Diviser avec reste deux nombres entiers

Diviser, c'est partager une quantité en parts égales. C'est aussi regrouper des éléments par paquets de même taille. Il y a des mots importants :

• Le dividende : c'est le nombre que l'on partage (le total).
• Le diviseur : c'est le nombre de parts ou la taille des groupes.
• Le quotient : c'est le résultat du partage (le nombre dans chaque part ou le nombre de groupes).
• Le reste : ce qu'il reste quand on ne peut plus partager.

Imagine que tu as 10 bonbons et que tu veux les partager entre 2 amis. Chaque ami aura 5 bonbons. Il ne reste rien. Ici : dividende = 10, diviseur = 2, quotient = 5, reste = 0. On dit $10 \div 2 = 5$.

Tu as 12 fleurs et tu veux faire des bouquets de 3 fleurs. Tu peux faire 4 bouquets ($12 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0$). Ici : dividende = 12, diviseur = 3, quotient = 4, reste = 0.

Parfois, on ne peut pas partager tout parfaitement. Il reste des choses. Ce qui reste, c'est le reste. Le reste doit toujours être plus petit que le diviseur. Si le reste est plus grand, c'est qu'on peut encore partager !

Exemple : Tu as 7 billes à partager entre 3 enfants. Chaque enfant a 2 billes ($3 \times 2 = 6$). Il reste 1 bille. Ici, le reste (1) est bien plus petit que le diviseur (3).

On peut dessiner les 7 billes. On fait 3 paquets de 2 billes. Il reste 1 bille toute seule. On écrit la division comme ceci : $7 = (3 \times 2) + 1$.

La division euclidienne est une façon d'écrire une division avec un reste. Sa formule magique est : Dividende = (Diviseur × Quotient) + Reste Avec cette formule, on peut toujours vérifier si notre calcul est juste. Exemple : Pour $7 \div 3$, on a $7 = (3 \times 2) + 1$. C'est juste !

Pour diviser de grands nombres, on utilise la division posée. On trace un "potence" (une sorte de L inversé) :

    _
   |

On place le dividende à gauche, et le diviseur à droite.

Prenons $87 \div 4$.

1. On regarde le premier chiffre du dividende (8). Combien de fois 4 dans 8 ? 2 fois.
2. On écrit 2 au quotient. On fait $2 \times 4 = 8$. On soustrait 8 à 8 : il reste 0.
3. On "abaisse" le chiffre suivant du dividende (7). On a maintenant 7.
4. Combien de fois 4 dans 7 ? 1 fois.
5. On écrit 1 au quotient (à côté du 2). On fait $1 \times 4 = 4$. On soustrait 4 à 7 : il reste 3. Le calcul est fini.

Dans l'exemple $87 \div 4$ :

• Le quotient est 21.
• Le reste est 3. On vérifie : $(4 \times 21) + 3 = 84 + 3 = 87$. C'est juste !

La méthode est la même. Par exemple, $125 \div 5$.

• On prend 12. Combien de fois 5 dans 12 ? 2 fois. $2 \times 5 = 10$. $12 - 10 = 2$.
• On abaisse le 5. On a 25. Combien de fois 5 dans 25 ? 5 fois. $5 \times 5 = 25$. $25 - 25 = 0$. Le quotient est 25 et le reste est 0.

Pour $345 \div 6$.

• On prend 34. Combien de fois 6 dans 34 ? 5 fois ($6 \times 5 = 30$). $34 - 30 = 4$.
• On abaisse le 5. On a 45. Combien de fois 6 dans 45 ? 7 fois ($6 \times 7 = 42$). $45 - 42 = 3$. Le quotient est 57 et le reste est 3.

Si 200 élèves partent en car et que chaque car peut contenir 45 élèves, combien de cars faut-il ? $200 \div 45$. $200 = (45 \times 4) + 20$. Il faut 4 cars pleins, et un 5ème car pour les 20 élèves restants. Il faut donc 5 cars.

Avant de calculer, on peut estimer. Pour $87 \div 4$, on sait que $4 \times 20 = 80$ et $4 \times 30 = 120$. Le quotient sera entre 20 et 30. Cela aide à voir si on ne s'est pas trompé.

Pour être sûr de son résultat, on utilise toujours la formule : Diviseur × Quotient + Reste = Dividende C'est la meilleure façon de vérifier une division. Si on trouve le dividende de départ, c'est que la division est juste !

Quand le reste est 0, on dit que la division est exacte. Cela veut dire que le dividende est un multiple du diviseur. Par exemple, $10 \div 2 = 5$ avec un reste de 0. 10 est un multiple de 2.