Les nombres decimaux

Tout commence avec les fractions. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur (le nombre du bas) est 10, 100, 1 000, etc.

• $\frac{1}{10}$ se lit "un dixième".
• $\frac{1}{100}$ se lit "un centième".

Un nombre décimal n'est rien d'autre qu'une nouvelle écriture pour ces fractions. Au lieu d'écrire $\frac{135}{100}$, on écrit $1,35$. La virgule sert ici de séparateur : elle indique où se termine la partie entière et où commence la partie fractionnaire (décimale).

Le nombre décimal est une écriture simplifiée d'une fraction décimale.

Un nombre décimal est composé de deux parties séparées par une virgule :

1. La partie entière (à gauche de la virgule) : elle représente les unités entières.
2. La partie décimale (à droite de la virgule) : elle représente une portion plus petite que l'unité.

Chaque position à droite de la virgule a un nom précis :

• Le 1er chiffre est celui des dixièmes.
• Le 2ème chiffre est celui des centièmes.
• Le 3ème chiffre est celui des millièmes.

• $45$ est la partie entière.
• $6$ est le chiffre des dixièmes.
• $7$ est le chiffre des centièmes.
• $8$ est le chiffre des millièmes.

Il est important de savoir qu'on peut ajouter ou supprimer certains zéros sans changer la valeur du nombre. Ce sont les zéros non significatifs.

• À gauche de la partie entière : $0054,2 = 54,2$.
• À droite de la partie décimale : $7,500 = 7,5$.

Attention : un zéro placé entre deux chiffres n'est jamais inutile (ex: 10,05).

On peut décomposer un nombre de plusieurs façons :

• Décomposition additive : $12,45 = 12 + 0,4 + 0,05$
• Partie entière + fraction : $12,45 = 12 + \frac{45}{100}$
• Fraction unique : $12,45 = \frac{1245}{100}$

Pour repérer des nombres décimaux, on utilise une demi-droite graduée. On choisit une unité de longueur que l'on partage en 10 parts égales pour obtenir des dixièmes, ou en 100 parts pour des centièmes.

Chaque point d'une droite graduée est associé à un nombre appelé son abscisse.

• Si le point A est placé sur la 3ème petite graduation après le chiffre 2 (avec une unité coupée en 10), son abscisse est $2,3$.

Pour comparer deux nombres, on suit une méthode rigoureuse :

1. On compare d'abord les parties entières. Le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière. ($12,5 > 9,99$).
2. Si les parties entières sont égales, on compare les parties décimales chiffre par chiffre, en commençant par les dixièmes.

Astuce : Pour ne pas se tromper, on peut rajouter des zéros pour que les deux nombres aient le même nombre de chiffres après la virgule.

On écrit $5,60$ et $5,58$. Comme $60 > 58$, alors $5,6 > 5,58$.

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit.

L'intercalation consiste à trouver un nombre entre deux autres. Entre $4,2$ et $4,3$, on peut toujours trouver un nombre en allant plus loin dans la précision : $4,21$ ou $4,256$.

L'encadrement consiste à entourer un nombre par deux valeurs :

• À l'unité : $7 < 7,34 < 8$
• Au dixième : $7,3 < 7,34 < 7,4$

Parfois, on n'a pas besoin de la valeur exacte.

• La troncature consiste à "couper" le nombre après le rang demandé. La troncature à l'unité de $15,87$ est $15$.
• L'arrondi est la valeur la plus proche. Pour arrondir à l'unité : si le chiffre des dixièmes est $0, 1, 2, 3, 4$, on garde la partie entière. S'il est $5, 6, 7, 8, 9$, on ajoute 1 à la partie entière.

Pour additionner des nombres décimaux, la règle d'or est : il faut aligner les virgules verticalement.

Cela permet d'additionner les unités avec les unités, les dixièmes avec les dixièmes, etc. Si les nombres n'ont pas le même nombre de chiffres, on peut compléter avec des zéros.

On pose : $12,50$ $+ 03,47$

$15,97$

La méthode est identique à l'addition : on aligne les virgules. Attention : Pour la soustraction, il est souvent obligatoire d'ajouter des zéros pour pouvoir effectuer les retenues.

En calcul mental, on cherche souvent le complément à l'unité.

L'ordre de grandeur sert à vérifier la cohérence d'un résultat. Si vous calculez $19,8 + 31,1$, le résultat doit être proche de $20 + 30 = 50$. Si vous trouvez $509$, vous savez que vous avez fait une erreur de virgule.

Multiplier par 10, 100 ou 1 000 revient à rendre le nombre 10, 100 ou 1 000 fois plus grand.

• Chaque chiffre prend une valeur de position supérieure.

• Concrètement, on décale la virgule vers la droite d'autant de rangs qu'il y a de zéros.

• $3,45 \times 10 = 34,5$

• $0,07 \times 100 = 7$

À l'inverse, multiplier par $0,1$ ou $0,01$ revient à diviser par 10 ou 100 (décalage vers la gauche).

On effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule, puis on place la virgule dans le résultat.

$412 \times 3 = 1236$. Comme il y avait 2 chiffres après la virgule dans $4,12$, on en place 2 au résultat : $12,36$.

La règle d'or : le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat est égal à la somme des nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs.

1. On multiplie les entiers : $25 \times 3 = 75$.
2. On compte les chiffres après la virgule : un pour $2,5$ et deux pour $0,03$, soit 3 chiffres au total.
3. Le résultat est $0,075$.

Quand on divise deux entiers, il arrive que le reste ne soit pas nul. On peut alors continuer la division pour obtenir un résultat plus précis (le quotient décimal). On place une virgule au quotient et on ajoute des zéros au reste pour continuer.

• Quotient exact : la division s'arrête (ex: $3 \div 4 = 0,75$).
• Quotient approché : la division ne s'arrête jamais (ex: $10 \div 3 \approx 3,33$). On donne alors un arrondi.

Diviser par 10, 100 ou 1 000 revient à rendre le nombre plus petit. On décale la virgule vers la gauche d'autant de rangs qu'il y a de zéros.

• $14,5 \div 10 = 1,45$
• $2 \div 1000 = 0,002$

C'est très utile pour les conversions : $150$ cm = $1,50$ m (car on divise par 100).

Pour résoudre un problème, il faut identifier l'opération nécessaire :

• Addition : ajout, cumul, montant total.
• Soustraction : différence, monnaie rendue, reste, écart.
• Multiplication : prix total pour plusieurs objets identiques, surface.
• Division : partage équitable, prix à l'unité.

1. Multiplication : $3 \times 2,45 = 7,35$ €.
2. Soustraction : $10 - 7,35 = 2,65$ €. On me rend $2,65$ €.