une pièce "non truquée" : Pile et Face ont la même probabilité.
  • Tirer une carte d'un jeu bien mélangé : chaque carte a la même probabilité d'être tirée.

Dans ce cas privilégié d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est donnée par la formule :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à A}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$

• Exemples d'application :
  • Lancer un dé :
    • $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, donc il y a 6 cas possibles.
    • Événement A : "Obtenir un nombre pair" = $\{2, 4, 6\}$. Il y a 3 cas favorables.
    • $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$.
  • Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes : (As, Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7 de 4 couleurs)
    • Nombre total de cas possibles = 32.
    • Événement B : "Tirer un As". Il y a 4 As dans un jeu de 32 cartes.
    • $P(B) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0,125$.
  • Urne : Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
    • Nombre total de cas possibles = 5 + 3 = 8.
    • Événement C : "Tirer une boule rouge". Il y a 5 cas favorables.
    • $P(C) = \frac{5}{8}$.

Les probabilités ont des propriétés universelles :

• La probabilité de l'événement certain est 1 : $P(\Omega) = 1$. (Il est certain que l'un des résultats de l'univers se produira).
• La probabilité de l'événement impossible est 0 : $P(\emptyset) = 0$. (L'événement impossible ne se produira jamais).
• Pour tout événement A, sa probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus : $0 \le P(A) \le 1$.
  • Une probabilité ne peut jamais être négative ni supérieure à 1.

Soient A et B deux événements.

• L'union de A et B, notée $A \cup B$ (lire "A union B" ou "A ou B"), est l'événement qui se réalise si A se réalise OU B se réalise (ou les deux).

  • Exemple (dé) : A = "Obtenir un nombre pair" ($\{2, 4, 6\}$), B = "Obtenir un nombre > 4" ($\{5, 6\}$).
  • $A \cup B$ = "Obtenir un nombre pair OU > 4" = $\{2, 4, 5, 6\}$.

• L'intersection de A et B, notée $A \cap B$ (lire "A inter B" ou "A et B"), est l'événement qui se réalise si A se réalise ET B se réalise EN MÊME TEMPS.

  • Exemple (dé) : Avec les mêmes A et B.
  • $A \cap B$ = "Obtenir un nombre pair ET > 4" = $\{6\}$.

• Représentation par diagrammes de Venn : Ces diagrammes sont très utiles pour visualiser les relations entre événements.

  • Un rectangle représente l'univers $\Omega$.
  • Des cercles à l'intérieur représentent les événements.
  • L'union $A \cup B$ est l'ensemble des points dans le cercle A OU dans le cercle B.
  • L'intersection $A \cap B$ est la zone où les cercles A et B se chevauchent.

Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

• Définition : $A \cap B = \emptyset$.
  • Exemple (dé) : A = "Obtenir un nombre pair" ($\{2, 4, 6\}$), B = "Obtenir un 1".
  • $A \cap B = \emptyset$. Ces événements sont incompatibles.
  • Exemple (dé) : A = "Obtenir un nombre pair" ($\{2, 4, 6\}$), C = "Obtenir un 6".
  • $A \cap C = \{6\}$. Ces événements NE sont PAS incompatibles.

Si A et B sont incompatibles, la probabilité de leur union est simplement la somme de leurs probabilités : ==$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ (si A et B sont incompatibles)==.

• Exemple : Quelle est la probabilité d'obtenir un 1 OU un 2 en lançant un dé ?
  • A = "Obtenir un 1", B = "Obtenir un 2".
  • $P(A) = 1/6$, $P(B) = 1/6$.
  • A et B sont incompatibles (on ne peut pas obtenir un 1 ET un 2 en même temps).
  • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Pour deux événements A et B quelconques (compatibles ou incompatibles), la formule générale pour la probabilité de leur union est :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

• Explication : Lorsque nous additionnons $P(A)$ et $P(B)$, nous comptons deux fois la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$ (les éléments qui sont à la fois dans A et dans B). Il faut donc la soustraire une fois pour corriger.

• Cas particuliers :

  • Si A et B sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$, et la formule se réduit bien à $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

• Application de la formule :

  • Reprenons l'exemple du dé : A = "Obtenir un nombre pair" ($\{2, 4, 6\}$), B = "Obtenir un nombre > 4" ($\{5, 6\}$).
  • $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
  • $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
  • $A \cap B = \{6\}$, donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
  • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
  • Vérification directe : $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$, il y a 4 cas favorables sur 6, donc $P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. La formule fonctionne !

L'événement contraire de A, noté $\bar{A}$, est tout ce qui n'est pas A dans l'univers $\Omega$. Comme A et $\bar{A}$ sont toujours incompatibles et que leur union est l'univers entier ($A \cup \bar{A} = \Omega$):

$P(A) + P(\bar{A}) = P(\Omega) = 1$

D'où la formule très utile : ==$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$==

• Utilisation pour simplifier les calculs :
  • Parfois, il est plus facile de calculer la probabilité que quelque chose NE se produise PAS que de calculer la probabilité qu'il se produise.
  • Exemple : Quelle est la probabilité de NE PAS obtenir un 6 en lançant un dé ?
    • A = "Obtenir un 6", $P(A) = \frac{1}{6}$.
    • $\bar{A}$ = "Ne pas obtenir un 6".
    • $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
  • C'est souvent le cas pour des événements du type "au moins un..."

Un arbre de probabilités est une représentation graphique des différentes issues possibles d'une expérience aléatoire en plusieurs étapes.

• Branches et nœuds : Chaque "nœud" représente une étape de l'expérience, et les "branches" issues de ce nœud représentent les résultats possibles de cette étape.

• Probabilités sur les branches : On écrit la probabilité de chaque issue sur la branche correspondante. La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud doit toujours être égale à 1.

• Chemins et probabilités de chemins : Un "chemin" de la racine de l'arbre jusqu'à une feuille représente une séquence d'issues.

  • La probabilité d'un chemin (c'est-à-dire la probabilité d'une séquence d'événements) s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées sur les branches le long de ce chemin.
  • Pour calculer la probabilité d'un événement qui correspond à plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.

• Exemple : On lance une pièce de monnaie deux fois de suite.

  • 1er lancer : Pile (P) ou Face (F) ($P(P)=0.5, P(F)=0.5$)
  • 2ème lancer : Pile (P) ou Face (F) (idem pour chaque branche du 1er lancer)

  Départ
  ├── P (0.5) ── P (0.5) --> (P,P) : 0.5 * 0.5 = 0.25
  │           └── F (0.5) --> (P,F) : 0.5 * 0.5 = 0.25
  └── F (0.5) ── P (0.5) --> (F,P) : 0.5 * 0.5 = 0.25
              └── F (0.5) --> (F,F) : 0.5 * 0.5 = 0.25
  

  • Probabilité d'obtenir "au moins un Face" : $P(\text{P,F}) + P(\text{F,P}) + P(\text{F,F}) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75$.
  • Ou par l'événement contraire : $1 - P(\text{P,P}) = 1 - 0.25 = 0.75$.

Les tableaux à double entrée (ou tableaux de contingence) sont utiles pour organiser les données lorsque l'on étudie deux caractéristiques simultanément dans une population.

• Organisation des données : Les lignes représentent les catégories d'une caractéristique, les colonnes celles d'une autre. Les cellules intérieures contiennent les effectifs (ou les fréquences/probabilités) des intersections.

• Calcul des probabilités marginales : Les totaux de lignes et de colonnes représentent les effectifs (ou probabilités) des événements simples (marges du tableau).

• Calcul des probabilités d'intersection : Chaque cellule interne représente la probabilité de l'intersection des deux événements correspondants (ligne et colonne).

• Exemple : Dans une classe de 30 élèves, il y a 12 filles (F) et 18 garçons (G). Parmi les filles, 8 aiment les maths (M), et 4 n'aiment pas (Non M). Parmi les garçons, 10 aiment les maths et 8 n'aiment pas. On choisit un élève au hasard.

Pour obtenir les probabilités, on divise chaque nombre par le total (30) :

• $P(F \cap M)$ est la probabilité de choisir une fille qui aime les maths.
• $P(F)$ est la probabilité de choisir une fille (probabilité marginale).

• Choix de la méthode adaptée :
  • L'arbre est idéal pour les expériences séquentielles (étapes successives).
  • Le tableau est parfait pour catégoriser une population selon deux critères simultanés.
• Traduction de l'énoncé : La première étape est toujours de bien comprendre l'énoncé et d'identifier l'expérience aléatoire, l'univers, les événements et les données numériques.
• Calcul des probabilités demandées : Appliquer les règles de calcul (multiplication le long des branches, addition des chemins ou des cellules). N'oubliez pas les propriétés des probabilités et la formule d'addition !

• Dés et pièces : Les exemples classiques pour comprendre l'équiprobabilité.
  • Probabilité d'obtenir un double 6 avec deux dés : $\frac{1}{36}$ (il y a $6 \times 6 = 36$ résultats possibles).
  • Probabilité d'obtenir au moins un Pile en lançant 3 pièces :
    • Univers : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF (8 issues).
    • Événement contraire "aucun Pile" = FFF (1 issue).
    • $P(\text{au moins un Pile}) = 1 - P(\text{FFF}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
• Cartes à jouer :
  • Probabilité de tirer un as d'un jeu de 52 cartes : $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
  • Probabilité de tirer une carte rouge OU un roi d'un jeu de 52 cartes :
    • $P(\text{Rouge}) = \frac{26}{52}$ (26 cartes rouges).
    • $P(\text{Roi}) = \frac{4}{52}$ (4 rois).
    • $P(\text{Rouge} \cap \text{Roi}) = \frac{2}{52}$ (les 2 rois rouges).
    • $P(\text{Rouge} \cup \text{Roi}) = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$.
• Loteries simplifiées :
  • Si vous choisissez 1 numéro parmi 10, la probabilité de gagner est $\frac{1}{10}$.

• Sondages et statistiques : Les marges d'erreur des sondages sont basées sur des calculs de probabilités. La probabilité qu'un résultat de sondage soit représentatif de la population.
• Météo : "Il y a 60% de chances de pluie demain". C'est une probabilité basée sur des modèles et des données historiques.
• Fiabilité d'un système : La probabilité qu'un composant électronique fonctionne pendant une certaine durée. Si un système est composé de plusieurs éléments, on peut calculer la probabilité que le système entier fonctionne.
  • Exemple : Deux ampoules fonctionnent indépendamment. $P(\text{A fonctionne}) = 0.9$, $P(\text{B fonctionne}) = 0.8$.
  • Probabilité que les deux fonctionnent : $P(\text{A et B fonctionnent}) = 0.9 \times 0.8 = 0.72$.

Les problèmes de synthèse combinent souvent plusieurs concepts vus dans ce chapitre.

1. Combinaison de plusieurs concepts : Vous pourriez avoir un problème utilisant un arbre pour modéliser une situation, puis demandant de calculer la probabilité de l'événement contraire en utilisant la formule $1 - P(A)$.
2. Analyse critique des résultats : Est-ce que le résultat est logique ? Une probabilité de 1.2 ou de -0.5 indique une erreur de calcul ! Une probabilité très faible pour un événement "évident" devrait vous faire douter.
3. Rédaction de la solution : Toujours bien définir les événements, l'univers, montrer les calculs et conclure par une phrase claire répondant à la question posée.

En maîtrisant ces concepts, vous serez bien équipés pour aborder des problèmes de probabilités plus complexes et comprendre le monde qui vous entoure avec un œil plus critique !