Modéliser le hasard, calculer des probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude avant qu'elle ne se produise, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

• Issue ou résultat : C'est l'un des résultats possibles de l'expérience aléatoire.
• Caractéristiques clés :
  • On ne peut pas prévoir le résultat exact à l'avance.
  • On peut lister tous les résultats possibles.
  • L'expérience peut être répétée dans les mêmes conditions.

• Lancer un dé à six faces : On ne sait pas quel chiffre va tomber (1, 2, 3, 4, 5 ou 6), mais on sait que ce sera l'un de ceux-là. Chaque chiffre est une issue.
• Lancer une pièce de monnaie : Le résultat sera "Pile" ou "Face". Ce sont les deux issues possibles.
• Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes : L'issue est la carte tirée. Il y a 32 issues possibles.
• Observer la météo demain : Il fera "beau", "nuageux" ou "pluvieux".

Pour travailler avec les probabilités, nous avons besoin de définir précisément l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience.

• Univers des possibles (noté $\Omega$) : C'est l'ensemble de toutes les issues (ou résultats) possibles d'une expérience aléatoire. C'est notre "cadre de travail".

  • Exemple : Pour le lancer d'un dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
  • Exemple : Pour le lancer d'une pièce, $\Omega = \{\text{Pile}, \text{Face}\}$.

• Événement : Un événement est une partie (un sous-ensemble) de l'univers $\Omega$. Il est généralement décrit par une phrase. Un événement est réalisé si l'issue de l'expérience fait partie de cet ensemble.

  • Exemple (dé) : L'événement "obtenir un nombre pair" est $A = \{2, 4, 6\}$.
  • Exemple (pièce) : L'événement "obtenir Pile" est $B = \{\text{Pile}\}$.

• Événement élémentaire : C'est un événement qui ne contient qu'une seule issue.

  • Exemple (dé) : "Obtenir 3" est un événement élémentaire, $E_3 = \{3\}$.

• Événement certain : C'est l'événement qui est toujours réalisé. Il correspond à l'univers tout entier ($\Omega$). Sa probabilité est de 1.

  • Exemple (dé) : "Obtenir un nombre entre 1 et 6" est un événement certain.

• Événement impossible : C'est l'événement qui ne peut jamais être réalisé. Il ne contient aucune issue et est noté $\emptyset$ (ensemble vide). Sa probabilité est de 0.

  • Exemple (dé) : "Obtenir 7" est un événement impossible.

Pour combiner ou comparer des événements, nous utilisons un vocabulaire spécifique.

• Événements incompatibles (ou disjoints) : Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Leur intersection est vide ($A \cap B = \emptyset$).

  • Exemple (dé) : "Obtenir un nombre pair" ($A = \{2, 4, 6\}$) et "Obtenir 5" ($B = \{5\}$) sont incompatibles.
  • Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

• Événement contraire (ou complémentaire) : L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$ (ou $A^c$), est l'événement qui se réalise lorsque $A$ ne se réalise pas. Il contient toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$.

  • Exemple (dé) : Si $A$ = "Obtenir un nombre pair" ($A = \{2, 4, 6\}$), alors $\bar{A}$ = "Obtenir un nombre impair" ($\bar{A} = \{1, 3, 5\}$).
  • La relation fondamentale est $P(A) + P(\bar{A}) = 1$, donc $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

• Union d'événements ($A \cup B$) : C'est l'événement "A se réalise OU B se réalise (ou les deux)". Il contient toutes les issues qui sont dans A, ou dans B, ou dans les deux.

  • Exemple (dé) : $A = \{2, 4, 6\}$ (pair), $C = \{1, 2, 3\}$ (inférieur à 4).
  • $A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

• Intersection d'événements ($A \cap B$) : C'est l'événement "A se réalise ET B se réalise". Il contient toutes les issues qui sont communes à A et à B.

  • Exemple (dé) : $A = \{2, 4, 6\}$ (pair), $C = \{1, 2, 3\}$ (inférieur à 4).
  • $A \cap C = \{2\}$.

Lorsque l'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, on peut calculer la fréquence d'apparition d'un événement.

• Définition de la fréquence : Pour un événement $A$, la fréquence d'apparition est le rapport entre le nombre de fois où $A$ s'est réalisé et le nombre total de répétitions de l'expérience. $f_n(A) = \frac{\text{Nombre de réalisations de A}}{\text{Nombre total de répétitions (n)}}$
• Calcul de la fréquence : Si on lance un dé 100 fois et que le "6" apparaît 17 fois, la fréquence d'apparition du "6" est $f_{100}(\text{"6"}) = \frac{17}{100} = 0,17$.
• Série de répétitions : Il est essentiel de répéter l'expérience un grand nombre de fois pour que la fréquence devienne significative.

C'est l'un des piliers des probabilités !

• Stabilisation des fréquences : La loi des grands nombres stipule que lorsque l'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement tend à se stabiliser autour d'une valeur fixe. Cette valeur fixe est la probabilité théorique de l'événement.
  • Plus le nombre de répétitions est grand, plus la fréquence observée est une bonne approximation de la probabilité théorique.
• Lien entre fréquence et probabilité : La probabilité $P(A)$ d'un événement $A$ peut être vue comme la fréquence "idéale" ou "théorique" vers laquelle tendent les fréquences observées sur un très grand nombre de répétitions.
• Simulation et expérimentation : Cette loi justifie l'utilisation des simulations informatiques (avec un tableur ou un langage de programmation comme Python) pour estimer des probabilités. En simulant des milliers, voire des millions de lancers de dés, on peut observer la stabilisation des fréquences.

L'approche fréquentiste nous permet d'estimer des probabilités, mais elle a ses limites.

• Utilisation des fréquences pour estimer : Si l'on ne connaît pas la probabilité théorique d'un événement (par exemple, la probabilité qu'une épingle tombe sur la tête), on peut la $\approx$ estimer en répétant l'expérience un grand nombre de fois et en calculant la fréquence.
• Limites de l'estimation :
  • L'estimation n'est jamais exacte, c'est une approximation.
  • Elle dépend du nombre de répétitions : plus il y en a, meilleure est l'estimation.
  • Elle ne nous donne pas la vraie probabilité, mais une idée de celle-ci.
• Nécessité d'un modèle théorique : Pour des situations comme le lancer de dé équilibré, nous n'avons pas besoin d'expérimenter des milliers de fois pour connaître les probabilités. Un modèle théorique (basé sur l'équiprobabilité, par exemple) nous donne les probabilités exactes.

Le modèle d'équiprobabilité est le plus simple et le plus couramment utilisé.

• Définition de l'équiprobabilité : Une expérience aléatoire est dite équiprobable si toutes les issues élémentaires de l'univers $\Omega$ ont la même chance de se réaliser.
  • Exemple : Un dé à six faces non truqué, une pièce de monnaie équilibrée, un tirage au sort où chaque personne a la même chance.
• Formule clé : Dans un modèle d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à A}}{\text{Nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ Où "card" signifie "cardinal", c'est-à-dire le nombre d'éléments dans l'ensemble.
  • Cette formule est fondamentale et ne s'applique QUE si toutes les issues ont la même probabilité.
• Exemples :
  • Dé équilibré : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, donc card($\Omega$) = 6.
    • Probabilité d'obtenir un 4 : $A = \{4\}$, card($A$) = 1. $P(A) = \frac{1}{6}$.
    • Probabilité d'obtenir un nombre pair : $B = \{2, 4, 6\}$, card($B$) = 3. $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
  • Tirage de cartes : Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. card($\Omega$) = 32.
    • Probabilité de tirer un as : Il y a 4 as. $P(\text{As}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
    • Probabilité de tirer une carte de cœur : Il y a 8 cœurs. $P(\text{Cœur}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

Ces propriétés sont toujours vraies, quel que soit le modèle probabiliste.

• La probabilité de l'événement certain est 1 : $P(\Omega) = 1$.
• La probabilité de l'événement impossible est 0 : $P(\emptyset) = 0$.
• Pour tout événement $A$, sa probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus : $0 \le P(A) \le 1$.
• La probabilité de l'événement contraire $\bar{A}$ est : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
  • Très utile pour calculer la probabilité d'un événement complexe : il est parfois plus simple de calculer la probabilité de son contraire, puis de faire $1 - P(\bar{A})$.
  • Exemple (dé) : $P(\text{ne pas obtenir 6}) = 1 - P(\text{obtenir 6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Comment calculer la probabilité que l'un ou l'autre de deux événements se produise ?

• Formule générale pour l'union : Pour deux événements $A$ et $B$ quelconques : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

  • On soustrait $P(A \cap B)$ car les issues communes à $A$ et $B$ (celles de l'intersection) seraient comptées deux fois si on faisait simplement $P(A) + P(B)$.
  • Diagrammes de Venn sont très utiles pour visualiser cette formule. Imaginez deux cercles qui se chevauchent. L'union est tout ce qui est dans les cercles. L'intersection est la zone de chevauchement.

• Cas des événements incompatibles : Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$. Dans ce cas, la formule se simplifie : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

  • Exemple (dé) : $A = \{1\}$ (obtenir 1), $B = \{6\}$ (obtenir 6). Ils sont incompatibles.
  • $P(A \cup B) = P(\text{obtenir 1 ou 6}) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Les tableaux à double entrée (ou tableaux croisés) sont parfaits pour organiser des données lorsqu'il y a deux critères de classification.

• Organisation des données : Ils permettent de récapituler des effectifs ou des fréquences en fonction de deux caractéristiques simultanées.
  • Exemple : Répartition des élèves d'un lycée selon leur sexe (F/H) et leur pratique sportive (Sportif/Non Sportif).

• Calcul de probabilités à partir du tableau : À partir des effectifs, on peut facilement calculer des probabilités en divisant par l'effectif total.
  • $P(\text{Femme et Sportif}) = \frac{150}{700} \approx 0,214$
  • $P(\text{Homme}) = \frac{300}{700} \approx 0,429$
  • $P(\text{Sportif}) = \frac{350}{700} = 0,5$
• Visualisation des intersections : Les cellules internes du tableau représentent les intersections d'événements (par exemple, "Femme ET Sportif"). Les totaux de lignes ou de colonnes représentent les probabilités d'événements simples.

Les arbres sont particulièrement utiles pour représenter des séquences d'événements successifs ou des choix.

• Représentation des séquences d'événements : Chaque branche de l'arbre représente une issue possible. Les probabilités sont écrites sur les branches.

  • Exemple : Lancer une pièce deux fois de suite.

  Départ
  ├── Pile (P=0.5) ───┬── Pile (P=0.5) ───> PP
  │                 └── Face (P=0.5) ───> PF
  └── Face (P=0.5) ───┬── Pile (P=0.5) ───> FP
                    └── Face (P=0.5) ───> FF
  

• Chemins et probabilités :

  • Pour obtenir la probabilité d'un chemin (une séquence d'événements), on multiplie les probabilités le long des branches de ce chemin.
    • $P(\text{PP}) = P(\text{Pile au 1er lancer}) \times P(\text{Pile au 2e lancer}) = 0,5 \times 0,5 = 0,25$.
  • Pour obtenir la probabilité d'un événement qui peut être atteint par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.
    • $P(\text{obtenir un Pile et un Face}) = P(\text{PF}) + P(\text{FP}) = 0,25 + 0,25 = 0,5$.

• Somme des probabilités des branches : La somme des probabilités issues d'un même nœud (point de division) doit toujours être égale à 1. De même, la somme des probabilités de tous les chemins finaux doit être égale à 1.

Les outils numériques sont aujourd'hui indispensables pour explorer les probabilités, surtout pour la loi des grands nombres.

• Simulations avec tableur ou Python :
  • Tableur (Excel, LibreOffice Calc) : Utilisation de fonctions comme ALEA() (nombre aléatoire entre 0 et 1) pour simuler des lancers de dés, de pièces, etc. On peut ensuite compter les occurrences et calculer les fréquences.
  • Python : La bibliothèque random permet de générer des nombres aléatoires.
    • random.random() : nombre flottant entre 0 et 1.
    • random.randint(a, b) : entier aléatoire entre a et b inclus.
    • random.choice(liste) : choisit un élément au hasard dans une liste.
• Génération de nombres aléatoires : Ces fonctions sont la base de toute simulation. Elles permettent de reproduire le caractère imprévisible d'une expérience aléatoire.
• Visualisation des résultats : Les tableurs ou les bibliothèques Python (comme matplotlib) permettent de créer des graphiques (histogrammes, courbes de fréquences) pour visualiser la stabilisation des fréquences et illustrer la loi des grands nombres.

Face à un problème, suivez une démarche structurée :

1. Analyse de l'énoncé :
   • Identifier l'expérience aléatoire.
   • Définir l'univers des possibles $\Omega$.
   • Identifier les événements dont on cherche la probabilité.
   • Déterminer si le modèle est équiprobable ou non.
2. Modélisation de la situation :
   • Si nécessaire, utiliser un tableau à double entrée ou un arbre de probabilités pour visualiser les données ou les étapes.
   • Traduire les questions de l'énoncé en termes d'événements ($A \cap B$, $A \cup B$, $\bar{A}$).
3. Calcul des probabilités demandées :
   • Appliquer les formules vues : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ pour l'équiprobabilité, $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
   • Effectuer les calculs avec rigueur.

Un calcul n'est rien sans une bonne interprétation !

• Sens des probabilités calculées : Une probabilité de 0,7 signifie que l'événement a 70% de chances de se produire. C'est une mesure du degré de certitude.
• Prise de décision basée sur les probabilités : Les probabilités aident à évaluer des risques ou des opportunités.
  • Exemple : Un météorologue annonce 80% de chances de pluie. Cela influence votre décision de prendre un parapluie.
  • Exemple : Une entreprise évalue la probabilité de succès d'un nouveau produit avant d'investir.
• Limites du modèle : Rappelez-vous que les modèles probabilistes sont des simplifications de la réalité. Ils ne prennent pas toujours en compte toutes les variables et peuvent avoir leurs limites. Une probabilité élevée ne garantit pas la réalisation de l'événement, et une probabilité faible ne garantit pas son absence.

Soyez vigilant pour ne pas tomber dans ces pièges !

• Confusion entre fréquence et probabilité : La fréquence est une observation passée, la probabilité est une valeur théorique ou une prédiction à long terme. La fréquence tend vers la probabilité, mais n'est pas la probabilité.
• Erreurs de dénombrement : C'est la source la plus fréquente d'erreurs en probabilités. Assurez-vous de bien compter le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. Utilisez des listes, des tableaux ou des arbres pour vous aider.
• Mauvaise interprétation des événements :
  • Confondre "et" (intersection $\cap$) avec "ou" (union $\cup$).
  • Oublier que la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ n'est valable que pour les événements incompatibles.
  • Ne pas identifier correctement l'événement contraire.
  • Toujours bien lire l'énoncé et définir précisément les événements.

En maîtrisant ces concepts, vous serez capable de modéliser des situations aléatoires et de calculer des probabilités avec confiance !