La representation dans lespace

La géométrie dans l'espace, ou géométrie 3D, est l'étude des objets qui existent dans trois dimensions : la longueur, la largeur et la hauteur. Contrairement à la géométrie plane (2D) qui s'intéresse aux figures sur une surface (carré, cercle), la géométrie dans l'espace étudie les solides.

• Définition de l'espace : L'espace est l'ensemble de tous les points possibles. C'est là où nous vivons et où se situent tous les objets réels.
• Objets 3D vs 2D :
  • 2D (Deux Dimensions) : Figures plates comme un carré, un triangle, un cercle. Elles ont une aire.
  • 3D (Trois Dimensions) : Solides comme un cube, une pyramide, une sphère. Ils ont un volume.
• Exemples d'objets spatiaux : Un dé à jouer (cube), une boîte de céréales (pavé droit), une canette (cylindre), une balle de tennis (sphère).

Pour parler de géométrie dans l'espace, il faut connaître quelques termes essentiels.

• Points, droites, plans dans l'espace :
  • Un point est une position précise, sans dimension. On le note avec une lettre majuscule (A, B).
  • Une droite est un ensemble infini de points alignés, sans épaisseur. Elle est définie par deux points (AB) ou une lettre minuscule (d).
  • Un plan est une surface plate et infinie, sans épaisseur. Imagine une feuille de papier infinie. Il est défini par trois points non alignés ou une droite et un point extérieur à cette droite. On le note souvent avec des parenthèses [(ABC)] ou une lettre grecque ($\mathcal{P}$).
• Position relative de droites : Dans l'espace, deux droites peuvent être :
  • Sécantes : Elles se coupent en un seul point.
  • Parallèles : Elles ne se coupent jamais et sont dans le même plan.
  • Non coplanaires : Elles ne sont pas dans le même plan et ne se coupent jamais. C'est une notion nouvelle par rapport à la 2D !
• Position relative de plans : Deux plans peuvent être :
  • Sécants : Ils se coupent selon une droite.
  • Parallèles : Ils ne se coupent jamais.
  • Confondus : Ils sont identiques.

La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter des objets en 3D sur une feuille de papier (2D) tout en donnant une impression de profondeur.

• Principes de la perspective cavalière :
  1. Les faces de face et d'arrière sont dessinées en vraie grandeur (non déformées).
  2. Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
  3. Les arêtes fuyantes (qui donnent la profondeur) sont dessinées en diagonale, avec un angle et un coefficient de réduction (souvent 0,5).
  4. Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
• Faces visibles et cachées : Les arêtes visibles sont en trait plein, les arêtes cachées en pointillé. Cela aide à comprendre la forme du solide.
• Représenter un cube, un pavé droit :
  1. Dessiner la face avant en vraie grandeur.
  2. Dessiner les arêtes fuyantes en diagonale et en pointillés pour celles cachées.
  3. Dessiner la face arrière en reliant les extrémités des arêtes fuyantes.

• Définition et propriétés : Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide dont toutes les faces sont des rectangles.
• Faces, arêtes, sommets :
  • Il possède 6 faces (toutes rectangulaires).
  • Il a 12 arêtes (les segments où deux faces se rencontrent).
  • Il a 8 sommets (les points où trois arêtes se rencontrent).
  • Les faces opposées sont parallèles et de mêmes dimensions.
• Patron d'un pavé droit : Un patron est un développement du solide sur un plan, qui, une fois plié, permet de reconstituer le solide. Le patron d'un pavé droit est composé de 6 rectangles reliés de manière à pouvoir le former.

• Définition et propriétés spécifiques : Un cube est un pavé droit particulier dont toutes les faces sont des carrés.
• Relation avec le pavé droit : Le cube est un cas particulier de pavé droit où la longueur, la largeur et la hauteur sont égales.
• Patron d'un cube : C'est un patron de pavé droit où les 6 faces sont des carrés identiques. Il existe 11 patrons différents pour un cube.

• Définition et éléments caractéristiques : Un prisme droit est un solide qui a deux faces parallèles et superposables appelées bases, et dont toutes les autres faces (appelées faces latérales) sont des rectangles.
• Bases et faces latérales :
  • Les bases peuvent être n'importe quel polygone (triangle, carré, pentagone, etc.).
  • Les faces latérales sont des rectangles. Leur nombre est égal au nombre de côtés du polygone de base.
• Exemples de prismes droits : Prisme à base triangulaire (comme une tente), prisme à base hexagonale. La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases.

• Définition et éléments (base, hauteur) : Un cylindre de révolution (ou cylindre droit) est un solide généré par la rotation d'un rectangle autour de l'un de ses côtés.
• Bases et hauteur :
  • Ses bases sont deux disques parallèles et de même rayon.
  • La hauteur est la distance entre les deux bases.
• Génératrice : Le côté du rectangle qui tourne pour former le cylindre est appelé la génératrice. La longueur de la génératrice est la hauteur du cylindre.
• Patron d'un cylindre : Il est composé de deux disques (les bases) et d'un rectangle (la face latérale). La longueur du rectangle est égale à la circonférence des bases ($2 \pi r$), et sa largeur est la hauteur du cylindre.

• Formule du volume du pavé droit : $V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$ Si $L$ est la longueur, $l$ la largeur et $h$ la hauteur, alors $V = L \times l \times h$. Exemple : Un pavé droit de 5 cm de long, 3 cm de large et 2 cm de haut a un volume de $5 \times 3 \times 2 = 30 \text{ cm}^3$.
• Formule du volume du cube : Puisque pour un cube, longueur = largeur = hauteur = côté ($c$), la formule devient : $V = c \times c \times c = c^3$ Exemple : Un cube de 4 cm de côté a un volume de $4^3 = 64 \text{ cm}^3$.
• Unités de volume et conversions :
  • $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$
  • $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1\ 000\ 000 \text{ cm}^3$
  • ==Rappel : $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$ et $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$.==

• Aire de la base : La première étape est de calculer l'aire du polygone qui forme la base du prisme.
  • Pour un triangle : $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
  • Pour un carré/rectangle : $\text{côté} \times \text{côté}$ ou $\text{longueur} \times \text{largeur}$
• Formule du volume du prisme droit : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur du prisme}$ Soit $V = \mathcal{A}_b \times h$.
• Application à différents types de bases : Si la base est un triangle de 6 cm$^2$ et la hauteur du prisme est de 10 cm, alors $V = 6 \times 10 = 60 \text{ cm}^3$.

• Aire du disque de base : La base d'un cylindre est un disque. Son aire est donnée par la formule : $\mathcal{A}_b = \pi \times \text{rayon}^2 = \pi r^2$
• Formule du volume du cylindre : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} = \pi r^2 h$
• Calculs avec $\pi$ : On utilise souvent la valeur approchée $\pi \approx 3,14$ ou la touche $\pi$ de la calculatrice pour plus de précision. Exemple : Un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm a un volume de $V = \pi \times 3^2 \times 5 = 45 \pi \text{ cm}^3 \approx 141,37 \text{ cm}^3$.

• Calcul de l'aire de chaque face : Pour un pavé droit, chaque face est un rectangle. L'aire de chaque face est longueur $\times$ largeur.
• Aire latérale : C'est l'aire de toutes les faces sauf les deux bases. Pour un pavé droit, c'est l'aire des 4 faces verticales. $\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2 \times (L \times h) + 2 \times (l \times h)$ Ou plus simplement : $\mathcal{A}_{\text{latérale}} = \text{Périmètre de la base} \times \text{hauteur} = (2L + 2l) \times h$.
• Aire totale : C'est la somme de l'aire latérale et de l'aire des deux bases. $\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$ $\mathcal{A}_{\text{totale}} = 2 \times (L \times l) + 2 \times (L \times h) + 2 \times (l \times h)$. Pour un cube de côté $c$ : $\mathcal{A}_{\text{totale}} = 6 \times c^2$ (car 6 faces carrées identiques).

• Périmètre de la base : Il faut d'abord calculer le périmètre du polygone de base.
• Aire latérale (périmètre de base $\times$ hauteur) : $\mathcal{A}_{\text{latérale}} = \text{Périmètre de la base} \times \text{hauteur du prisme}$ C'est comme déplier les faces latérales pour former un grand rectangle.
• Aire totale (aire latérale + 2 $\times$ aire de la base) : $\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$ N'oubliez pas que les deux bases sont identiques.

• Périmètre du cercle de base : C'est la circonférence du cercle : $2 \pi r$.
• Aire latérale (2$\pi$r $\times$ hauteur) : Imaginez que vous déroulez la surface latérale du cylindre. Cela forme un rectangle dont la longueur est la circonférence de la base et la largeur est la hauteur du cylindre. $\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2 \pi r h$
• Aire totale (aire latérale + 2 $\times$ aire de la base) : $\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ On peut factoriser : $\mathcal{A}_{\text{totale}} = 2 \pi r (h + r)$.

• Plan parallèle à une face : Si le plan de coupe est parallèle à une face du pavé droit, la section obtenue est un rectangle identique à cette face. Exemple : Couper une boîte de céréales horizontalement donne un rectangle de la même taille que le haut ou le bas de la boîte.
• Plan parallèle à une arête : Si le plan est parallèle à une arête du pavé droit et ne passe pas par une face, la section obtenue est un rectangle. Exemple : Couper une brique de fromage verticalement.
• Nature de la section obtenue : Dans tous les cas simples étudiés en 4ème pour un pavé droit, la section par un plan est un rectangle.

• Plan parallèle à la base : Si le plan de coupe est parallèle aux bases du cylindre, la section obtenue est un cercle identique aux bases. Exemple : Couper une bûche de bois perpendiculairement à son axe.
• Plan parallèle à l'axe : Si le plan est parallèle à l'axe du cylindre, la section obtenue est un rectangle. Exemple : Couper une canette de soda verticalement.
• Nature de la section obtenue (cercle, rectangle) : Ces deux cas sont les plus courants. Une coupe oblique donnerait une ellipse, mais ce n'est pas au programme.

• Dessiner la section en perspective : Lorsque vous dessinez un solide en perspective cavalière, la section doit aussi être dessinée en respectant les règles de la perspective. Les segments de la section qui sont sur des arêtes fuyantes du solide doivent aussi être dessinés en fuyante.
• Identifier les dimensions de la section : Il est souvent demandé de calculer les dimensions de la section. Cela nécessite d'utiliser les propriétés des figures et parfois le théorème de Pythagore.
• Cas particuliers et propriétés :
  • La section d'un solide par un plan peut être plus complexe (par exemple, un triangle ou un hexagone pour une pyramide ou un prisme).
  • Les sections parallèles à une base conservent la forme de la base.