Les fractions

Une fraction est une manière d'exprimer une quantité qui n'est pas un nombre entier. Elle représente une ou plusieurs parties égales d'une unité ou d'un tout.

Une fraction s'écrit sous la forme $\frac{a}{b}$ où :

• Le nombre du haut, $a$, s'appelle le numérateur. Il indique combien de parts on prend.
• Le nombre du bas, $b$, s'appelle le dénominateur. Il indique en combien de parts égales l'unité a été divisée.
• La barre entre les deux s'appelle la barre de fraction.

• 3 est le numérateur (parts que tu as mangées).
• 8 est le dénominateur (nombre total de parts).

Il existe plusieurs façons de visualiser une fraction pour mieux la comprendre.

• Représentation graphique (disques, bandes) : On dessine une forme (un cercle, un rectangle) qui représente l'unité. On la divise en autant de parts égales que le dénominateur, puis on colore autant de parts que le numérateur.

*   Un cercle divisé en 4 parts égales, dont 1 est coloriée.
*   Une bande divisée en 4 parts égales, dont 1 est coloriée.

• Représentation sur une droite graduée : On trace une droite et on place les nombres entiers (0, 1, 2...). Pour représenter une fraction comme $\frac{2}{3}$, on divise l'unité (l'espace entre 0 et 1) en 3 parts égales, puis on compte 2 de ces parts à partir de 0.

  0 -----|-----|----- 1
        1/3   2/3
  

• Écriture fractionnaire : C'est la façon la plus courante d'écrire une fraction, comme $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{8}$.

Pour lire une fraction, on lit le numérateur, puis le dénominateur en ajoutant un suffixe particulier.

• Noms des fractions usuelles :

  • $\frac{1}{2}$ se lit "un demi"
  • $\frac{1}{3}$ se lit "un tiers"
  • $\frac{1}{4}$ se lit "un quart"

• Lecture des fractions (autres cas) : Pour les dénominateurs supérieurs à 4, on ajoute le suffixe "-ièmes".

  • $\frac{2}{5}$ se lit "deux cinquièmes"
  • $\frac{7}{10}$ se lit "sept dixièmes"
  • $\frac{1}{100}$ se lit "un centième"

• Écriture chiffrée des fractions : Il s'agit simplement d'écrire la fraction avec des chiffres, par exemple :

  • "Trois quarts" s'écrit $\frac{3}{4}$.
  • "Huit neuvièmes" s'écrit $\frac{8}{9}$.

Deux fractions sont dites égales si elles représentent la même quantité, la même proportion du tout.

• Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre : Si on multiplie le numérateur ET le dénominateur d'une fraction par le même nombre (non nul), la valeur de la fraction ne change pas. Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. On a multiplié par 2. $\frac{2}{4} = \frac{2 \times 3}{4 \times 3} = \frac{6}{12}$. On a multiplié par 3. Donc $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ et $\frac{6}{12}$ sont des fractions égales.

• Diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre : De même, si on divise le numérateur ET le dénominateur d'une fraction par le même nombre (non nul), la valeur de la fraction reste identique. Exemple : $\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$. On a divisé par 6.

Simplifier une fraction, c'est la transformer en une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. On fait cela en divisant le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.

• Reconnaître une fraction simplifiée : Une fraction est simplifiée (ou irréductible) quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1. Exemple : $\frac{3}{5}$ est irréductible car 3 et 5 n'ont que 1 comme diviseur commun.

• Méthodes de simplification :

  1. Divisions successives : Diviser par des nombres premiers (2, 3, 5...) jusqu'à ce que ce ne soit plus possible. Exemple : $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.
  2. Utiliser le plus grand diviseur commun (PGCD) : Si tu connais le PGCD du numérateur et du dénominateur, tu peux diviser les deux par ce nombre en une seule étape. Exemple : Pour $\frac{12}{18}$, le PGCD de 12 et 18 est 6. Donc $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.

• Fraction irréductible : La fraction $\frac{2}{3}$ est la forme irréductible de $\frac{12}{18}$.

Comparer des fractions, c'est déterminer laquelle est la plus grande, la plus petite ou si elles sont égales.

• Comparer des fractions de même dénominateur : Si les dénominateurs sont identiques, la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : $\frac{3}{5} < \frac{4}{5}$ car $3 < 4$.

• Comparer des fractions de même numérateur : Si les numérateurs sont identiques, la fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (car l'unité est divisée en moins de parts, donc les parts sont plus grandes). Exemple : $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ car $2 < 4$.

• Mettre au même dénominateur pour comparer : C'est la méthode la plus courante. Pour comparer des fractions avec des numérateurs et dénominateurs différents, on les transforme en fractions égales ayant le même dénominateur (un multiple commun de leurs dénominateurs d'origine). Exemple : Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$. Un dénominateur commun est 12 (car $3 \times 4 = 12$). $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ Maintenant, on compare $\frac{8}{12}$ et $\frac{9}{12}$. Puisque $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$. Donc, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Une fraction peut être plus petite, égale ou plus grande qu'un nombre entier, en particulier 1.

• Numérateur < Dénominateur : La fraction est inférieure à 1. Elle représente une partie de l'unité. Exemple : $\frac{2}{3}$ (tu as 2 parts sur 3, donc moins d'une unité complète).

• Numérateur = Dénominateur : La fraction est égale à 1. Elle représente l'unité entière. Exemple : $\frac{5}{5}$ (tu as 5 parts sur 5, soit une unité complète).

• Numérateur > Dénominateur : La fraction est supérieure à 1. Elle représente plusieurs unités complètes et une partie. Exemple : $\frac{7}{4}$ (tu as 7 parts sur 4, soit plus d'une unité complète).

Tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction. Pour cela, il suffit de lui donner 1 comme dénominateur.

• Tout entier peut s'écrire sous forme de fraction : Exemple : $2 = \frac{2}{1}$. On peut aussi l'écrire avec d'autres dénominateurs en multipliant numérateur et dénominateur : $2 = \frac{2 \times 2}{1 \times 2} = \frac{4}{2}$. $2 = \frac{2 \times 3}{1 \times 3} = \frac{6}{3}$.

• Utilisation dans les calculs : Cette propriété est très utile quand tu dois additionner ou soustraire des nombres entiers avec des fractions.

Encadrer une fraction, c'est trouver les deux nombres entiers qui se trouvent juste avant et juste après elle sur la droite graduée.

• Division euclidienne : Pour encadrer une fraction comme $\frac{7}{3}$, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. $7 \div 3 = 2$ avec un reste de $1$. Cela signifie que $\frac{7}{3}$ contient deux unités complètes ($2 \times 3 = 6$) et il reste $\frac{1}{3}$. Donc, $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$. L'entier juste avant est 2, et l'entier juste après est 3. On écrit : $2 < \frac{7}{3} < 3$.

• Partie entière d'une fraction : L'entier obtenu par la division (ici 2) est la partie entière de la fraction.

• Placement sur une droite graduée :

  0 --- 1 --- 2 ---|--- 3
                  7/3
  

C'est la règle la plus simple : si les fractions ont le même dénominateur, il suffit d'additionner (ou soustraire) les numérateurs et de garder le dénominateur commun.

• Addition des numérateurs : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ Exemple : $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$.

• Soustraction des numérateurs : $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$ Exemple : $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6}$.

• Le dénominateur reste inchangé : C'est crucial ! On n'additionne ni ne soustrait les dénominateurs.

Quand les dénominateurs sont différents, on ne peut pas additionner ou soustraire directement. Il faut d'abord les transformer pour qu'elles aient le même dénominateur.

• Mettre au même dénominateur : Pour additionner $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ :

  1. Trouver un multiple commun aux dénominateurs (2 et 3). Le plus petit multiple commun (PPCM) est souvent le plus pratique (ici, 6).
  2. Transformer chaque fraction en une fraction égale avec ce nouveau dénominateur. $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$
  3. Maintenant que les dénominateurs sont les mêmes, on peut additionner : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.

• Recherche d'un multiple commun : Tu peux toujours multiplier les deux dénominateurs entre eux pour trouver un multiple commun (ex: $2 \times 3 = 6$). Ce n'est pas toujours le plus petit, mais ça fonctionne toujours.

• Simplification du résultat : Pense toujours à simplifier la fraction finale si possible. Exemple : $\frac{3}{6}$ se simplifie en $\frac{1}{2}$.

Pour additionner ou soustraire un nombre entier et une fraction, il faut d'abord transformer l'entier en fraction.

• Transformer l'entier en fraction : Exemple : $2 + \frac{1}{3}$. On transforme $2$ en $\frac{2}{1}$. Maintenant, on a $\frac{2}{1} + \frac{1}{3}$. On met au même dénominateur (3) : $\frac{2 \times 3}{1 \times 3} = \frac{6}{3}$. Donc, $\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

• Appliquer les règles d'addition/soustraction : Une fois que l'entier est sous forme de fraction avec le bon dénominateur, on applique les règles vues précédemment.

Prendre une fraction d'une quantité, c'est calculer une partie de cette quantité. Cela revient à multiplier la quantité par la fraction.

• Calculer une partie d'un tout : Pour prendre $\frac{a}{b}$ d'une quantité $Q$, on calcule $\frac{a}{b} \times Q$. Cela peut s'écrire de trois manières équivalentes :

  1. $(Q \div b) \times a$ (diviser la quantité en $b$ parts, puis en prendre $a$)
  2. $(Q \times a) \div b$ (multiplier la quantité par $a$, puis diviser par $b$)
  3. $\frac{Q \times a}{b}$ Ces trois calculs donnent le même résultat.

• Exemple concret : Il y a 30 élèves dans une classe. Les $\frac{2}{5}$ des élèves sont des filles. Combien y a-t-il de filles ? Quantité $Q = 30$. Fraction = $\frac{2}{5}$. Nombre de filles = $\frac{2}{5} \times 30 = (30 \div 5) \times 2 = 6 \times 2 = 12$. Il y a 12 filles.

Les pourcentages sont une forme particulière de fraction, où le dénominateur est toujours 100.

• Définition d'un pourcentage : Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100. Le symbole "%" signifie "sur 100". Exemple : $25\%$ signifie $\frac{25}{100}$.

• Conversion pourcentage-fraction :

  • Pour transformer un pourcentage en fraction : Écris le nombre du pourcentage comme numérateur et 100 comme dénominateur, puis simplifie. Exemple : $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
  • Pour transformer une fraction en pourcentage : Mets la fraction sur un dénominateur de 100. Exemple : $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 75\%$.

• Calculer un pourcentage d'une quantité : C'est comme prendre une fraction d'une quantité. Exemple : Calculer $20\%$ de 80 €. $20\%$ de $80 = \frac{20}{100} \times 80 = \frac{1}{5} \times 80 = 80 \div 5 = 16$. $20\%$ de 80 € est égal à 16 €.

Les fractions sont très utiles pour résoudre des problèmes de la vie courante.

• Identifier les informations clés : Lis attentivement l'énoncé du problème. Quels sont les "tout" (unités) ? Quelles sont les fractions données ? Quelles sont les quantités ?

• Choisir l'opération appropriée :

  • S'agit-il d'ajouter ou de retirer des parts d'un même tout ? (Addition/Soustraction)
  • S'agit-il de prendre une partie d'une quantité ? (Multiplication)
  • S'agit-il de comparer des parts ? (Comparaison)

• Interpréter le résultat : Une fois le calcul fait, assure-toi que ta réponse a du sens par rapport au problème posé. N'oublie pas les unités si nécessaire.

J'ai un jardin de 120 m². J'en cultive $\frac{1}{3}$ avec des légumes et $\frac{1}{4}$ avec des fleurs. Le reste est de la pelouse.

1. Quelle fraction du jardin est cultivée ? $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. $\frac{7}{12}$ du jardin est cultivée.
2. Quelle surface est dédiée à la pelouse ? La fraction de pelouse est $1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$. La surface de pelouse est $\frac{5}{12} \times 120 = (120 \div 12) \times 5 = 10 \times 5 = 50$ m².

Félicitations ! Tu as maintenant une bonne base pour comprendre et utiliser les fractions. N'hésite pas à pratiquer avec des exercices pour bien maîtriser toutes ces notions.