Suites et applications

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. Chaque nombre de cette liste est appelé un terme de la suite. On note généralement une suite $(u_n)_{n \in I}$, où $I$ est un sous-ensemble des entiers naturels (souvent $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$). Le terme $u_n$ est le terme de rang $n$.

Il existe plusieurs façons de définir (ou "générer") une suite :

1. Définition par formule explicite (ou terme général) : Chaque terme $u_n$ est directement calculable en fonction de son rang $n$. C'est comme une fonction $f$ où $u_n = f(n)$.

Pour trouver $u_0$, on remplace $n$ par 0 : $u_0 = 2(0) + 1 = 1$.
Pour trouver $u_1$, on remplace $n$ par 1 : $u_1 = 2(1) + 1 = 3$.
Pour trouver $u_5$, on remplace $n$ par 5 : $u_5 = 2(5) + 1 = 11$.
<mark>Ce mode de génération est très pratique car il permet de calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.</mark>

2. Définition par relation de récurrence : On donne le premier terme (ou les premiers termes) de la suite, puis une formule qui exprime un terme en fonction du ou des termes précédents.

Pour trouver $v_1$, on utilise $v_0$ : $v_1 = 3v_0 - 1 = 3(2) - 1 = 5$.
Pour trouver $v_2$, on utilise $v_1$ : $v_2 = 3v_1 - 1 = 3(5) - 1 = 14$.
<mark>Ce mode de génération est fréquent mais nécessite de calculer tous les termes précédents pour atteindre un terme lointain.</mark>

3. Représentation graphique : On peut visualiser les termes d'une suite de deux manières : * Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ : On place les points de coordonnées $(n, u_n)$. Cela permet de voir l'évolution de la suite. * Sur l'axe des abscisses (pour les suites définies par récurrence) : Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $y=f(x)$ et la droite $y=x$. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) à la courbe $y=f(x)$ pour trouver $f(u_0) = u_1$ sur l'axe des ordonnées. Puis on se déplace horizontalement jusqu'à la droite $y=x$ pour ramener $u_1$ sur l'axe des abscisses, et on répète le processus. C'est une méthode visuelle pour étudier le comportement de la suite.

Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si ses termes augmentent, diminuent ou restent constants.

• Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \ge u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} > u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \le u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} < u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est constante si pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n$.
• Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Pour étudier le sens de variation, la méthode la plus courante est d'étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :

• Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, alors la suite est strictement croissante.
• Si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$, alors la suite est strictement décroissante.
• Si $u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$, alors la suite est constante.

Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2 - 3(n+1)) - (n^2 - 3n)$ $= (n^2 + 2n + 1 - 3n - 3) - (n^2 - 3n)$ $= n^2 - n - 2 - n^2 + 3n$ $= 2n - 2$

• Si $2n - 2 > 0 \implies 2n > 2 \implies n > 1$. Pour $n \ge 2$, la suite est croissante.
• Si $2n - 2 < 0 \implies 2n < 2 \implies n < 1$. Pour $n = 0$, la suite est décroissante ($u_0 = 0$, $u_1 = -2$).
• Si $2n - 2 = 0 \implies n = 1$. Pour $n=1$, $u_1 = u_2$. Il est important de préciser l'intervalle de $n$ pour lequel la variation est observée.

Autre méthode (si les termes sont positifs) : Comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, la suite est strictement croissante.
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, la suite est strictement décroissante.
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$, la suite est constante.

Ces notions décrivent si les termes d'une suite restent dans un certain intervalle. On les interprète souvent graphiquement.

• Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $n$, $u_n \le M$. $M$ est appelé un majorant de la suite.

Graphiquement, tous les points $(n, u_n)$ sont en dessous ou sur la droite horizontale $y=M$.

• Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un nombre réel $m$ tel que pour tout $n$, $u_n \ge m$. $m$ est appelé un minorant de la suite.

Graphiquement, tous les points $(n, u_n)$ sont au-dessus ou sur la droite horizontale $y=m$.

• Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. C'est-à-dire, s'il existe deux nombres réels $m$ et $M$ tels que pour tout $n$, $m \le u_n \le M$.

<mark>Une suite bornée est contenue entre deux droites horizontales sur une représentation graphique.</mark>

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $r$.

• Définition par récurrence : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou $n \ge n_0$), $u_{n+1} = u_n + r$. On a besoin du premier terme $u_0$ (ou $u_{n_0}$) et de la raison $r$.

• Terme général (formule explicite) : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + n \times r$. Si le premier terme est $u_p$, alors $u_n = u_p + (n-p) \times r$. Cette formule est très utile pour calculer directement un terme lointain sans passer par tous les termes intermédiaires.

$u_{10} = u_0 + 10 \times r = 5 + 10 \times 3 = 5 + 30 = 35$.

• Caractérisation : Trois termes $a, b, c$ sont consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $2b = a + c$. (Le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux autres).

• Sens de variation :

  • Si $r > 0$, la suite est strictement croissante.
  • Si $r < 0$, la suite est strictement décroissante.
  • Si $r = 0$, la suite est constante.

La somme des $N$ premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par une formule simple. Soit $S_N = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$. Le nombre de termes de cette somme est $N = n - p + 1$. La formule de la somme est : $S_N = N \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ $S_N = (n - p + 1) \times \frac{u_p + u_n}{2}$

Cas particulier : La somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Cette formule est un cas particulier d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.

$S = 1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$.

Il y a 15 termes. Le dernier terme est $u_{14} = u_0 + 14r = 2 + 14 \times 4 = 2 + 56 = 58$. $S_{15} = 15 \times \frac{u_0 + u_{14}}{2} = 15 \times \frac{2 + 58}{2} = 15 \times \frac{60}{2} = 15 \times 30 = 450$. Cette formule est un gain de temps considérable par rapport à l'addition terme par terme.

Les suites arithmétiques sont utilisées pour modéliser des phénomènes qui évoluent de manière linéaire ou par ajouts/retraits constants.

• Croissance régulière / Décroissance régulière :

  • Salaires : Un salaire qui augmente de 50 € chaque année. Si le salaire initial est $S_0 = 1500€$, alors $S_n = 1500 + 50n$.
  • Intérêts simples : Un capital $C_0$ placé à un taux d'intérêt simple $t$. Les intérêts ne sont calculés que sur le capital initial. Chaque année, les intérêts générés sont $C_0 \times t$. Le capital à la fin de l'année $n$ est $C_n = C_0 + n \times (C_0 \times t)$. C'est une suite arithmétique de raison $r = C_0 \times t$.
  • Production : Une entreprise qui augmente sa production de 100 unités par mois.
  • Usure : La hauteur d'une pile de papier qui diminue de 0,1 mm chaque jour.

• Exemples concrets :

  • Un randonneur monte de 150 mètres toutes les heures. S'il part d'une altitude de 200m, son altitude après $n$ heures est $A_n = 200 + 150n$.
  • Le prix d'un article qui baisse de 2 € par semaine. Les suites arithmétiques sont le modèle de base pour toute situation où une quantité change par une addition ou soustraction constante.

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $q$.

• Définition par récurrence : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou $n \ge n_0$), $u_{n+1} = u_n \times q$. On a besoin du premier terme $u_0$ (ou $u_{n_0}$) et de la raison $q$.

• Terme général (formule explicite) : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$. Si le premier terme est $u_p$, alors $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Cette formule est essentielle pour calculer directement un terme quelconque.

$u_5 = u_0 \times q^5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486$.

• Caractérisation : Trois termes $a, b, c$ sont consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si $b^2 = a \times c$. (Le terme du milieu est la moyenne géométrique des deux autres, si les termes sont positifs).

• Sens de variation : Le sens de variation d'une suite géométrique dépend du signe du premier terme $u_0$ et de la valeur de la raison $q$.

  • Si $u_0 > 0$ :
    • $q > 1$: la suite est strictement croissante.
    • $0 < q < 1$: la suite est strictement décroissante.
    • $q = 1$: la suite est constante.
    • $q < 0$: la suite n'est pas monotone (les termes alternent de signe).
  • Si $u_0 < 0$ :
    • $q > 1$: la suite est strictement décroissante.
    • $0 < q < 1$: la suite est strictement croissante.
    • $q = 1$: la suite est constante.
    • $q < 0$: la suite n'est pas monotone.
  • Si $u_0 = 0$ ou $q=0$ : la suite est constante à 0 (à partir de $u_1$ si $u_0 \ne 0$ et $q=0$).

La somme des $N$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par une formule. Soit $S_N = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$. Le nombre de termes de cette somme est $N = n - p + 1$.

• Si $q = 1$ : $S_N = N \times u_p$ (car tous les termes sont égaux à $u_p$).
• Si $q \ne 1$ : $S_N = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ $S_N = u_p \times \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$

Il y a 8 termes. Le premier terme est $u_0 = 3$. La raison est $q=2$. $S_8 = u_0 \times \frac{1 - q^8}{1 - q} = 3 \times \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 256}{-1} = 3 \times \frac{-255}{-1} = 3 \times 255 = 765$. ==Attention à ne pas oublier le cas $q=1$ où la formule est différente.==

Les suites géométriques sont utilisées pour modéliser des phénomènes qui évoluent de manière exponentielle ou par multiplications/divisions constantes (pourcentages).

• Croissance/décroissance proportionnelle :
  • Intérêts composés : Un capital $C_0$ placé à un taux d'intérêt annuel $t$. Chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital de l'année précédente (capital + intérêts accumulés). Le capital à la fin de l'année $n$ est $C_n = C_0 \times (1+t)^n$. C'est une suite géométrique de raison $q = 1+t$.

*   **Population** : Une population qui augmente (ou diminue) d'un certain pourcentage chaque année.
    Si une population $P_0$ augmente de $x\%$ chaque année, $P_n = P_0 \times (1 + x/100)^n$.
*   **Dépréciation** : La valeur d'un bien qui perd $y\%$ de sa valeur chaque année.
    La valeur $V_n = V_0 \times (1 - y/100)^n$.
*   **Décroissance radioactive** : La quantité d'une substance radioactive diminue d'un certain pourcentage par unité de temps.

• Exemples concrets :
  • L'évolution du nombre de cas d'une épidémie si chaque personne contamine en moyenne 1.2 personnes.
  • Le rebond d'une balle qui perd 10% de sa hauteur à chaque rebond. Les suites géométriques sont fondamentales pour comprendre les phénomènes de croissance ou décroissance rapides.

La limite d'une suite décrit le comportement de ses termes lorsque $n$ devient très grand (tend vers l'infini).

• Suite convergente (limite finie) : Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$ si, lorsque $n$ devient très grand, les termes $u_n$ se rapprochent de $L$ autant que l'on veut. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.

<mark>Une suite convergente est nécessairement bornée.</mark>

• Suite divergente (limite infinie ou pas de limite) : Une suite diverge si elle n'est pas convergente. Il y a deux cas :
  1. Limite infinie :
     • Limite $+\infty$ : Les termes $u_n$ deviennent arbitrairement grands et positifs. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

    *   **Limite $-\infty$** : Les termes $u_n$ deviennent arbitrairement grands en valeur absolue et négatifs. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

2.  **Pas de limite** : Les termes de la suite ne se rapprochent d'aucun nombre et ne tendent pas vers $+\infty$ ou $-\infty$.

Les limites respectent des règles similaires à celles des fonctions. Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ et leurs limites $L_u$ et $L_v$ (qui peuvent être finies ou infinies).

F.I. signifie Forme Indéterminée. Ce sont les cas où la limite ne peut pas être déterminée directement par ces règles et nécessite une étude plus approfondie (factorisation, conjugué, comparaison, etc.). Les formes indéterminées sont : $+\infty - \infty$, $0 \times (\pm \infty)$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$, $\frac{0}{0}$.

Il existe des théorèmes clés pour déterminer la convergence d'une suite, surtout lorsqu'elle n'est pas explicite.

1. Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Si trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ vérifient :
   • Pour $n$ suffisamment grand, $v_n \le u_n \le w_n$
   • $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$
   • $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$ Alors, $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. Ce théorème est très utile pour les suites qui sont "prises en sandwich" entre deux autres suites qui convergent vers la même limite.

Donc, $\frac{-1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}$.
Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

2. Théorème de convergence des suites monotones et bornées : * Toute suite croissante et majorée converge. * Toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème est fondamental car il garantit l'existence d'une limite sans la calculer explicitement.

On peut montrer par récurrence qu'elle est croissante et majorée par 2. Donc elle converge. Sa limite $L$ vérifiera $L = \sqrt{L+2}$, ce qui donne $L=2$.

3. Limite des suites géométriques : Soit une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 \ne 0$ et de raison $q$. * Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$. (Si $u_0 > 0$, $\lim u_n = +\infty$; si $u_0 < 0$, $\lim u_n = -\infty$). * Si $q = 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$. (La suite est constante, $\lim u_n = u_0$). * Si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. (Donc $\lim u_n = 0$). * Si $q \le -1$, alors la suite diverge (pas de limite). Les termes alternent entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue (si $q < -1$) ou entre $u_0$ et $-u_0$ (si $q = -1$). La raison est le facteur clé pour déterminer la limite d'une suite géométrique.

Les suites sont des outils puissants pour modéliser des situations financières.

• Intérêts simples : Le capital ne génère des intérêts que sur le montant initial. Le capital $C_n$ à l'année $n$ est une suite arithmétique : $C_n = C_0 + n \times (C_0 \times t)$, où $C_0$ est le capital initial et $t$ le taux d'intérêt annuel.

• Intérêts composés : Les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de chaque période et produisent eux-mêmes des intérêts pour la période suivante. Le capital $C_n$ à l'année $n$ est une suite géométrique : $C_n = C_0 \times (1+t)^n$.

On voit que les intérêts composés sont plus avantageux sur le long terme.

• Placement à versements réguliers (annuités) : On dépose une somme fixe $V$ chaque année (ou période) sur un compte rémunéré à intérêts composés. La valeur acquise (montant total à la fin) est la somme des valeurs futures de chaque versement. Si on verse $V$ chaque année pendant $N$ ans à un taux $t$, la valeur acquise $S_N$ est la somme d'une suite géométrique : $S_N = V(1+t)^{N-1} + V(1+t)^{N-2} + \dots + V(1+t)^1 + V$. En réordonnant et utilisant la formule de la somme d'une suite géométrique de raison $(1+t)$ : $S_N = V \times \frac{(1+t)^N - 1}{t}$. Ce calcul est essentiel pour la planification de l'épargne ou de la retraite.

L'amortissement d'un emprunt est le processus de remboursement d'une dette sur une période donnée. On utilise souvent des annuités constantes (montants remboursés identiques à chaque période).

• Soit $C$ le capital emprunté, $t$ le taux d'intérêt par période, $N$ le nombre de périodes, et $A$ l'annuité constante. L'annuité $A$ est composée d'une part d'intérêts et d'une part de capital remboursé (amortissement). Le capital restant dû à la fin de chaque période suit une suite récurrente complexe. Chaque annuité $A$ remboursée sert d'abord à payer les intérêts sur le capital restant dû, le reste diminue le capital. Si $C_k$ est le capital restant dû après le $k$-ième versement, alors : $C_k = C_{k-1} - (\text{amortissement du k-ème versement})$. L'amortissement du k-ème versement est $A - (C_{k-1} \times t)$. Donc $C_k = C_{k-1} - (A - C_{k-1} \times t) = C_{k-1}(1+t) - A$. C'est une suite arithmético-géométrique.

• Le tableau d'amortissement détaille pour chaque période :

  • Le capital restant dû en début de période.
  • Les intérêts de la période.
  • La part de capital amortie.
  • L'annuité versée.
  • Le capital restant dû en fin de période. ==La formule pour calculer l'annuité constante $A$ est $A = C \times \frac{t}{1 - (1+t)^{-N}}$.==

Les suites permettent aussi de modéliser des évolutions démographiques ou économiques.

• Croissance démographique : Si une population a un taux de natalité et de mortalité constants, son évolution peut être modélisée par une suite géométrique. $P_{n+1} = P_n \times (1+k)$, où $k$ est le taux de croissance net. Si $k>0$, la population croît exponentiellement. Si $k<0$, elle décroît. L'étude de la limite permet de voir si la population tend vers 0 (extinction) ou vers l'infini (explosion démographique, souvent irréaliste à long terme sans autres facteurs limitants).

• Décroissance radioactive : La quantité de matière radioactive diminue de manière exponentielle. Une suite géométrique de raison $q = e^{-\lambda \Delta t}$ (où $\lambda$ est la constante de désintégration) peut modéliser cette décroissance discrète.

• Modèles de production avec amortissement/investissement : Une entreprise qui investit une partie de ses bénéfices chaque année, ou dont les machines se déprécient.

Ces suites peuvent avoir une limite finie, ce qui représente un état d'équilibre stable du capital de production.
<mark>L'interprétation des limites est cruciale pour prédire le comportement à long terme de ces modèles.</mark> Par exemple, dans le cas $K_{n+1} = 0.9 K_n + 100$, la limite $L$ est telle que $L = 0.9L + 100 \implies 0.1L = 100 \implies L = 1000$. Le capital de production tendra vers 1000.