Utiliser l'information chiffree et statistique descriptive

Un pourcentage représente une proportion d'une quantité par rapport à un total de 100. C'est une fraction dont le dénominateur est 100.

Key Concepts:

• Définition d'un pourcentage: Un pourcentage, noté %, est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction de 100. Par exemple, 25% signifie 25 sur 100, soit $\frac{25}{100}$ ou 0,25.
• Calcul de la valeur partielle: Pour calculer $p\%$ d'une quantité $Q$, on multiplie la quantité $Q$ par $\frac{p}{100}$ (ou par $p$ sous forme décimale).
  • Formule: Valeur partielle = $Q \times \frac{p}{100}$
  • Exemple: Calculer 30% de 150 €.
    • Valeur partielle = $150 \times \frac{30}{100} = 150 \times 0,30 = 45$ €.
    • Donc, 30% de 150 € est 45 €.
• Calcul de la valeur totale: Si tu connais la valeur partielle $V_p$ et le pourcentage $p\%$ qu'elle représente, tu peux retrouver la quantité totale $Q$.
  • Formule: $Q = \frac{V_p}{\frac{p}{100}} = V_p \times \frac{100}{p}$
  • Exemple: 45 € représente 30% d'une somme. Quelle est la somme totale ?
    • $Q = \frac{45}{\frac{30}{100}} = 45 \times \frac{100}{30} = 45 \times \frac{10}{3} = 15 \times 10 = 150$ €.
    • La somme totale est 150 €.

Les pourcentages sont très utilisés pour exprimer des changements de prix, des soldes, des hausses de salaires, etc.

Key Concepts:

• Calcul d'une réduction: Une réduction diminue la valeur initiale.
  • Si une quantité $Q$ est réduite de $p\%$, la réduction est de $Q \times \frac{p}{100}$.
  • Le nouveau prix après réduction peut être calculé de deux manières :
    1. $Q - (Q \times \frac{p}{100})$
    2. $Q \times (1 - \frac{p}{100})$
  • Exemple: Un article coûte 80 €. Il est soldé à -20%.
    • Réduction = $80 \times \frac{20}{100} = 80 \times 0,20 = 16$ €.
    • Nouveau prix = $80 - 16 = 64$ €.
    • Ou directement : Nouveau prix = $80 \times (1 - \frac{20}{100}) = 80 \times (1 - 0,20) = 80 \times 0,80 = 64$ €.
• Calcul d'une augmentation: Une augmentation accroît la valeur initiale.
  • Si une quantité $Q$ est augmentée de $p\%$, l'augmentation est de $Q \times \frac{p}{100}$.
  • Le nouveau prix après augmentation peut être calculé de deux manières :
    1. $Q + (Q \times \frac{p}{100})$
    2. $Q \times (1 + \frac{p}{100})$
  • Exemple: Un loyer de 500 € augmente de 5%.
    • Augmentation = $500 \times \frac{5}{100} = 500 \times 0,05 = 25$ €.
    • Nouveau loyer = $500 + 25 = 525$ €.
    • Ou directement : Nouveau loyer = $500 \times (1 + \frac{5}{100}) = 500 \times (1 + 0,05) = 500 \times 1,05 = 525$ €.
• Prix après réduction/augmentation: Le terme $(1 \pm \frac{p}{100})$ est appelé le coefficient multiplicateur. Il est très utile pour simplifier les calculs d'évolutions.
  • Pour une réduction de $p\%$, le coefficient multiplicateur est $CM = (1 - \frac{p}{100})$.
  • Pour une augmentation de $p\%$, le coefficient multiplicateur est $CM = (1 + \frac{p}{100})$.
  • Nouvelle valeur = Ancienne valeur $\times$ CM.

Il est parfois nécessaire d'appliquer plusieurs pourcentages successivement, ou de calculer un pourcentage sur une valeur qui est déjà un pourcentage.

Key Concepts:

• Pourcentage d'un pourcentage: C'est simplement le calcul du pourcentage de la valeur obtenue.
  • Exemple: Dans une classe de 30 élèves, 60% sont des filles. Parmi ces filles, 25% portent des lunettes. Quel pourcentage de la classe totale représentent les filles portant des lunettes ?
    1. Nombre de filles : $30 \times 0,60 = 18$ filles.
    2. Nombre de filles avec lunettes : $18 \times 0,25 = 4,5$ filles. (On peut avoir un nombre décimal pour un calcul intermédiaire)
    3. Pourcentage par rapport à la classe totale : $\frac{4,5}{30} \times 100 = 15\%$.
    • On peut aussi calculer $25\%$ de $60\%$ : $0,25 \times 0,60 = 0,15 = 15\%$. Ce 15% s'applique alors à la quantité totale (les 30 élèves).
• Succession de pourcentages: Quand une quantité subit plusieurs évolutions successives (augmentations ou réductions). Il ne faut JAMAIS additionner ou soustraire les pourcentages directement.
  • Il faut utiliser les coefficients multiplicateurs (CM).
  • Si une quantité $Q$ subit une première évolution de $t_1\%$ (CM1) puis une seconde évolution de $t_2\%$ (CM2), la valeur finale est :
    • $Q_{finale} = Q \times CM_1 \times CM_2$
    • Le coefficient multiplicateur global est $CM_{global} = CM_1 \times CM_2$.
  • Exemple: Un ordinateur coûte 1000 €. Son prix augmente de 10%, puis, lors des soldes, il est réduit de 10%. Quel est son prix final ?
    • Augmentation de 10% : $CM_1 = 1 + \frac{10}{100} = 1,10$.
    • Réduction de 10% : $CM_2 = 1 - \frac{10}{100} = 0,90$.
    • Prix après augmentation : $1000 \times 1,10 = 1100$ €.
    • Prix final après réduction : $1100 \times 0,90 = 990$ €.
    • Ou directement : Prix final = $1000 \times 1,10 \times 0,90 = 1000 \times 0,99 = 990$ €.
    • Attention, une augmentation de 10% suivie d'une réduction de 10% ne ramène PAS au prix initial !
• Erreurs courantes:
  • Ne pas additionner ou soustraire les pourcentages directement lors d'évolutions successives.
  • Bien identifier la quantité de référence pour chaque pourcentage.

Le taux d'évolution (ou taux de variation) permet de mesurer le changement relatif entre une valeur initiale et une valeur finale.

Key Concepts:

• Définition du taux d'évolution: Le taux d'évolution exprime le changement (augmentation ou diminution) d'une grandeur entre deux périodes, en pourcentage de la valeur initiale.
• Formule de calcul:
  • Taux d'évolution $t = \frac{\text{Valeur finale} - \text{Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}} \times 100$
  • On peut aussi l'écrire $t = (CM - 1) \times 100$, où CM est le coefficient multiplicateur global.
• Interprétation du résultat:
  • Si $t > 0$, c'est une augmentation.
  • Si $t < 0$, c'est une diminution (une réduction).
  • Si $t = 0$, il n'y a pas eu de changement.
  • Exemple: Le nombre d'abonnés à une chaîne YouTube passe de 5000 à 6500 en un mois.
    • Taux d'évolution = $\frac{6500 - 5000}{5000} \times 100 = \frac{1500}{5000} \times 100 = 0,3 \times 100 = 30\%$.
    • Il y a eu une augmentation de 30%.
  • Exemple: Le prix d'une action passe de 20 € à 18 €.
    • Taux d'évolution = $\frac{18 - 20}{20} \times 100 = \frac{-2}{20} \times 100 = -0,1 \times 100 = -10\%$.
    • Il y a eu une diminution de 10%.

Un indice est un nombre sans unité qui exprime la valeur d'une grandeur par rapport à une valeur de référence, appelée base.

Key Concepts:

• Définition d'un indice: Un indice est un rapport entre une valeur observée et une valeur de référence (appelée valeur de base), multiplié par 100.
  • Il permet de mesurer l'évolution relative d'une donnée sans être influencé par l'unité de mesure ou la taille de la valeur initiale.
• Base 100: L'année ou la période de référence est souvent choisie comme "base 100". Cela signifie que la valeur de l'indice pour cette période est 100.
• Calcul d'un indice:
  • Formule: $\text{Indice} = \frac{\text{Valeur observée}}{\text{Valeur de référence}} \times 100$
  • Exemple: Le prix du blé en 2020 est de 150 €/tonne, en 2021 de 165 €/tonne et en 2022 de 180 €/tonne. On prend 2020 comme année de base (base 100).
    • Indice 2020 : $\frac{150}{150} \times 100 = 100$.
    • Indice 2021 : $\frac{165}{150} \times 100 = 1,1 \times 100 = 110$.
    • Indice 2022 : $\frac{180}{150} \times 100 = 1,2 \times 100 = 120$.
  • Interprétation: Un indice de 110 en 2021 signifie que le prix du blé a augmenté de 10% par rapport à 2020. Un indice de 120 en 2022 signifie une augmentation de 20% par rapport à 2020.
  • L'indice de 100 correspond toujours à la valeur de référence (ou valeur de départ).

Comme vu avec les pourcentages, les évolutions successives se gèrent grâce aux coefficients multiplicateurs.

Key Concepts:

• Coefficients multiplicateurs (CM): Rappel, pour une augmentation de $t\%$, $CM = 1 + \frac{t}{100}$. Pour une diminution de $t\%$, $CM = 1 - \frac{t}{100}$.
• Calcul de l'évolution globale: Pour une série d'évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
  • Si $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times ... \times CM_n$, alors la valeur finale = Valeur initiale $\times CM_{global}$.
  • Le taux d'évolution global est alors $(CM_{global} - 1) \times 100$.
  • Exemple: Un produit voit son prix augmenter de 5% la première année, puis de 3% la deuxième année et enfin diminuer de 2% la troisième année.
    • $CM_1 = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$
    • $CM_2 = 1 + \frac{3}{100} = 1,03$
    • $CM_3 = 1 - \frac{2}{100} = 0,98$
    • $CM_{global} = 1,05 \times 1,03 \times 0,98 \approx 1,05947$.
    • Le taux d'évolution global est $(1,05947 - 1) \times 100 = 5,947\%$.
    • Le prix du produit a globalement augmenté d'environ 5,95% sur les trois ans.
• Ordre des évolutions: L'ordre des évolutions successives n'a aucune importance sur le résultat final, car la multiplication est commutative.
  • Augmenter de 10% puis de 20% donne le même résultat que d'augmenter de 20% puis de 10%.
  • $1,10 \times 1,20 = 1,32$
  • $1,20 \times 1,10 = 1,32$

Le taux d'évolution réciproque permet de revenir à la valeur initiale après une évolution.

Key Concepts:

• Définition de l'évolution réciproque: C'est le taux d'évolution qu'il faudrait appliquer à la valeur finale pour retrouver la valeur initiale.
• Formule de calcul: Si une valeur initiale $V_i$ devient $V_f$ après une évolution de taux $t$, alors $V_f = V_i \times (1+t)$. Pour revenir à $V_i$, il faut appliquer un taux $t'$ à $V_f$ tel que $V_i = V_f \times (1+t')$.
  • On a donc $V_i = V_i \times (1+t) \times (1+t')$.
  • Cela implique que $(1+t) \times (1+t') = 1$, donc $(1+t') = \frac{1}{1+t}$.
  • Le coefficient multiplicateur réciproque est $CM_{réciproque} = \frac{1}{CM_{initial}}$.
  • Le taux d'évolution réciproque $t'$ est alors $(\frac{1}{1+t} - 1) \times 100$.
• Application pratique:
  • Exemple: Un prix augmente de 20%. De quel pourcentage doit-il baisser pour revenir à son prix initial ?
    • Taux initial $t = 20\% = 0,20$.
    • $CM_{initial} = 1 + 0,20 = 1,20$.
    • $CM_{réciproque} = \frac{1}{1,20} \approx 0,8333$.
    • Taux réciproque $t' = (0,8333 - 1) \times 100 = -0,1667 \times 100 = -16,67\%$.
    • Le prix doit baisser d'environ 16,67%.
  • Il est important de noter qu'une augmentation de $X\%$ n'est pas compensée par une diminution de $X\%$ pour revenir à la valeur initiale.

Pour bien comprendre les statistiques, il faut d'abord maîtriser le vocabulaire de base.

Key Concepts:

• Population: L'ensemble des individus ou des éléments sur lesquels porte l'étude statistique.
  • Exemple: Tous les élèves d'un lycée, toutes les voitures vendues en France en un an.
• Individu (ou unité statistique): Un élément de la population.
  • Exemple: Un élève du lycée, une voiture vendue.
• Échantillon: Une partie de la population, choisie pour être représentative de celle-ci, sur laquelle on réalise l'étude.
  • Exemple: 100 élèves choisis au hasard dans le lycée.
• Caractère (ou variable statistique): La propriété étudiée sur chaque individu de la population.
  • Caractère qualitatif: Ne peut pas être mesuré par un nombre, mais par une qualité ou une catégorie.
    • Exemple: Couleur des yeux (bleu, vert, marron), catégorie socio-professionnelle (ouvrier, cadre, employé).
  • Caractère quantitatif: Peut être mesuré par un nombre.
    • Caractère quantitatif discret: Les valeurs sont isolées (souvent des nombres entiers).
      • Exemple: Nombre d'enfants par famille (0, 1, 2, ...), nombre de livres lus par mois.
    • Caractère quantitatif continu: Les valeurs peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle.
      • Exemple: Taille (1,75 m, 1,82 m), poids (65,3 kg, 71,9 kg), durée (en secondes).
• Effectif: Le nombre de fois qu'une valeur (ou une modalité) du caractère apparaît dans la série statistique.
  • L'effectif total est le nombre total d'individus dans la population ou l'échantillon.
• Fréquence: La proportion d'une valeur (ou modalité) par rapport à l'effectif total. Elle peut être exprimée en valeur décimale ou en pourcentage.
  • Formule: $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$
  • Exemple: Dans une classe de 30 élèves, 12 ont choisi l'option Arts.
    • Effectif de l'option Arts = 12.
    • Effectif total = 30.
    • Fréquence de l'option Arts = $\frac{12}{30} = 0,4$. Soit 40%.

Les graphiques permettent de visualiser rapidement les données et de dégager des tendances.

Key Concepts:

• Diagramme en bâtons: Utilisé pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets. Chaque bâton représente l'effectif ou la fréquence d'une modalité/valeur.
  • L'axe des abscisses (horizontal) représente les modalités/valeurs.
  • L'axe des ordonnées (vertical) représente les effectifs ou les fréquences.
  • Les bâtons sont séparés.
  • Exemple: Nombre d'enfants par famille.

    Nb d'enfants	Effectif
    0	5
    1	10
    2	12
    3	3

• Histogramme: Utilisé pour les caractères quantitatifs continus regroupés en classes. Chaque rectangle représente l'effectif ou la fréquence d'une classe.
  • L'axe des abscisses représente les classes (intervalles).
  • L'axe des ordonnées représente les effectifs ou les fréquences.
  • Les rectangles sont juxtaposés (collés), car les classes se suivent. La largeur du rectangle correspond à l'amplitude de la classe.
  • Exemple: Taille des élèves réparties en classes (ex: [150;160[, [160;170[).
• Diagramme circulaire (ou "camembert"): Utilisé pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets, surtout quand il y a peu de catégories, pour montrer la répartition des parts d'un tout.
  • Chaque secteur représente une modalité, et son angle est proportionnel à l'effectif ou à la fréquence de cette modalité.
  • Formule de l'angle: Angle = $\frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ$
  • Exemple: Répartition des préférences de couleurs.

Pour les caractères quantitatifs continus (ou discrets avec un grand nombre de valeurs différentes), il est souvent nécessaire de regrouper les données.

Key Concepts:

• Intérêt du regroupement: Simplifier la présentation des données, rendre les graphiques (histogrammes) lisibles, faciliter les calculs des indicateurs statistiques.
• Définition des classes: Les valeurs du caractère sont regroupées en intervalles appelés classes. Les classes doivent être contiguës (se suivre) et généralement de même amplitude.
  • Notation: Une classe est souvent notée sous la forme $[a; b[$, ce qui signifie que les valeurs $x$ telles que $a \le x < b$ appartiennent à cette classe.
  • Centre de classe: Pour les calculs, on utilise souvent le centre de classe, qui est le milieu de l'intervalle : $\frac{a+b}{2}$.
• Calcul des effectifs et fréquences par classe: On compte le nombre d'individus dont la valeur du caractère tombe dans chaque classe pour obtenir l'effectif de la classe. Les fréquences sont ensuite calculées comme d'habitude.
  • Exemple: Poids de 40 élèves (en kg).
    • Données brutes : 55, 62, 71, 58, 60, 75, ...
    • Regroupement en classes :

      Classe de poids (kg)	Effectif	Centre de classe
      $[50; 60[$	10	55
      $[60; 70[$	18	65
      $[70; 80[$	12	75
      Total	40

La moyenne est l'indicateur de position le plus connu et le plus utilisé.

Key Concepts:

• Définition de la moyenne: La moyenne arithmétique d'une série statistique est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs.
  • Elle est souvent notée $\bar{x}$ (prononcé "x barre").
• Calcul sur données brutes:
  • Formule: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
    • Où $x_i$ sont les différentes valeurs et $n$ est l'effectif total.
  • Exemple: Notes obtenues par un élève : 12, 15, 9, 14.
    • $\bar{x} = \frac{12 + 15 + 9 + 14}{4} = \frac{50}{4} = 12,5$.
• Moyenne pondérée (calcul sur données regroupées par effectifs ou fréquences): Lorsque les valeurs sont répétées ou regroupées.
  • Formule avec effectifs: $\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_p x_p}{N} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i x_i}{N}$
    • Où $x_i$ sont les valeurs distinctes, $n_i$ leurs effectifs respectifs et $N$ l'effectif total.
  • Formule avec fréquences: $\bar{x} = f_1 x_1 + f_2 x_2 + ... + f_p x_p = \sum_{i=1}^{p} f_i x_i$
    • Où $f_i$ sont les fréquences (en décimal) des valeurs $x_i$.
  • Exemple (notes avec effectifs):

    Note ($x_i$)	Effectif ($n_i$)
    8	2
    10	5
    12	3
    Total	10

    • $\bar{x} = \frac{(8 \times 2) + (10 \times 5) + (12 \times 3)}{10} = \frac{16 + 50 + 36}{10} = \frac{102}{10} = 10,2$.
  • Calcul sur données regroupées en classes: On utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative de la classe pour le calcul de la moyenne. C'est une approximation.
    • Exemple (tableau des poids précédent):
      • $\bar{x} = \frac{(10 \times 55) + (18 \times 65) + (12 \times 75)}{40} = \frac{550 + 1170 + 900}{40} = \frac{2620}{40} = 65,5$ kg.

La médiane est une autre mesure de tendance centrale qui est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.

Key Concepts:

• Définition de la médiane ($Me$): La médiane est la valeur centrale d'une série statistique ordonnée. Elle partage la série en deux groupes de même effectif : au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins 50% des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.
• Méthode de calcul:
  1. Ordonner la série statistique par ordre croissant.
  2. Identifier l'effectif total ($N$).
  3. Cas 1: $N$ est impair.
     • La médiane est la valeur située à la position $\frac{N+1}{2}$.
     • Exemple: Série : 5, 8, 10, 12, 15 ($N=5$).
       • Position : $\frac{5+1}{2} = 3$.
       • La 3ème valeur est 10. Donc $Me = 10$.
  4. Cas 2: $N$ est pair.
     • La médiane est n'importe quelle valeur située entre les deux valeurs centrales (situées aux positions $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$). Par convention, on prend souvent la moyenne de ces deux valeurs.
     • Exemple: Série : 5, 8, 10, 12, 15, 17 ($N=6$).
       • Positions : $\frac{6}{2} = 3$ et $\frac{6}{2} + 1 = 4$.
       • Les 3ème et 4ème valeurs sont 10 et 12.
       • La médiane est n'importe quelle valeur entre 10 et 12. Par convention, $Me = \frac{10+12}{2} = 11$.
• Interprétation de la médiane: Si la médiane des salaires est 2000 €, cela signifie que la moitié des employés gagnent moins de 2000 € et l'autre moitié gagnent plus de 2000 €.

Le mode est l'indicateur de position le plus simple à trouver, mais pas toujours le plus pertinent.

Key Concepts:

• Définition du mode: Le mode (ou valeur modale) d'une série statistique est la ou les valeurs qui apparaissent le plus souvent, c'est-à-dire qui ont le plus grand effectif.
• Série unimodale/multimodale:
  • Une série est unimodale si elle a un seul mode.
  • Une série est multimodale si elle a plusieurs modes (plusieurs valeurs ont le même effectif maximal).
• Limites du mode:
  • Il peut ne pas être unique.
  • Il peut ne pas être représentatif de l'ensemble de la série (par exemple, si la valeur la plus fréquente est une valeur extrême).
  • Il est surtout utile pour les données qualitatives ou quantitatives discrètes. Pour les données continues regroupées en classes, on parle de classe modale.
• Exemple: Notes : 10, 12, 8, 10, 15, 10, 9.
  • La note 10 apparaît 3 fois, les autres une seule fois.
  • Le mode est 10.
• Exemple: Couleurs de voitures : Rouge, Bleu, Noir, Rouge, Blanc, Bleu, Noir, Rouge.
  • Rouge : 3 fois
  • Bleu : 2 fois
  • Noir : 2 fois
  • Blanc : 1 fois
  • Le mode est Rouge.

L'étendue est l'indicateur de dispersion le plus simple.

Key Concepts:

• Définition de l'étendue: L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
• Calcul de l'étendue:
  • Formule: Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale
• Interprétation de l'étendue: Une grande étendue indique une forte dispersion des données, tandis qu'une petite étendue indique des données resserrées.
  • Exemple: Série 1 : 12, 13, 14, 15, 16. Étendue = $16 - 12 = 4$.
  • Exemple: Série 2 : 5, 10, 15, 20, 25. Étendue = $25 - 5 = 20$.
    • La série 2 est plus dispersée que la série 1.
• Limites de l'étendue: Elle est très sensible aux valeurs extrêmes (aberrantes), car elle ne prend en compte que deux valeurs de la série.

Les quartiles divisent la série ordonnée en quatre parties égales. Ils donnent une meilleure idée de la dispersion que l'étendue, car ils sont moins sensibles aux valeurs extrêmes.

Key Concepts:

• Définition des quartiles: Après avoir ordonné la série statistique, les quartiles sont les valeurs qui la partagent en quatre quarts.
  • Premier quartile ($Q_1$): C'est la valeur telle qu'au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales, et au moins 75% lui sont supérieures ou égales.
  • Troisième quartile ($Q_3$): C'est la valeur telle qu'au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales, et au moins 25% lui sont supérieures ou égales.
  • Remarque: La médiane ($Q_2$) est le deuxième quartile.
• Méthode de calcul des quartiles (pour une série de $N$ valeurs ordonnées):
  1. Calcul de $Q_1$:
     • Calculer le produit $N \times \frac{1}{4}$.
     • Si le résultat est un entier $k$, alors $Q_1$ est la $k$-ième valeur de la série ordonnée.
     • Si le résultat n'est pas un entier, l'arrondir à l'entier supérieur. $Q_1$ est alors la valeur de la série ordonnée correspondant à cette position.
  2. Calcul de $Q_3$:
     • Calculer le produit $N \times \frac{3}{4}$.
     • Si le résultat est un entier $k$, alors $Q_3$ est la $k$-ième valeur de la série ordonnée.
     • Si le résultat n'est pas un entier, l'arrondir à l'entier supérieur. $Q_3$ est alors la valeur de la série ordonnée correspondant à cette position.
• Exemple: Série de 10 notes ordonnées : 7, 8, 9, 10, 10, 12, 13, 14, 15, 18 ($N=10$).
  • Pour $Q_1$: $10 \times \frac{1}{4} = 2,5$. On arrondit à 3.
    • $Q_1$ est la 3ème valeur : $Q_1 = 9$.
  • Pour $Q_3$: $10 \times \frac{3}{4} = 7,5$. On arrondit à 8.
    • $Q_3$ est la 8ème valeur : $Q_3 = 14$.
• Interprétation des quartiles:
  • 25% des notes sont inférieures ou égales à 9.
  • 75% des notes sont inférieures ou égales à 14 (ou 25% sont supérieures ou égales à 14).
  • Intervalle interquartile: C'est l'intervalle $[Q_1; Q_3]$. Il contient la moitié centrale des données. Son amplitude est $Q_3 - Q_1$.
    • Dans l'exemple : $[9; 14]$. L'amplitude interquartile est $14 - 9 = 5$.

Le diagramme en boîte est une représentation graphique qui résume les cinq indicateurs clés d'une série statistique, offrant une visualisation rapide de sa distribution et de sa dispersion.

Key Concepts:

• Les cinq nombres résumés: Pour construire un diagramme en boîte, on a besoin de ces cinq valeurs :
  1. La valeur minimale de la série.
  2. Le premier quartile ($Q_1$).
  3. La médiane ($Me$ ou $Q_2$).
  4. Le troisième quartile ($Q_3$).
  5. La valeur maximale de la série.
• Construction du diagramme en boîte:
  1. Dessiner un axe gradué horizontal (ou vertical) qui couvre l'étendue des données.
  2. Marquer les positions de la valeur minimale et maximale par des "moustaches" (traits).
  3. Construire une boîte rectangulaire entre $Q_1$ et $Q_3$.
  4. Tracer un trait vertical (ou horizontal) à l'intérieur de la boîte pour la médiane.
     • (Image pour illustration, à ne pas reproduire textuellement)
     • Les deux moustaches représentent les 25% de valeurs les plus basses et les 25% de valeurs les plus hautes.
     • La boîte représente les 50% de valeurs centrales.
• Analyse de la dispersion et de la symétrie:
  • Dispersion: La longueur de la boîte ($Q_3 - Q_1$) indique la dispersion des 50% de valeurs centrales. La longueur des moustaches indique la dispersion des valeurs extrêmes. Plus la boîte ou les moustaches sont longues, plus la dispersion est grande.
  • Symétrie:
    • Si la médiane est au centre de la boîte et que les moustaches ont des longueurs similaires, la distribution est plutôt symétrique.
    • Si la médiane est décalée vers $Q_1$ et que la moustache supérieure est plus longue, la distribution est étalée vers les grandes valeurs (asymétrie à droite).
    • Si la médiane est décalée vers $Q_3$ et que la moustache inférieure est plus longue, la distribution est étalée vers les petites valeurs (asymétrie à gauche).
  • Permet de comparer facilement la dispersion et la position de plusieurs séries statistiques sur un même graphique.