Les probabilites

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prédire lequel se produira avant de la réaliser. Le résultat est dû au hasard.

• Exemples concrets :
  • Lancer un dé à six faces : on sait que le résultat sera un nombre entre 1 et 6, mais on ne peut pas dire à l'avance quel nombre sortira.
  • Lancer une pièce de monnaie : le résultat sera "pile" ou "face".
  • Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes : on sait que ce sera une des 32 cartes, mais laquelle ?
• Distinction avec une expérience déterministe : Une expérience déterministe est une expérience dont le résultat est toujours le même si on la répète dans les mêmes conditions. Par exemple, lâcher une pierre (elle tombera toujours). En probabilités, on s'intéresse uniquement aux expériences aléatoires.

Pour bien parler des probabilités, il faut connaître le bon vocabulaire :

• Issues ou éventualités : Ce sont tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
  • Exemple : Pour le lancer de dé, les issues sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Exemple : Pour le lancer de pièce, les issues sont {Pile, Face}.
• Univers des possibles ($\Omega$) : C'est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. On le note souvent $\Omega$ (Omega).
  • Exemple : Pour le lancer de dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Événement : C'est un ensemble d'une ou plusieurs issues. C'est une partie de l'univers des possibles.
  • Exemple : "Obtenir un nombre pair" est un événement pour le lancer de dé. Il correspond aux issues {2, 4, 6}.
• Événement élémentaire : C'est un événement qui ne contient qu'une seule issue.
  • Exemple : "Obtenir un 3" est un événement élémentaire. Il correspond à l'issue {3}.

Il existe différents types d'événements :

• Événement certain : C'est l'événement qui se produit à coup sûr. Il contient toutes les issues de l'univers des possibles.
  • Exemple : "Obtenir un nombre inférieur à 7" en lançant un dé.
• Événement impossible : C'est l'événement qui ne peut jamais se produire. Il ne contient aucune issue.
  • Exemple : "Obtenir un 7" en lançant un dé à six faces.
• Événements incompatibles (ou disjoints) : Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Ils n'ont aucune issue en commun.
  • Exemple : "Obtenir un nombre pair" et "obtenir un nombre impair" sont incompatibles lors d'un lancer de dé.
• Événement contraire ($\bar{A}$) : L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas. On le note $\bar{A}$ (A barre). Il contient toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans A.
  • Exemple : Si A = "obtenir un nombre pair", alors $\bar{A}$ = "obtenir un nombre impair".

La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure ses chances de se produire. Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même chance de se produire (on parle d'équiprobabilité), on utilise la formule de Laplace :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à A}}{\text{Nombre de cas possibles}}$

• Nombre de cas favorables à A : C'est le nombre d'issues qui réalisent l'événement A.

• Nombre de cas possibles : C'est le nombre total d'issues dans l'univers des possibles ($\Omega$).

• Exemple : Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 en lançant un dé équilibré ?

  • Cas favorables (obtenir un 4) : 1 (l'issue {4})
  • Cas possibles (toutes les issues) : 6 (les issues {1, 2, 3, 4, 5, 6})
  • $P(\text{obtenir un 4}) = \frac{1}{6}$

• Exemple : Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair en lançant un dé équilibré ?

  • Cas favorables (nombres pairs) : 3 (les issues {2, 4, 6})
  • Cas possibles : 6
  • $P(\text{obtenir un nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Les probabilités ont des propriétés fondamentales :

• La probabilité d'un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (inclus).
  • $0 \le P(A) \le 1$
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.
• La probabilité de l'événement certain est 1. ($P(\Omega) = 1$)
• La probabilité de l'événement impossible est 0. ($P(\emptyset) = 0$)

L'événement contraire $\bar{A}$ d'un événement A est très utile pour simplifier les calculs. La relation fondamentale est : $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ On peut donc écrire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ Cette formule est très pratique lorsque le nombre de cas favorables à A est difficile à compter, mais que le nombre de cas favorables à $\bar{A}$ est plus simple.

• Exemple : Dans un sac, il y a 5 billes rouges et 15 billes bleues. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une bille rouge ?
  • Soit A = "tirer une bille rouge".
  • Nombre total de billes : $5 + 15 = 20$.
  • $P(A) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
  • L'événement contraire $\bar{A}$ est "ne pas tirer une bille rouge".
  • $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
  • On aurait aussi pu compter directement : il y a 15 billes bleues (non rouges), donc $P(\bar{A}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Les tableaux à double entrée sont efficaces pour organiser des données lorsqu'il y a deux critères (ou caractéristiques) pour classer les issues. Ils permettent de visualiser les effectifs ou les fréquences et de calculer des probabilités.

• Exemple : Dans une classe de 30 élèves, 12 sont des garçons, dont 5 aiment les maths. Il y a 10 filles qui aiment les maths.

• Quelle est la probabilité de choisir un élève qui aime les maths ?
  • $P(\text{aime les maths}) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
• Quelle est la probabilité de choisir une fille qui n'aime pas les maths ?
  • $P(\text{fille et n'aime pas les maths}) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

Les arbres des possibles (ou diagrammes en arbre) sont très utiles pour visualiser toutes les issues d'une expérience aléatoire qui se déroule en plusieurs étapes successives. Chaque branche représente une issue possible à une étape donnée.

• Construction d'un arbre : On part d'un point (le tronc) et on trace des branches pour chaque issue de la première étape. Puis, de l'extrémité de chaque branche, on trace de nouvelles branches pour les issues de la deuxième étape, et ainsi de suite.

• Chemins et issues : Chaque chemin depuis le début jusqu'à l'extrémité finale d'une branche représente une issue de l'expérience complète.

• Dénombrement des issues : Il suffit de compter le nombre de chemins finaux pour trouver le nombre total de cas possibles.

• Exemple : On lance une pièce deux fois de suite.

  • 1er lancer : Pile (P) ou Face (F)
  • 2ème lancer : Pile (P) ou Face (F)

  Départ
  ├─── P ─┬─ P  (PP)
  │      └─ F  (PF)
  └─── F ─┬─ P  (FP)
         └─ F  (FF)
  

  Les issues possibles sont {PP, PF, FP, FF}. Il y a 4 issues possibles.

Un arbre pondéré est un arbre des possibles où l'on ajoute les probabilités sur chaque branche.

• Association de probabilités aux branches : Sur chaque branche, on écrit la probabilité de l'issue correspondante.

• Somme des probabilités des branches issues d'un nœud : La somme des probabilités des branches partant d'un même point doit toujours être égale à 1.

• Calcul de probabilités de chemins : La probabilité d'un chemin (c'est-à-dire d'une issue finale) s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ce chemin.

• Exemple : On lance une pièce truquée où $P(\text{Pile}) = 0.6$ et $P(\text{Face}) = 0.4$. On la lance deux fois.

  Départ
  ├─── P (0.6) ─┬─ P (0.6)  <span class="hk-arr">→</span> P(PP) = 0.6 * 0.6 = 0.36
  │            └─ F (0.4)  <span class="hk-arr">→</span> P(PF) = 0.6 * 0.4 = 0.24
  └─── F (0.4) ─┬─ P (0.6)  <span class="hk-arr">→</span> P(FP) = 0.4 * 0.6 = 0.24
               └─ F (0.4)  <span class="hk-arr">→</span> P(FF) = 0.4 * 0.4 = 0.16
  

  Vérification : $0.36 + 0.24 + 0.24 + 0.16 = 1$.

La fréquence d'un événement est un rapport qui indique la proportion de fois où cet événement s'est produit au cours d'une série d'expériences déjà réalisées.

$\text{Fréquence} = \frac{\text{Nombre de fois où l'événement s'est produit}}{\text{Nombre total d'expériences réalisées}}$

• Exemple : Si on lance un dé 100 fois et qu'on obtient le 6 vingt fois.
  • La fréquence d'apparition du 6 est $\frac{20}{100} = 0.2$.
• La fréquence est un résultat observé après une série d'expériences. La probabilité est une valeur théorique avant l'expérience.

La loi des grands nombres est un concept fondamental en probabilités. Elle stipule que plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, plus la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

• Expérimentation et répétition : Si vous lancez un dé 10 fois, il est peu probable d'obtenir exactement deux fois chaque chiffre. Mais si vous le lancez 10 000 fois, la fréquence de chaque chiffre sera très proche de $\frac{1}{6} \approx 0.167$.
• Lien entre fréquence et probabilité théorique : C'est cette loi qui nous permet d'estimer des probabilités inconnues en réalisant de nombreuses expériences (par exemple, pour tester l'équilibre d'un dé truqué).

Grâce aux outils numériques (tableurs, calculatrices, logiciels de programmation), on peut simuler des expériences aléatoires un très grand nombre de fois pour observer la stabilisation des fréquences.

• Utilisation d'outils numériques : Un tableur peut générer des nombres aléatoires (par exemple, entre 1 et 6 pour un dé) et compter les occurrences.
• Interprétation des résultats de simulation : En répétant la simulation des milliers de fois, on peut voir les fréquences se stabiliser autour des probabilités théoriques.
• Approximation de probabilités par la fréquence : Si on ne connaît pas la probabilité théorique d'un événement (par exemple, la probabilité qu'une épingle tombe sur la tête), on peut la simuler un grand nombre de fois pour l'estimer grâce à la fréquence.

Pour résoudre un problème de probabilités :

1. Identification de l'expérience aléatoire : Comprendre ce qui est soumis au hasard.
2. Détermination de l'univers ($\Omega$) et des événements : Lister toutes les issues possibles et définir clairement l'événement dont on cherche la probabilité.
3. Application des formules de probabilité : Utiliser la formule de Laplace si c'est équiprobable, ou les arbres, tableaux, etc.

• Exemple : Dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité de tirer un as ?
  • $\Omega$ = les 32 cartes. Nombre de cas possibles = 32.
  • A = "tirer un as". Il y a 4 as dans un jeu de 32 cartes. Nombre de cas favorables = 4.
  • $P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

Les probabilités sont partout :

• Jeux de hasard : Comprendre les chances de gagner à la loterie, au poker, etc.
• Statistiques simples : Analyser des sondages, des données démographiques.
• Prise de décision basée sur les probabilités : Une entreprise peut utiliser les probabilités pour estimer les chances de succès d'un nouveau produit, un médecin pour évaluer le risque d'une maladie.

Attention à ne pas tomber dans ces pièges fréquents :

• Confusion entre probabilité et fréquence : La fréquence est ce qui est observé, la probabilité est ce qui est attendu théoriquement. Elles ne sont égales que sur un très grand nombre d'essais.
• Erreurs de dénombrement : Ne pas oublier des issues ou en compter deux fois. Les tableaux et arbres aident à éviter cela.
• Interprétation incorrecte des résultats : Une probabilité de 0.1 ne signifie pas que l'événement ne se produira jamais, juste qu'il est peu probable. Le hasard n'a pas de mémoire : si une pièce est tombée 5 fois sur "pile", la probabilité qu'elle tombe sur "pile" au 6ème lancer reste 0.5 (si la pièce est équilibrée).