Etudier les variations et les extremums d'une fonction

En mathématiques, une fonction est comme une "machine" qui, à chaque nombre d'entrée (appelé antécédent), associe au plus un nombre de sortie (appelé image). C'est une relation très précise !

• Variable indépendante (antécédent) : C'est le nombre que l'on donne à la fonction. On le note souvent $x$.
• Variable dépendante (image) : C'est le résultat calculé par la fonction à partir de $x$. On le note souvent $f(x)$ (prononcé "f de x" ou "image de x par f").
• Ensemble de définition : C'est l'ensemble de tous les nombres $x$ pour lesquels la fonction $f(x)$ peut être calculée. On le note souvent $D_f$. Par exemple, pour la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$, l'ensemble de définition est tous les nombres réels sauf 0, car on ne peut pas diviser par 0. On écrit $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Notation $f(x)$ : Si $f$ est le nom de la fonction et $x$ est l'antécédent, alors $f(x)$ est l'image correspondante.
  • Exemple : Si $f(x) = 2x + 3$.
    • L'image de 1 par $f$ est $f(1) = 2(1) + 3 = 5$.
    • L'antécédent de 7 par $f$ est le nombre $x$ tel que $2x + 3 = 7$, donc $2x = 4$, ce qui donne $x = 2$.

La représentation graphique d'une fonction est une façon visuelle de comprendre son comportement. On la trace dans un repère orthogonal.

• Repère orthogonal : C'est un système de deux axes perpendiculaires qui se coupent en un point appelé l'origine (0;0). L'axe horizontal est l'axe des abscisses (pour les $x$, antécédents) et l'axe vertical est l'axe des ordonnées (pour les $y$ ou $f(x)$, images).
• Courbe représentative : C'est l'ensemble de tous les points $(x; f(x))$ dans le repère. Chaque point de la courbe a pour coordonnées $(x; f(x))$.
  • ==Un point $(x; y)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si $y = f(x)$==.
• Lecture d'images et d'antécédents :
  • Pour trouver l'image de $x_0$ : On part de $x_0$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées.
  • Pour trouver les antécédents de $y_0$ : On part de $y_0$ sur l'axe des ordonnées, on trace une ligne horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit les abscisses des points d'intersection sur l'axe des abscisses. Une image peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
• Points d'intersection avec les axes :
  • Avec l'axe des ordonnées : C'est le point où $x=0$. Ses coordonnées sont $(0; f(0))$. Il y en a au plus un.
  • Avec l'axe des abscisses : Ce sont les points où $f(x)=0$. Leurs coordonnées sont $(x; 0)$. Les $x$ sont appelés les racines de la fonction. Il peut y en avoir plusieurs, un seul ou aucun.

Un tableau de valeurs est une liste organisée d'antécédents et de leurs images correspondantes. C'est une étape intermédiaire souvent utile avant de tracer une courbe ou pour vérifier des calculs.

• Construction d'un tableau :
  1. Choisissez différentes valeurs pour $x$ (généralement dans l'ensemble de définition ou un intervalle d'étude).
  2. Pour chaque $x$, calculez son image $f(x)$.
  3. Organisez ces paires $(x; f(x))$ dans un tableau à deux lignes.

• Utilisation de la calculatrice : La plupart des calculatrices graphiques peuvent générer automatiquement des tableaux de valeurs pour une fonction donnée. C'est très pratique pour gagner du temps et éviter les erreurs de calcul.
  1. Entrez la fonction $f(x)$ dans l'éditeur de fonctions (souvent "f(x)=" ou "Y=").
  2. Accédez à la fonction "TABLE" (tableau).
  3. Définissez le début, la fin de l'intervalle et le pas souhaité pour les valeurs de $x$.
• Lien avec la représentation graphique : Chaque colonne du tableau de valeurs correspond aux coordonnées d'un point $(x; f(x))$ qui se trouve sur la courbe représentative de la fonction. Plus il y a de points dans le tableau, plus la courbe que l'on peut tracer est précise.

Une fonction est dite croissante sur un intervalle si, lorsque les antécédents augmentent, les images augmentent aussi (ou restent les mêmes).

• Définition formelle : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est croissante sur $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ dans $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \le f(b)$.
  • L'ordre est conservé : si $a < b$, alors $f(a) \le f(b)$.
• Interprétation graphique : La courbe de la fonction "monte" de gauche à droite sur cet intervalle.
• Exemple : La fonction $f(x) = x^2$ est croissante sur $[0; +\infty[$. Par exemple, si $a=1$ et $b=2$, $1 < 2$ et $f(1)=1^2=1$, $f(2)=2^2=4$. On a bien $f(1) < f(2)$.

Une fonction est dite décroissante sur un intervalle si, lorsque les antécédents augmentent, les images diminuent (ou restent les mêmes).

• Définition formelle : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ dans $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \ge f(b)$.
  • L'ordre est inversé : si $a < b$, alors $f(a) \ge f(b)$.
• Interprétation graphique : La courbe de la fonction "descend" de gauche à droite sur cet intervalle.
• Exemple : La fonction $f(x) = x^2$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$. Par exemple, si $a=-2$ et $b=-1$, $-2 < -1$ et $f(-2)=(-2)^2=4$, $f(-1)=(-1)^2=1$. On a bien $f(-2) > f(-1)$.

Une fonction est dite constante sur un intervalle si, lorsque les antécédents augmentent, les images restent les mêmes.

• Définition formelle : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est constante sur $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ dans $I$, on a $f(a) = f(b)$.
  • L'image est unique : tous les antécédents de l'intervalle ont la même image.
• Interprétation graphique : La courbe de la fonction est une ligne horizontale sur cet intervalle.
• Exemple : La fonction $f(x) = 5$ est constante sur $\mathbb{R}$.

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction à partir de sa courbe :

1. Identification des intervalles : Regardez la courbe de gauche à droite.
   • Si la courbe monte, la fonction est croissante sur cet intervalle.
   • Si la courbe descend, la fonction est décroissante sur cet intervalle.
   • Si la courbe est horizontale, la fonction est constante sur cet intervalle.
2. Utilisation des flèches : Dans un tableau de variations (voir section suivante), on représente ces variations par des flèches qui montent, descendent ou sont horizontales.
3. Points de changement de variation : Ce sont les points où la courbe passe de croissante à décroissante, ou de décroissante à croissante. Ces points sont très importants car ils correspondent aux extremums de la fonction.

Un tableau de variations a généralement deux lignes :

1. Ligne des $x$ (intervalle) :
   • Elle indique l'ensemble de définition de la fonction, divisé en intervalles où le sens de variation est constant.
   • On y place les valeurs de $x$ où la fonction change de variation (les "points tournants"), ainsi que les bornes de l'ensemble de définition.
2. Ligne des $f(x)$ (flèches) :
   • Elle indique le sens de variation de la fonction sur chaque intervalle à l'aide de flèches :
     • $\nearrow$ pour une fonction croissante.
     • $\searrow$ pour une fonction décroissante.
     • → pour une fonction constante.
   • Aux extrémités des flèches (sous les valeurs de $x$ où la fonction change de variation, ou aux bornes de l'ensemble de définition), on inscrit les valeurs atteintes par la fonction $f(x)$. Il peut s'agir d'une image calculée, ou de $\pm \infty$ si la fonction tend vers l'infini aux bornes de l'intervalle.

Exemple de structure d'un tableau de variations :

• $L_1, L_2, L_3$ représentent les valeurs de $f(x)$ aux points critiques ou aux bornes des intervalles.

Le tableau de variations fournit rapidement de nombreuses informations :

• Sens de variation : Il est directement visible grâce aux flèches.
• Extremums (maximum, minimum) : Les "pics" et les "creux" des flèches indiquent les extremums locaux.
  • Si une flèche monte puis descend, le point de jonction est un maximum local.
  • Si une flèche descend puis monte, le point de jonction est un minimum local.
  • Les valeurs inscrites à ces points sont les valeurs des extremums.
• Valeurs atteintes : Toutes les valeurs inscrites dans la ligne $f(x)$ sont des images importantes. Celles aux extrémités des intervalles donnent des informations sur le comportement aux bornes.
  • Il est crucial de bien distinguer la valeur de $x$ (où l'extremum est atteint) et la valeur de $f(x)$ (l'extremum lui-même).

Le tableau de variations est une sorte de "radiographie" de la courbe :

• Concordance des informations :
  • Une flèche montante dans le tableau correspond à une partie de la courbe qui monte de gauche à droite.
  • Une flèche descendante correspond à une partie de la courbe qui descend.
  • Les valeurs des $x$ dans la première ligne du tableau sont les abscisses des points où la pente de la courbe change de direction.
  • Les valeurs de $f(x)$ dans la deuxième ligne sont les ordonnées des points correspondants sur la courbe.
• Vérification mutuelle : On peut utiliser la courbe pour construire le tableau, ou le tableau pour esquisser une courbe. Les deux doivent être cohérents.
• Esquisse de courbe : À partir d'un tableau de variations, on peut dessiner une allure générale de la courbe de la fonction en plaçant les points clés (extremums, points aux bornes) et en les reliant en respectant le sens des flèches.

• Maximum local : Une fonction $f$ admet un maximum local $M$ en $x_0$ s'il existe un intervalle autour de $x_0$ tel que pour tout $x$ dans cet intervalle, $f(x) \le f(x_0)$. La valeur $M = f(x_0)$ est le maximum local. Graphiquement, c'est un "sommet" sur la courbe.
  • Un maximum local est souvent atteint lorsque la fonction passe de croissante à décroissante.
• Maximum global (ou absolu) : Une fonction $f$ admet un maximum global $M$ sur son ensemble de définition $D_f$ si pour tout $x \in D_f$, $f(x) \le M$. C'est la plus grande valeur que la fonction peut prendre sur tout son ensemble de définition.
  • Un maximum global est toujours un maximum local, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.

• Minimum local : Une fonction $f$ admet un minimum local $m$ en $x_0$ s'il existe un intervalle autour de $x_0$ tel que pour tout $x$ dans cet intervalle, $f(x) \ge f(x_0)$. La valeur $m = f(x_0)$ est le minimum local. Graphiquement, c'est un "creux" sur la courbe.
  • Un minimum local est souvent atteint lorsque la fonction passe de décroissante à croissante.
• Minimum global (ou absolu) : Une fonction $f$ admet un minimum global $m$ sur son ensemble de définition $D_f$ si pour tout $x \in D_f$, $f(x) \ge m$. C'est la plus petite valeur que la fonction peut prendre sur tout son ensemble de définition.
  • Un minimum global est toujours un minimum local, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.

• Identification graphique :
  • Sur une courbe, les points les plus hauts d'une "bosse" sont des maximums locaux.
  • Les points les plus bas d'un "creux" sont des minimums locaux.
  • Le point le plus haut de toute la courbe (s'il existe) est le maximum global.
  • Le point le plus bas de toute la courbe (s'il existe) est le minimum global.
• Lecture dans le tableau de variations :
  • Les maximums locaux correspondent aux sommets des flèches qui passent de $\nearrow$ à $\searrow$.
  • Les minimums locaux correspondent aux creux des flèches qui passent de $\searrow$ à $\nearrow$.
  • La valeur de l'extremum est le $f(x)$ inscrit dans le tableau.
  • La valeur de $x$ où il est atteint est le $x$ inscrit juste au-dessus dans la première ligne.
  • Pour trouver les extremums globaux, il faut comparer toutes les valeurs des extremums locaux et les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition.

La représentation graphique d'une fonction permet de résoudre visuellement des équations et des inéquations.

• Résoudre $f(x) = k$ : On cherche les abscisses des points d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite horizontale d'équation $y=k$.
  • Exemple : $f(x) = 0$ signifie chercher les points d'intersection avec l'axe des abscisses (les racines).
• Résoudre $f(x) > k$ : On cherche les intervalles d'abscisses pour lesquels la courbe de $f$ est au-dessus de la droite $y=k$.
• Résoudre $f(x) < k$ : On cherche les intervalles d'abscisses pour lesquels la courbe de $f$ est en-dessous de la droite $y=k$.
• Résoudre $f(x) = g(x)$ : On cherche les abscisses des points d'intersection entre la courbe de $f$ et la courbe de $g$.
  • Attention : la résolution graphique donne des valeurs approchées, sauf si les points sont évidents.

Les fonctions sont des outils puissants pour modéliser des phénomènes réels. L'étude de leurs variations et de leurs extremums permet de résoudre des problèmes d'optimisation.

• Problèmes d'optimisation (aire, volume, coût, profit) : Dans de nombreux domaines (économie, physique, ingénierie), on cherche à maximiser ou minimiser une certaine quantité.
  • Exemple : Trouver les dimensions d'un récipient pour maximiser son volume avec une quantité de matériau donnée.
  • Exemple : Déterminer le prix de vente d'un produit pour maximiser le profit.
• Interprétation des variations :
  • Une fonction croissante peut représenter une augmentation (de population, de température, de production).
  • Une fonction décroissante peut représenter une diminution (de stock, de vitesse, de dépréciation).
• Recherche d'extremums dans un contexte : Les maximums et minimums correspondent souvent à des situations optimales ou critiques dans le problème modélisé.
  • Le maximum d'une fonction de profit indique le profit maximal possible.
  • Le minimum d'une fonction de coût indique le coût minimal de production.

La calculatrice graphique est un allié précieux pour l'étude des fonctions, surtout en Seconde.

• Tracé de courbes : Entrez la fonction dans l'éditeur "Y=" et utilisez la fonction "GRAPH" pour visualiser la courbe. Ajustez la fenêtre ("WINDOW") pour voir les parties intéressantes de la courbe.
• Recherche d'extremums : La plupart des calculatrices ont une fonction "CALC" ou "G-SOLVE" qui permet de trouver les maximums et minimums locaux. Vous devrez souvent indiquer un intervalle de recherche.
• Résolution d'équations/inéquations :
  • Pour $f(x)=k$ : Tracez $Y_1 = f(x)$ et $Y_2 = k$. Utilisez la fonction "INTERSECT" pour trouver les points d'intersection.
  • Pour $f(x)=g(x)$ : Tracez $Y_1 = f(x)$ et $Y_2 = g(x)$. Utilisez "INTERSECT".
  • Pour les inéquations, tracez les courbes et observez les intervalles où une courbe est au-dessus ou en-dessous de l'autre.

Conseil important : La calculatrice est un outil, pas une fin en soi. Elle vous aide à visualiser et à vérifier, mais il est essentiel de comprendre les concepts théoriques et de savoir justifier vos réponses.