Mathématiques et sciences sociales

Un modèle est une représentation simplifiée de la réalité. Il cherche à capturer les aspects les plus importants d'un phénomène pour en faciliter la compréhension, l'analyse ou la prédiction. En sciences sociales, un modèle peut être une équation, un ensemble de règles, un graphique ou même une simulation informatique.

• Rôle et utilité des modèles :

  • Comprendre : Ils aident à identifier les relations entre différentes variables. Par exemple, comment le taux de natalité influence-t-il la taille future d'une population ?
  • Expliquer : Ils peuvent offrir des explications sur les mécanismes sous-jacents à un phénomène.
  • Prévoir : Ils permettent d'anticiper l'évolution future d'un système. Un modèle météorologique peut prévoir la pluie, un modèle démographique la population de demain.
  • Simuler : Ils permettent de tester des scénarios "hypothétiques" sans avoir à les expérimenter dans la réalité.
  • Communiquer : Ils offrent un langage commun pour décrire des phénomènes complexes.

• Limites et critiques des modèles :

  • Simplification : Un modèle est par définition une simplification. Il ne peut pas capturer toutes les nuances de la réalité.
  • Hypothèses : Les modèles reposent sur des hypothèses qui peuvent être fausses ou ne pas toujours se vérifier. La qualité d'un modèle dépend grandement de la pertinence de ses hypothèses.
  • Données : Les modèles nécessitent des données. Si les données sont incomplètes, biaisées ou incorrectes, le modèle le sera aussi.
  • Validité : Un modèle peut être valide dans un certain contexte mais pas dans un autre.

Les modèles peuvent être classés selon leur objectif principal :

• Modèles descriptifs : Ils visent à décrire un phénomène tel qu'il est, à en synthétiser les caractéristiques principales.
  • Exemple : Un tableau de bord économique décrivant le PIB, le taux de chômage, l'inflation.
• Modèles explicatifs : Ils cherchent à expliquer pourquoi un phénomène se produit, en identifiant les causes et les relations de cause à effet.
  • Exemple : Un modèle qui explique la variation des prix d'un produit par l'offre et la demande.
• Modèles prédictifs : Ils ont pour but d'anticiper l'évolution future d'un phénomène.
  • Exemple : Un modèle qui prédit la progression d'une épidémie ou la croissance démographique d'une région.

Les modèles ont été utilisés en sciences sociales depuis longtemps :

• Modèle de Malthus (fin XVIIIe siècle) : Thomas Malthus a proposé un modèle simple de croissance de la population et des ressources. Il postulait que la population croissait de manière géométrique (exponentielle), tandis que les ressources (nourriture) croissaient de manière arithmétique (linéaire).
  • Conséquence : Ce modèle prédisait des famines et des catastrophes si la population n'était pas contrôlée. Bien que simplifié et souvent critiqué, il a eu une influence majeure sur la pensée économique et démographique.
• Modèles épidémiologiques simples : Des modèles comme le modèle SIR (Susceptibles, Infectés, Rétablis) sont utilisés pour comprendre et prévoir la propagation des maladies.
  • Exemple : Pendant la pandémie de COVID-19, ces modèles ont aidé les gouvernements à estimer le nombre de cas, les besoins hospitaliers et l'efficacité des mesures sanitaires.
• Modèles économiques de base :
  • Modèle de l'offre et de la demande : Décrit comment l'interaction entre l'offre (quantité d'un bien que les producteurs sont prêts à vendre) et la demande (quantité d'un bien que les consommateurs sont prêts à acheter) détermine le prix et la quantité d'équilibre sur un marché.
  • Modèles de croissance économique : Tentent d'expliquer les facteurs qui contribuent à la croissance du PIB d'un pays (investissement, capital humain, technologie).

• Suites arithmétiques : Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. On l'appelle la raison $r$.

  • $u_n = u_0 + n \times r$
  • Exemple : Si une population augmente de 100 personnes chaque année (croissance absolue constante). Population initiale $P_0 = 1000$.
    • Année 1 : $P_1 = 1000 + 100 = 1100$
    • Année 2 : $P_2 = 1100 + 100 = 1200$
    • Année $n$ : $P_n = P_0 + n \times 100$
  • C'est une croissance linéaire.

• Suites géométriques : Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. On l'appelle la raison $q$.

  • $u_n = u_0 \times q^n$
  • Exemple : Si une population augmente de 10% chaque année (croissance relative constante). Population initiale $P_0 = 1000$.
    • Année 1 : $P_1 = 1000 \times (1 + 0.10) = 1100$
    • Année 2 : $P_2 = 1100 \times (1 + 0.10) = 1210$
    • Année $n$ : $P_n = P_0 \times (1.10)^n$
  • C'est une croissance exponentielle. En sciences sociales, la croissance géométrique est plus fréquente pour les phénomènes de population ou économiques.

• Applications démographiques :

  • Les modèles de Malthus se basaient sur ces deux types de croissance.
  • La croissance d'une population mondiale ou nationale est souvent modélisée par une croissance géométrique sur des périodes courtes.

Les modèles exponentiels sont basés sur la fonction exponentielle, qui décrit une croissance ou une décroissance où le taux de changement est proportionnel à la quantité elle-même.

• Fonction exponentielle : $f(t) = C \times e^{kt}$ ou $f(t) = C \times a^t$.

  • $C$ est la valeur initiale (à $t=0$).
  • $k$ est le taux de croissance (si $k>0$) ou de décroissance (si $k<0$).
  • $a = e^k$ est le facteur multiplicatif par unité de temps.
  • Si $k>0$, la fonction croît de plus en plus vite. Si $k<0$, la fonction décroît de plus en plus lentement.
  • La dérivée $f'(t) = k \times C \times e^{kt} = k \times f(t)$ montre que le taux de variation est proportionnel à la quantité.

• Taux de croissance/décroissance : Si une quantité $P(t)$ évolue selon $P(t) = P_0 e^{kt}$, alors $k$ est le taux de croissance instantané. Pour une croissance annuelle de $r\%$, on utilise souvent $P(t) = P_0 (1+r)^t$.

• Temps de doublement/demi-vie :

  • Temps de doublement ($T_D$) : Le temps nécessaire pour qu'une quantité double.
    • Si $P(t) = P_0 \times 2^{t/T_D}$ ou $P_0 e^{kt}$, alors $2 P_0 = P_0 e^{k T_D} \implies 2 = e^{k T_D} \implies \ln(2) = k T_D \implies T_D = \frac{\ln(2)}{k}$.
    • Règle approximative : T_D \approx \frac{70}{\text{taux en %}}. Par exemple, un taux de 7% par an double en environ 10 ans.
  • Demi-vie ($T_{1/2}$) : Le temps nécessaire pour qu'une quantité soit réduite de moitié (pour la décroissance).
    • $T_{1/2} = \frac{\ln(0.5)}{k} = \frac{-\ln(2)}{k}$.

Les modèles exponentiels supposent une croissance illimitée, ce qui est rarement le cas dans la réalité. Les modèles logistiques introduisent une limite à la croissance.

• Croissance limitée : La croissance logistique est caractérisée par une courbe en forme de "S". Elle commence par une croissance quasi-exponentielle, puis ralentit à mesure que la population ou le phénomène approche une limite supérieure, appelée capacité d'accueil.

  • L'équation différentielle typique est de la forme : $\frac{dP}{dt} = k P (1 - \frac{P}{M})$
    • $P(t)$ est la population à l'instant $t$.
    • $k$ est le taux de croissance initial.
    • $M$ est la capacité d'accueil (la population maximale que l'environnement peut supporter).
  • La solution de cette équation est de la forme : $P(t) = \frac{M}{1 + A e^{-kt}}$ où $A = \frac{M - P_0}{P_0}$.

• Point d'inflexion : La courbe logistique a un point d'inflexion où la croissance est maximale. Ce point se situe à $P = M/2$. Avant ce point, la croissance s'accélère ; après ce point, elle ralentit.

• Capacité d'accueil : C'est la valeur asymptotique vers laquelle tend la population. C'est une limite supérieure due à des facteurs environnementaux, ressources limitées, concurrence, etc.

• Prévisions de population : Les modèles logistiques sont souvent utilisés pour prédire l'évolution des populations dans des environnements limités (ville, pays).
• Diffusion d'innovations : La diffusion de nouvelles technologies, de modes ou d'idées suit souvent une courbe logistique : peu d'adoptants au début, puis une accélération rapide, et enfin un ralentissement lorsque presque tout le monde a adopté l'innovation.
• Épuisement des ressources : La consommation de ressources non renouvelables peut être modélisée par une décroissance exponentielle ou logistique inversée, menant à l'épuisement.

Une chaîne de Markov est un processus stochastique (aléatoire) qui décrit une séquence d'événements où la probabilité qu'un événement se produise ne dépend que de l'état précédent. C'est la propriété de Markov : "le futur ne dépend que du présent, pas du passé".

• États et transitions :

  • Un système peut se trouver dans différents états (ex: "riche", "classe moyenne", "pauvre" pour la mobilité sociale ; "opinions A", "opinions B" pour le changement d'opinion).
  • Les transitions sont les passages d'un état à un autre. Elles sont caractérisées par des probabilités de transition.
  • Exemple : Probabilité qu'un enfant de classe moyenne devienne riche.

• Matrice de transition : C'est une matrice carrée $P$ où l'élément $P_{ij}$ représente la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en une étape.

  • Chaque élément $P_{ij}$ est entre 0 et 1.
  • La somme des éléments de chaque ligne doit être égale à 1 (car la somme des probabilités de passer d'un état donné à tous les autres états possibles est 1).

  Exemple de matrice de transition pour la mobilité sociale (Riche, Moyenne, Pauvre) : $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.15 & 0.05 \\ 0.1 & 0.7 & 0.2 \\ 0.05 & 0.25 & 0.7 \end{pmatrix}$

  • $P_{11}=0.8$ : 80% des riches restent riches.
  • $P_{23}=0.2$ : 20% des classes moyennes deviennent pauvres.

• État stable (ou répartition stationnaire) : Pour de nombreuses chaînes de Markov, après un grand nombre d'étapes, la répartition des populations entre les états tend vers une distribution constante, indépendante de l'état initial. C'est l'état stable ou distribution stationnaire $\pi$.

  • $\pi = \pi P$ (où $\pi$ est un vecteur ligne).
  • La somme des éléments du vecteur $\pi$ est égale à 1.

• Mobilité sociale : Étudier comment les individus ou les familles montent ou descendent dans l'échelle sociale d'une génération à l'autre.
• Changement d'opinion : Modéliser comment les opinions politiques ou les préférences de consommation évoluent au sein d'une population.
• Évolution de parts de marché : Analyser comment les clients passent d'une marque à une autre, et prédire les parts de marché à long terme pour chaque entreprise.

Le modèle SIR est un modèle compartimental simple utilisé en épidémiologie pour décrire la dynamique d'une maladie infectieuse. La population est divisée en trois compartiments :

• S (Susceptibles) : Individus non infectés mais qui peuvent le devenir.
• I (Infectés) : Individus actuellement infectés et capables de transmettre la maladie.
• R (Rétablis/Retirés) : Individus qui ont guéri et sont immunisés, ou qui sont décédés (et ne transmettent plus la maladie).

Le modèle est décrit par un système d'équations différentielles : $\frac{dS}{dt} = - \beta S I$ $\frac{dI}{dt} = \beta S I - \gamma I$ $\frac{dR}{dt} = \gamma I$

• $\beta$ est le taux de contact ou de transmission (problabilité de transmission par contact).

• $\gamma$ est le taux de guérison (ou de retrait).

• Seuil épidémique (R0) : Un concept clé du modèle SIR est le nombre de reproduction de base $R_0 = \frac{\beta}{\gamma}$.

  • Si $R_0 > 1$ : L'épidémie va se propager dans la population. Chaque personne infectée en contamine plus d'une autre en moyenne.
  • Si $R_0 < 1$ : L'épidémie va s'éteindre. Chaque personne infectée en contamine moins d'une autre en moyenne.
  • La réduction de $R_0$ en dessous de 1 est l'objectif des mesures de santé publique (vaccination, distanciation sociale).

• Sources de données :

  • Primaires : Collectées directement par le chercheur (sondages, entretiens, expérimentations).
  • Secondaires : Déjà existantes (données de l'INSEE, statistiques gouvernementales, bases de données d'organisations internationales).
  • La qualité de l'analyse dépend fortement de la qualité et de la pertinence des données collectées.

• Types de variables :

  • Qualitatives : Décrivent une qualité ou une catégorie.
    • Nominales (pas d'ordre) : couleur des yeux, catégorie socio-professionnelle.
    • Ordinales (ordre) : mention au bac (Passable, AB, B, TB), niveau de satisfaction (Très satisfait, Satisfait...).
  • Quantitatives : Décrivent une quantité mesurable.
    • Discrètes (valeurs isolées, souvent entières) : nombre d'enfants, nombre de voitures.
    • Continues (toutes les valeurs dans un intervalle) : taille, poids, revenu.

• Tableaux de fréquences : Organisent les données en montrant le nombre d'occurrences (fréquences absolues) et les proportions (fréquences relatives) de chaque valeur ou catégorie d'une variable.

Ces indicateurs résument les caractéristiques essentielles d'une série de données numériques.

• Indicateurs de position (ou de tendance centrale) :

  • Moyenne ($\bar{x}$) : Somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs. Sensible aux valeurs extrêmes.
    • Pour une série $x_1, x_2, ..., x_n$ : $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$.
  • Médiane (Me) : Valeur qui divise la série ordonnée en deux parties égales (50% des valeurs sont inférieures, 50% sont supérieures). Moins sensible aux valeurs extrêmes.
  • Mode : Valeur la plus fréquente dans la série. (Peut ne pas être unique).

• Indicateurs de dispersion :

  • Étendue : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Très sensible aux valeurs extrêmes.
  • Variance ($\sigma^2$) : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
    • $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
  • Écart-type ($\sigma$) : Racine carrée de la variance. Exprimé dans la même unité que les données, il est plus interprétable que la variance.
  • Quantiles et boîtes à moustaches :
    • Les quantiles (quartiles, déciles, percentiles) divisent la série ordonnée en parties égales. Le premier quartile ($Q_1$) correspond à la 25ème percentile, la médiane au 50ème, le troisième quartile ($Q_3$) à la 75ème.
    • L'écart interquartile ($Q_3 - Q_1$) mesure la dispersion des 50% des données centrales.
    • Les boîtes à moustaches (box plots) sont une représentation graphique qui montre la médiane, les quartiles et les valeurs extrêmes (souvent sans les valeurs aberrantes).

Les graphiques permettent de visualiser rapidement les caractéristiques des données.

• Histogrammes : Pour les variables quantitatives continues. Montrent la distribution des fréquences par intervalles de classes.
• Diagrammes en bâtons / Diagrammes circulaires (camemberts) : Pour les variables qualitatives ou quantitatives discrètes. Les bâtons représentent les fréquences ou effectifs de chaque catégorie ; les secteurs circulaires représentent les proportions.
• Nuages de points : Pour étudier la relation entre deux variables quantitatives. Chaque point représente une observation avec ses coordonnées $(x, y)$.

• Coefficient de corrélation (de Pearson, $r$) : Mesure la force et la direction d'une relation linéaire entre deux variables quantitatives.

  • $r$ est compris entre -1 et 1.
  • $r=1$ : corrélation linéaire positive parfaite.
  • $r=-1$ : corrélation linéaire négative parfaite.
  • $r=0$ : absence de corrélation linéaire.
  • Attention : corrélation n'implique pas causalité !

• Droite de régression (linéaire simple) : Si un nuage de points suggère une relation linéaire, on peut chercher la droite qui "ajuste" le mieux les points.

  • L'équation est de la forme $\hat{y} = ax + b$, où $\hat{y}$ est la valeur prédite de $y$.
  • Les coefficients $a$ et $b$ sont calculés par la méthode des moindres carrés, qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points observés et la droite.
  • $a$ est la pente (pente de la droite) : variation de $\hat{y}$ pour une augmentation d'une unité de $x$.
  • $b$ est l'ordonnée à l'origine (valeur de $\hat{y}$ quand $x=0$).

• Prédiction et interprétation :

  • La droite de régression permet de prédire la valeur d'une variable ($y$) à partir de l'autre ($x$).
  • L'interprétation des coefficients $a$ et $b$ donne des informations sur la nature de la relation. Par exemple, si $y$ est le revenu et $x$ le niveau d'éducation, $a$ indiquerait l'augmentation moyenne de revenu pour chaque année d'éducation supplémentaire.

• Arbres de décision : Outil graphique pour représenter les différentes options possibles, leurs conséquences et les probabilités associées à chaque issue.

  • Ils sont composés de nœuds de décision (carrés) où l'on choisit une action, et de nœuds de hasard (cercles) où un événement incertain se produit.
  • À chaque feuille de l'arbre est associé un gain ou une perte.

• Espérance mathématique : C'est la moyenne pondérée des gains possibles par leurs probabilités. Pour un choix entre plusieurs options, un décideur rationnel choisira l'option avec l'espérance mathématique la plus élevée.

  • $E = \sum_{i=1}^{n} P_i \times G_i$, où $P_i$ est la probabilité de l'issue $i$ et $G_i$ est le gain de l'issue $i$.

• Critères de décision (en l'absence de probabilités ou en cas d'aversion au risque) :

  • Maximin (Wald) : Choisir l'option qui maximise le gain minimal possible. C'est un critère pessimiste, privilégiant la sécurité.
  • Maximax : Choisir l'option qui maximise le gain maximal possible. C'est un critère optimiste, privilégiant le potentiel de gain élevé.
  • Ces critères sont utilisés lorsque les probabilités des états de la nature ne sont pas connues ou que le décideur a une forte aversion/propension au risque.

La théorie des jeux étudie les interactions stratégiques entre plusieurs agents (joueurs) qui prennent des décisions. Chaque joueur cherche à maximiser son propre gain, en tenant compte des décisions des autres.

• Joueurs, stratégies, gains :

  • Joueurs : Les agents qui prennent des décisions.
  • Stratégies : Les actions possibles que chaque joueur peut choisir.
  • Gains (ou paiements) : Les résultats (utilité, profit, satisfaction) pour chaque joueur en fonction des stratégies choisies par tous les joueurs. Représentés souvent dans une matrice des gains.

• Jeux à somme nulle et non nulle :

  • Jeu à somme nulle : Le gain total de tous les joueurs est constant (souvent zéro). Ce que l'un gagne, l'autre le perd.
    • Exemple : Poker (l'argent gagné par l'un est perdu par les autres).
  • Jeu à somme non nulle : Le gain total peut varier. Il peut y avoir des situations où tous les joueurs gagnent ou tous perdent.
    • Exemple : Le Dilemme du Prisonnier.

• Équilibre de Nash : C'est une situation où aucun joueur n'a intérêt à changer unilatéralement sa stratégie, étant donné les stratégies choisies par les autres joueurs.

  • En d'autres termes, chaque joueur fait le "meilleur" choix possible compte tenu des choix des autres.
  • Un jeu peut avoir plusieurs équilibres de Nash, ou aucun.

• Dilemme du prisonnier : Deux suspects sont arrêtés et interrogés séparément. Ils ont le choix entre "avouer" ou "se taire".

  • Si un avoue et l'autre se tait, l'avoueur est libre, l'autre prend une lourde peine.
  • Si les deux avouent, ils prennent une peine modérée.
  • Si les deux se taisent, ils prennent une peine légère.
  • L'équilibre de Nash est que les deux avouent, même si la coopération ("se taire") aurait été un meilleur résultat pour les deux. Ce jeu illustre la difficulté de la coopération même quand elle est mutuellement bénéfique.

• Bataille des sexes : Un couple veut sortir mais a des préférences différentes (Madame préfère l'opéra, Monsieur le match de foot). Ils veulent absolument sortir ensemble.

  • L'équilibre de Nash est qu'ils aillent tous les deux à l'opéra, ou tous les deux au match. Il y a deux équilibres de Nash.

• Applications en économie et sociologie :

  • Oligopoles : Entreprises concurrentes sur un marché (décisions sur les prix, la production).
  • Négociations internationales : Accords climatiques, traités commerciaux.
  • Comportements sociaux : Coopération, sanction, formation des normes.

Ces modèles et outils mathématiques offrent aux sciences sociales des cadres rigoureux pour analyser le monde complexe qui nous entoure.