Les nombres entiers

Les nombres entiers naturels sont les nombres que nous utilisons pour compter des objets. Ce sont les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, et ainsi de suite, sans fin. Ils n'ont pas de virgule et ne sont pas négatifs.

• Exemples concrets :
  • Votre âge : 11 ans, 12 ans (ce sont des nombres entiers).
  • Le nombre de doigts sur une main : 5.
  • Le nombre d'élèves dans votre classe.
  • Le nombre de fruits dans un panier.

On les appelle aussi parfois simplement "nombres entiers" quand il n'y a pas de risque de confusion avec les nombres entiers relatifs (qui incluent les nombres négatifs, que vous verrez plus tard).

Notre système de numération est le système décimal. Cela signifie que nous utilisons 10 symboles, appelés chiffres, pour écrire tous les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

La position d'un chiffre dans un nombre est très importante, elle détermine sa valeur de position. Par exemple, dans le nombre 345 :

• Le chiffre 5 est celui des unités.
• Le chiffre 4 est celui des dizaines (il représente $4 \times 10 = 40$).
• Le chiffre 3 est celui des centaines (il représente $3 \times 100 = 300$).

Le nombre 345 peut donc être décomposé comme $300 + 40 + 5$.

Pour lire et écrire de grands nombres plus facilement, on les regroupe par tranches de trois chiffres à partir de la droite. Chaque tranche représente une classe :

• Classe des unités simples (unités, dizaines, centaines)
• Classe des milliers (unités de milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers)
• Classe des millions (unités de millions, dizaines de millions, centaines de millions)
• Etc.

Pour écrire un nombre en chiffres, on laisse un petit espace entre chaque classe.

• Exemple : Le nombre "cinq millions deux cent quarante-trois mille cent soixante-huit" s'écrit 5 243 168.

Pour le lire, on lit chaque tranche comme un nombre "normal", puis on ajoute le nom de la classe.

• Exemple : 123 456 789 se lit "cent vingt-trois millions quatre cent cinquante-six mille sept cent quatre-vingt-neuf".

Comparer deux nombres entiers, c'est dire lequel est le plus grand, le plus petit ou s'ils sont égaux. On utilise les symboles :

• $<$ : "est inférieur à" ou "est plus petit que"
• $>$ : "est supérieur à" ou "est plus grand que"
• $=$ : "est égal à"

Méthode pour comparer :

1. Compter le nombre de chiffres : Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand.
   • Exemple : 1 250 (4 chiffres) $>$ 987 (3 chiffres).
2. Si le nombre de chiffres est égal : On compare les chiffres un par un, en commençant par la gauche (le chiffre de plus fort poids).
   • Exemple : Comparons 5 432 et 5 289.
     • Les milliers sont égaux (5).
     • Les centaines : 4 est plus grand que 2. Donc, 5 432 > 5 289.

Ranger des nombres entiers, c'est les classer selon un certain ordre.

• Ordre croissant : Du plus petit au plus grand.
  • Exemple : 5, 12, 123, 1 000.
• Ordre décroissant : Du plus grand au plus petit.
  • Exemple : 1 000, 123, 12, 5.

Pour ranger une liste de nombres, on peut les comparer deux par deux ou bien identifier le plus petit (ou le plus grand) et le placer en premier, puis le suivant, etc.

Une droite graduée est une ligne sur laquelle on a choisi :

• Une origine (souvent le point 0).
• Une unité de longueur qui représente l'écart entre deux nombres entiers consécutifs (par exemple, chaque centimètre représente 1 unité).

Les nombres entiers sont placés à intervalles réguliers sur cette droite. Plus un nombre est à droite sur la droite graduée, plus il est grand.

• Exemple : Sur une droite graduée, 5 est à droite de 3, donc $5 > 3$.

<---|---|---|---|---|---|---|---|--->
    0   1   2   3   4   5   6   7

Pour repérer un nombre entier, on compte les unités à partir de l'origine.

L'addition est l'opération qui permet de calculer le total de plusieurs nombres. Les nombres que l'on additionne s'appellent les termes, et le résultat s'appelle la somme.

• Exemple : $15 + 7 = 22$. Ici, 15 et 7 sont les termes, 22 est la somme.

Technique opératoire en colonne :

1. Aligner les nombres par leurs unités.
2. Additionner colonne par colonne, en commençant par les unités.
3. Retenir et reporter les "dizaines" à la colonne suivante si la somme dépasse 9.

  1
  25
+ 18
----
  43

Propriétés de l'addition :

• Commutativité : L'ordre des termes ne change pas la somme. $a + b = b + a$.
  • Exemple : $5 + 3 = 8$ et $3 + 5 = 8$.
• Associativité : Pour additionner plusieurs nombres, on peut les regrouper comme on veut. $(a + b) + c = a + (b + c)$.
  • Exemple : $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ et $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$.

La soustraction est l'opération qui permet de calculer une différence ou un écart.

• Le premier nombre est le minuende.
• Le deuxième nombre est le soustraende.
• Le résultat est la différence.
• Exemple : $20 - 8 = 12$. Ici, 20 est le minuende, 8 le soustraende, 12 la différence.

Technique opératoire en colonne :

1. Aligner les nombres par leurs unités.
2. Soustraire colonne par colonne, en commençant par les unités.
3. Si un chiffre est plus petit que celui qu'on doit lui soustraire, on "casse" la dizaine (ou centaine, etc.) de la colonne de gauche (c'est la technique de l'emprunt).

  1
  4 13
- 2  7
-----
  1  6

Pour vérifier une soustraction, on peut additionner la différence avec le soustraende : $16 + 27 = 43$. Si on retrouve le minuende, la soustraction est correcte.

Pour résoudre un problème, il faut :

1. Lire attentivement l'énoncé.
2. Identifier les informations importantes et la question posée.
3. Choisir la bonne opération (addition ou soustraction) en fonction des mots-clés :
   • Addition : "ajouter", "en tout", "total", "somme", "augmenter de"...
   • Soustraction : "enlever", "retirer", "différence", "reste", "perdre", "diminuer de"...
4. Effectuer le calcul.
5. Rédiger une phrase réponse claire et complète, en utilisant les unités appropriées.

La multiplication est une opération qui permet de calculer le produit de deux ou plusieurs nombres. C'est une façon rapide d'effectuer une addition répétée. Les nombres que l'on multiplie s'appellent les facteurs, et le résultat est le produit.

• Exemple : $4 \times 5 = 20$. Ici, 4 et 5 sont les facteurs, 20 est le produit. Cela signifie $5 + 5 + 5 + 5 = 20$.

Il est essentiel de connaître ses tables de multiplication par cœur.

Technique opératoire en colonne : Pour multiplier deux nombres, on multiplie chaque chiffre du bas par chaque chiffre du haut, en décalant les résultats intermédiaires.

   123
 x  45
 -----
   615  (123 x 5)
+ 4920  (123 x 4, avec un zéro car c'est 4 dizaines)
------
  5535

Multiplier un nombre entier par 10, 100, 1000, etc., est très simple :

• Pour multiplier par 10, on ajoute un zéro à droite du nombre.
  • Exemple : $25 \times 10 = 250$.
• Pour multiplier par 100, on ajoute deux zéros à droite du nombre.
  • Exemple : $25 \times 100 = 2 500$.
• Pour multiplier par 1000, on ajoute trois zéros à droite du nombre.
  • Exemple : $25 \times 1000 = 25 000$.

Cela revient à décaler les chiffres vers la gauche, en ajoutant des zéros pour combler les places vides.

La multiplication est utilisée dans des situations :

• De groupement ou de répétition : Quand on a plusieurs groupes de même taille et qu'on cherche le total.
  • Exemple : "J'ai 3 boîtes de 12 crayons. Combien ai-je de crayons en tout ?" ($3 \times 12$).
• De proportionnalité : Quand une quantité augmente ou diminue d'un certain nombre de fois.

Comme pour l'addition et la soustraction, il faut bien lire l'énoncé, identifier l'opération et rédiger une phrase réponse. Les mots-clés peuvent être "fois", "chaque", "en tout", "produit".

La division euclidienne (ou division entière) est l'opération qui permet de partager une quantité en parts égales. Elle donne un quotient et un reste.

Soit un dividende $D$ (le nombre que l'on partage) et un diviseur $d$ (le nombre de parts ou la taille des parts). La division euclidienne s'écrit : $D = d \times q + r$ Où :

• $q$ est le quotient (le nombre de parts pour chacun ou le nombre de groupes).
• $r$ est le reste (ce qu'il reste après le partage).

La condition essentielle est que le reste doit toujours être plus petit que le diviseur ($r < d$).

• Exemple : $25 \div 4$.
  • $25 = 4 \times 6 + 1$.
  • Ici, $D=25$, $d=4$, $q=6$, $r=1$. Le reste $1$ est bien plus petit que le diviseur $4$.

On utilise la division posée pour effectuer une division euclidienne.

1. On prend le premier (ou les premiers) chiffres du dividende pour former un nombre plus grand que le diviseur.
2. On cherche combien de fois le diviseur "rentre" dans ce nombre (c'est le premier chiffre du quotient).
3. On multiplie le quotient trouvé par le diviseur et on soustrait ce produit au nombre initial.
4. On "abaisse" le chiffre suivant du dividende et on répète les étapes.

  25 | 4
- 24 |---
---- | 6
   1

Ici, 25 est le dividende, 4 le diviseur, 6 le quotient et 1 le reste.

Pour vérifier le résultat, on applique la relation $D = d \times q + r$. $4 \times 6 + 1 = 24 + 1 = 25$. La division est correcte.

La division euclidienne est utilisée pour résoudre des problèmes de :

• Partage équitable : On divise une quantité totale en un certain nombre de parts égales.
  • Exemple : "J'ai 30 bonbons à partager entre 7 amis. Combien de bonbons aura chaque ami et combien en restera-t-il ?" ($30 \div 7$).
    • $30 = 7 \times 4 + 2$. Chaque ami aura 4 bonbons, et il en restera 2.
• Groupement : On cherche combien de groupes d'une certaine taille on peut former à partir d'une quantité totale.
  • Exemple : "Avec 50 œufs, combien de boîtes de 6 œufs puis-je remplir ?" ($50 \div 6$).
    • $50 = 6 \times 8 + 2$. On peut remplir 8 boîtes, et il restera 2 œufs.

L'interprétation du reste est cruciale dans ces problèmes : parfois, il doit être ignoré, parfois il est la réponse à une autre question.

Un nombre $M$ est un multiple d'un nombre $N$ si $M$ est le résultat de la multiplication de $N$ par un autre nombre entier. En d'autres termes, si $M = N \times k$ (où $k$ est un nombre entier).

• Exemple : Les multiples de 3 sont $0, 3, 6, 9, 12, 15, \dots$ (car $3 \times 0 = 0$, $3 \times 1 = 3$, $3 \times 2 = 6$, etc.).

Chaque nombre entier a une infinité de multiples. Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers (car $N \times 0 = 0$). Tout nombre entier est un multiple de lui-même ($N \times 1 = N$).

Un nombre $D$ est un diviseur d'un nombre $N$ si la division de $N$ par $D$ donne un reste de 0. En d'autres termes, si $N$ peut être divisé par $D$ sans qu'il y ait de reste.

• Exemple : Les diviseurs de 12 sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
  • $12 \div 1 = 12$ (reste 0)
  • $12 \div 2 = 6$ (reste 0)
  • $12 \div 3 = 4$ (reste 0)
  • $12 \div 4 = 3$ (reste 0)
  • $12 \div 6 = 2$ (reste 0)
  • $12 \div 12 = 1$ (reste 0)

Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers. Tout nombre entier est un diviseur de lui-même.

Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre sans faire la division.

Ces critères sont très utiles pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes de partage.