La proportionnalite

La proportionnalité est une relation entre deux grandeurs où l'une est obtenue en multipliant l'autre par un nombre fixe, appelé coefficient de proportionnalité. Si deux quantités sont proportionnelles, alors quand l'une est multipliée par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre.

Situations de la vie courante :

• Le prix payé pour des pommes est proportionnel au poids acheté.
• La quantité d'ingrédients pour une recette est proportionnelle au nombre de personnes.
• La distance parcourue à vitesse constante est proportionnelle au temps de trajet.

• Proportionnel : Si 1 kg de pommes coûte 2 €, alors 2 kg coûteront 4 €. (multiplication par 2)
• Non proportionnel : L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels. À 5 ans, on ne mesure pas la moitié de sa taille à 10 ans.
• Non proportionnel : Le prix d'un taxi n'est pas toujours proportionnel à la distance (il y a souvent un forfait de départ).

Une situation est proportionnelle si le rapport entre les deux grandeurs reste constant.

Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes (ou deux colonnes) qui permet d'organiser les données d'une situation de proportionnalité.

Identifier une situation de proportionnalité : Pour qu'un tableau représente une situation de proportionnalité, le quotient de chaque nombre de la deuxième ligne par le nombre correspondant de la première ligne doit être constant. C'est-à-dire : $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} = \text{constante}$.

Vérifions : $\frac{3}{2} = 1.5$, $\frac{7.5}{5} = 1.5$, $\frac{12}{8} = 1.5$. Puisque le rapport est constant (1.5), c'est bien un tableau de proportionnalité.

Compléter un tableau simple : On peut utiliser le coefficient de proportionnalité pour trouver les valeurs manquantes.

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir les valeurs de la deuxième grandeur. On le note souvent $k$. Si $y$ est proportionnel à $x$, alors $y = k \times x$.

Calcul du coefficient : Il se calcule en divisant une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne (à condition que la valeur de la première ligne ne soit pas zéro). $k = \frac{\text{valeur de la grandeur 2}}{\text{valeur de la grandeur 1}}$

Signification du coefficient : Le coefficient $k$ représente la valeur de la grandeur 2 pour une unité de la grandeur 1. Dans l'exemple des stylos, $k = 1.5$. Cela signifie qu'un stylo coûte 1.50 €.

Utilisation pour trouver des valeurs : Une fois le coefficient $k$ connu, on peut l'utiliser pour compléter le tableau. Si on a le nombre de stylos, on multiplie par $k$ pour trouver le prix. Si on a le prix, on divise par $k$ pour trouver le nombre de stylos.

Pour 10 stylos : Prix = $10 \times 1.5 = 15$ €.

La méthode par le coefficient est très efficace lorsque le coefficient est facile à calculer ou à utiliser.

Applications directes :

• Problème : Un paquet de 6 yaourts coûte 2,40 €. Combien coûtent 9 yaourts ?
• Calcul du coefficient : Prix d'un yaourt = $\frac{2.40}{6} = 0.40$ €. Le coefficient est 0,40.
• Application : Prix de 9 yaourts = $9 \times 0.40 = 3.60$ €.

Vérification des résultats : Toujours vérifier si le résultat est logique. Si 6 yaourts coûtent 2,40 €, il est normal que 9 yaourts coûtent plus cher.

La méthode du passage à l'unité consiste à calculer la valeur pour une unité de la première grandeur, puis à multiplier ce résultat par la quantité désirée. C'est en fait la même logique que le calcul du coefficient de proportionnalité.

Calcul de la valeur pour une unité :

• Problème : 3 kg de cerises coûtent 12 €. Combien coûtent 7 kg de cerises ?
• Passage à l'unité : Prix pour 1 kg de cerises = $\frac{12}{3} = 4$ €.
• Extension à d'autres valeurs : Prix pour 7 kg de cerises = $7 \times 4 = 28$ €.

Cette méthode est très intuitive et permet de bien comprendre le sens du coefficient.

Les propriétés de linéarité sont très utiles pour compléter un tableau de proportionnalité sans calculer le coefficient.

1. Additivité : Si on additionne deux quantités d'une grandeur, les quantités correspondantes de l'autre grandeur s'additionnent aussi.

   • Si 2 kg de pommes coûtent 3 € et 3 kg de pommes coûtent 4.50 €, alors $2+3 = 5$ kg de pommes coûteront $3 + 4.50 = 7.50$ €.

2. Homogénéité (multiplication par un nombre) : Si on multiplie une quantité d'une grandeur par un nombre, la quantité correspondante de l'autre grandeur est multipliée par le même nombre.

   • Si 2 kg de pommes coûtent 3 €, alors $2 \times 3 = 6$ kg de pommes coûteront $3 \times 3 = 9$ €.

3. Combinaison des propriétés : On peut combiner ces propriétés pour trouver des valeurs.

   • Exemple : Un cycliste parcourt 15 km en 30 minutes. Combien de temps lui faut-il pour parcourir 45 km ?
     • On remarque que $45 = 3 \times 15$.
     • Donc, le temps sera $3 \times 30 \text{ minutes} = 90 \text{ minutes}$.

Le produit en croix, aussi appelé la règle de trois, est une méthode très puissante pour résoudre les problèmes de proportionnalité lorsque l'on connaît trois valeurs et que l'on cherche la quatrième.

Formulation du produit en croix : Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases :

La relation est : $a \times x = b \times c$. Donc, $x = \frac{b \times c}{a}$.

Résolution d'équations simples :

• Problème : Si 4 oranges coûtent 1,80 €, combien coûtent 7 oranges ?

En utilisant le produit en croix : $4 \times x = 7 \times 1.80$ $4x = 12.60$ $x = \frac{12.60}{4}$ $x = 3.15$ 7 oranges coûtent 3,15 €.

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction d'un tout par rapport à 100. Le symbole % signifie "pour cent". Ainsi, $25\%$ signifie $\frac{25}{100}$.

Calculer un pourcentage d'une quantité : Pour calculer $p\%$ d'une quantité $Q$, on multiplie $Q$ par $\frac{p}{100}$.

• Exemple : Calculer $20\%$ de 150 €. $20\%$ de $150 = \frac{20}{100} \times 150 = 0.20 \times 150 = 30$ €.

Appliquer un pourcentage (augmentation/réduction) :

• Augmentation de $p\%$ : Nouvelle quantité = $Q \times (1 + \frac{p}{100})$.
  • Exemple : Un article coûte 80 € et augmente de $10\%$. Nouveau prix = $80 \times (1 + \frac{10}{100}) = 80 \times 1.10 = 88$ €.
• Réduction de $p\%$ : Nouvelle quantité = $Q \times (1 - \frac{p}{100})$.
  • Exemple : Un article coûte 50 € et bénéficie d'une réduction de $20\%$. Nouveau prix = $50 \times (1 - \frac{20}{100}) = 50 \times 0.80 = 40$ €.

Les pourcentages sont souvent représentés graphiquement pour faciliter leur compréhension visuelle.

• Diagrammes circulaires (camemberts) : Chaque secteur du cercle représente une catégorie et sa taille est proportionnelle au pourcentage qu'elle représente par rapport au total. La somme des pourcentages doit faire $100\%$.
• Diagrammes en barres : La hauteur de chaque barre est proportionnelle au pourcentage ou à la valeur qu'elle représente.

Ces représentations permettent une interprétation visuelle rapide des répartitions.

Une échelle est un coefficient de proportionnalité qui relie les dimensions d'un objet réel à celles de sa représentation (carte, maquette, plan). Elle est souvent exprimée sous forme de fraction (ex: 1/100) ou de ratio (ex: 1:100). Une échelle de 1:100 signifie que 1 unité sur la carte représente 100 unités en réalité.

Calculer une distance réelle à partir d'une carte : Distance réelle = Distance sur la carte $\times$ Dénominateur de l'échelle

• Exemple : Sur une carte à l'échelle 1:50 000, une route mesure 3 cm. Distance réelle = $3 \text{ cm} \times 50 000 = 150 000 \text{ cm} = 1500 \text{ m} = 1.5 \text{ km}$.

Calculer une distance sur une carte : Distance sur la carte = $\frac{\text{Distance réelle}}{\text{Dénominateur de l'échelle}}$

• Exemple : Une rivière mesure 10 km en réalité. Quelle est sa longueur sur une carte au 1:200 000 ? Convertir les unités : $10 \text{ km} = 1 000 000 \text{ cm}$. Distance sur la carte = $\frac{1 000 000}{200 000} = 5 \text{ cm}$.

• Grandeurs simples : Elles ne nécessitent qu'une seule unité de mesure (longueur, masse, temps, prix...). Exemples : mètres, kilogrammes, secondes, euros.
• Grandeurs composées : Elles sont formées par le rapport ou le produit de plusieurs grandeurs simples.
  • Exemples :
    • Vitesse (distance / temps) : km/h, m/s
    • Débit (volume / temps) : L/min, m³/s
    • Masse volumique (masse / volume) : kg/m³
    • Prix au kg (prix / masse) : €/kg

Unités de mesure associées : Il est crucial de bien maîtriser les unités et leurs conversions pour travailler avec les grandeurs composées.

La vitesse moyenne est une grandeur composée très courante. Elle exprime la distance parcourue par unité de temps.

Définition : La vitesse moyenne $V$ est le rapport entre la distance $D$ parcourue et le temps $T$ mis pour la parcourir.

Formule : $V = \frac{D}{T}$

Calculs de vitesse, distance, temps : À partir de cette formule, on peut déduire les autres :

• $D = V \times T$ (Distance = Vitesse $\times$ Temps)
• $T = \frac{D}{V}$ (Temps = Distance / Vitesse)

Il est essentiel d'utiliser des unités cohérentes ! Si la vitesse est en km/h, la distance doit être en km et le temps en heures.

• Exemple 1 (Vitesse) : Un coureur parcourt 100 m en 10 secondes. Sa vitesse moyenne est $V = \frac{100 \text{ m}}{10 \text{ s}} = 10 \text{ m/s}$.
• Exemple 2 (Distance) : Une voiture roule à 80 km/h pendant 2,5 heures. La distance parcourue est $D = 80 \text{ km/h} \times 2.5 \text{ h} = 200 \text{ km}$.
• Exemple 3 (Temps) : Un train parcourt 450 km à une vitesse moyenne de 120 km/h. Le temps de trajet est $T = \frac{450 \text{ km}}{120 \text{ km/h}} = 3.75 \text{ heures}$, soit 3 heures et 45 minutes ($0.75 \times 60 = 45$).

Les conversions sont fréquentes, notamment entre km/h et m/s.

• De km/h en m/s :

  • 1 km = 1000 m
  • 1 h = 3600 s
  • Donc, $1 \text{ km/h} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{10}{36} \text{ m/s} = \frac{5}{18} \text{ m/s}$.
  • Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3,6.
  • Exemple : $72 \text{ km/h} = \frac{72}{3.6} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}$.

• De m/s en km/h :

  • C'est l'opération inverse.
  • Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par 3,6.
  • Exemple : $15 \text{ m/s} = 15 \times 3.6 \text{ km/h} = 54 \text{ km/h}$.

Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise un repère orthogonal (avec deux axes perpendiculaires).

• L'axe des abscisses (horizontal) représente la première grandeur.
• L'axe des ordonnées (vertical) représente la deuxième grandeur.

Placer des points à partir d'un tableau : Chaque couple de valeurs $(x; y)$ du tableau de proportionnalité correspond à un point dans le repère.

• Exemple : Tableau des stylos

On placera les points $(2; 3)$, $(5; 7.5)$, $(8; 12)$.

La caractéristique graphique essentielle d'une situation de proportionnalité est la suivante : Les points représentant une situation de proportionnalité sont alignés avec l'origine du repère (le point $(0;0)$).

• Alignement des points : Si les points ne sont pas alignés, la situation n'est pas proportionnelle.
• Passage par l'origine : Si la première grandeur est nulle, la deuxième grandeur est nulle. (Ex: 0 stylo coûte 0 €). C'est pourquoi la droite passe par l'origine.

La représentation graphique d'une situation de proportionnalité est toujours une droite qui passe par l'origine du repère.

Le graphique permet de résoudre des problèmes de proportionnalité par lecture graphique.

• Déterminer des valeurs à partir du graphique :

  • Pour trouver le prix de 6 stylos, on part de 6 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la droite, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.
  • Pour trouver le nombre de stylos que l'on peut acheter avec 9 €, on part de 9 sur l'axe des ordonnées, on va jusqu'à la droite, puis on lit la valeur sur l'axe des abscisses.

• Estimer le coefficient directeur : La pente de la droite représente le coefficient de proportionnalité. Plus la droite est "pentue", plus le coefficient est grand.

• Utilisation pour résoudre des problèmes : La lecture graphique est utile pour estimer des valeurs ou vérifier la cohérence des calculs. Elle offre une visualisation immédiate de la relation de proportionnalité.