Les cas d'égalité des triangles

Deux triangles sont dits égaux (ou isométriques) s'ils sont superposables. Cela signifie que l'on peut déplacer l'un d'eux pour qu'il coïncide parfaitement avec l'autre. Concrètement, cela implique que :

• Leurs côtés homologues (ceux qui se correspondent) ont les mêmes longueurs.
• Leurs angles homologues (ceux qui se correspondent) ont les mêmes mesures.

Imagine deux triangles découpés dans du papier : s'ils sont égaux, tu peux les poser l'un sur l'autre et ils se couvriront exactement.

Si deux triangles sont égaux, alors :

• Leurs angles homologues ont la même mesure.
• Leurs côtés homologues ont la même longueur.
• Ils ont le même périmètre (somme des longueurs des côtés).
• Ils ont la même aire.

Ces propriétés sont très utiles car elles nous permettent de déduire des informations sur un triangle si on sait qu'il est égal à un autre.

Il est crucial de ne pas confondre les triangles égaux et les triangles semblables.

• Triangles égaux :
  • Ils ont la même forme ET la même taille.
  • Leurs côtés homologues ont un rapport de 1 (ils sont de même longueur).
  • Leurs angles homologues ont les mêmes mesures.
• Triangles semblables :
  • Ils ont la même forme mais pas nécessairement la même taille.
  • Leurs côtés homologues sont proportionnels (ils ont un rapport $k$ constant, où $k$ est le coefficient d'agrandissement ou de réduction).
  • Leurs angles homologues ont les mêmes mesures.

En résumé :

Deux triangles sont égaux si deux côtés de l'un sont de même longueur que deux côtés de l'autre, et si les angles compris entre ces côtés ont la même mesure.

On parle de CAC pour se souvenir : Côté, Angle (compris), Côté.

Si dans les triangles ABC et DEF :

• $AB = DE$ (Côté)
• $\widehat{BAC} = \widehat{EDF}$ (Angle compris)
• $AC = DF$ (Côté)

Alors les triangles ABC et DEF sont égaux.

L'idée derrière ce cas est que si tu connais deux longueurs de côtés et l'angle qu'ils forment, il n'y a qu'une seule façon de construire le triangle.

Application : Pour prouver que deux triangles sont égaux par le cas CAC, tu dois :

1. Identifier les deux paires de côtés de même longueur.
2. Vérifier que l'angle entre ces deux côtés est de même mesure dans les deux triangles.
3. Conclure que les triangles sont égaux selon le cas CAC.

Soient les triangles ABC et DEF. On sait que :

• $AB = DE = 5 \text{ cm}$
• $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 40^\circ$
• $AC = DF = 7 \text{ cm}$ D'après le premier cas d'égalité des triangles (CAC), les triangles ABC et DEF sont égaux.

Triangle ABC avec $AB=4$, $AC=5$, $\widehat{BAC}=60^\circ$. Triangle DEF avec $DE=4$, $DF=5$, $\widehat{EDF}=60^\circ$. Ces triangles sont égaux.

Contre-exemple (angle non compris) : Triangle ABC avec $AB=4$, $AC=5$, $\widehat{ABC}=60^\circ$. Triangle DEF avec $DE=4$, $DF=5$, $\widehat{DEF}=60^\circ$. Ici, l'angle de $60^\circ$ n'est pas "compris" entre les côtés de 4 et 5 unités. Ces triangles ne sont pas nécessairement égaux. Il est possible de construire deux triangles différents avec ces informations. L'ordre est très important !

Deux triangles sont égaux si deux angles de l'un sont de même mesure que deux angles de l'autre, et si le côté commun à ces angles a la même longueur.

On parle d'ACA pour se souvenir : Angle, Côté (compris), Angle.

Si dans les triangles ABC et DEF :

• $\widehat{ABC} = \widehat{DEF}$ (Angle)
• $BC = EF$ (Côté compris)
• $\widehat{BCA} = \widehat{EFD}$ (Angle)

Alors les triangles ABC et DEF sont égaux.

Ce cas repose sur le fait qu'un segment de longueur donnée et deux angles adjacents à ce segment définissent un triangle unique.

Application :

1. Identifier les deux paires d'angles de même mesure.
2. Vérifier que le côté situé entre ces deux angles est de même longueur dans les deux triangles.
3. Conclure que les triangles sont égaux selon le cas ACA.

Soient les triangles GHI et JKL. On sait que :

• $\widehat{GHI} = \widehat{JKL} = 70^\circ$
• $HI = KL = 8 \text{ cm}$
• $\widehat{HIG} = \widehat{KLJ} = 50^\circ$ D'après le deuxième cas d'égalité des triangles (ACA), les triangles GHI et JKL sont égaux.

• Reconnaissance du cas ACA : On te donne des figures, tu dois déterminer si le cas ACA s'applique et quels sont les triangles égaux.
• Calcul de mesures manquantes : Si deux triangles sont égaux par ACA, tu peux déduire les longueurs des côtés ou les mesures des angles restants. Par exemple, si tu sais que $GH$ correspond à $JK$, alors $GH = JK$.

Deux triangles sont égaux si les trois côtés de l'un sont de même longueur que les trois côtés de l'autre.

On parle de CCC pour se souvenir : Côté, Côté, Côté.

Si dans les triangles ABC et DEF :

• $AB = DE$
• $BC = EF$
• $CA = FD$

Alors les triangles ABC et DEF sont égaux.

Ce cas est fondamental : si tu as trois longueurs de côtés, il n'y a qu'une seule façon de construire un triangle (à condition que l'inégalité triangulaire soit respectée).

Application :

1. Identifier les trois paires de côtés de même longueur.
2. Conclure que les triangles sont égaux selon le cas CCC.

Soient les triangles MNO et PQR. On sait que :

• $MN = PQ = 3 \text{ cm}$
• $NO = QR = 4 \text{ cm}$
• $OM = RP = 5 \text{ cm}$ D'après le troisième cas d'égalité des triangles (CCC), les triangles MNO et PQR sont égaux.

• Triangles particuliers : Ce cas est très utile pour les triangles isocèles (deux côtés égaux) ou équilatéraux (trois côtés égaux). Si deux triangles équilatéraux ont un côté de même longueur, ils sont égaux par CCC.
• Inégalité triangulaire : Attention, pour que trois longueurs $a, b, c$ forment un triangle, il faut que la somme de deux côtés soit toujours supérieure au troisième : $a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$. Si cette condition n'est pas respectée, le triangle ne peut pas exister. C'est une limite à la construction d'un triangle avec trois côtés donnés.

Les cas d'égalité sont des outils puissants pour démontrer des propriétés géométriques. L'idée est souvent de :

1. Identifier deux triangles dans une figure complexe.
2. Prouver qu'ils sont égaux en utilisant un des trois cas (CAC, ACA, CCC).
3. En déduire que leurs éléments homologues (côtés ou angles) sont égaux.

• Milieu d'un segment : Prouver que si un point est le milieu d'un segment, il peut être utilisé pour créer des triangles égaux.
• Bissectrice d'un angle : Démontrer que tout point sur la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de l'angle en utilisant la congruence de triangles.
• Hauteur, médiane, médiatrice : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane, la médiatrice et la bissectrice. On peut le prouver en montrant l'égalité de deux triangles formés par cette hauteur.

Face à un problème complexe, tu peux :

1. Analyser la figure : Cherche des informations données (longueurs, angles, points particuliers comme des milieux).
2. Découper la figure : Essaye de repérer des paires de triangles potentiellement égaux.
3. Construire des preuves : Utilise les cas d'égalité pour justifier tes déductions étape par étape.
4. Nommer les sommets avec précision pour bien identifier les côtés et angles homologues.

Les exercices de synthèse te demanderont souvent de :

• Choisir le bon cas d'égalité : En fonction des informations disponibles, tu devras décider si tu dois utiliser CAC, ACA ou CCC.
• Rédiger une preuve structurée : Présente clairement les triangles considérés, les informations connues, le cas d'égalité utilisé et la conclusion.
• Vérifier tes résultats : Est-ce que tes conclusions sont cohérentes avec la figure et les données ?

Soit un cercle de centre O. A, B, C, D sont des points sur ce cercle tels que $AB = CD$. Démontrer que les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{COD}$ sont égaux.

• Analyse : On a des rayons de cercle ($OA=OB=OC=OD$). On a aussi $AB=CD$.
• Triangles : Considérons les triangles AOB et COD.
• Preuve (CCC) :
  • $OA = OC$ (rayons du même cercle)
  • $OB = OD$ (rayons du même cercle)
  • $AB = CD$ (donné)
  • Donc, d'après le cas d'égalité CCC, les triangles AOB et COD sont égaux.
  • Par conséquent, leurs angles homologues sont égaux, donc $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$.