Nombres complexes : approfondissement

Les nombres complexes sont un outil puissant pour résoudre des problèmes en mathématiques, notamment en algèbre et en géométrie. Ils peuvent être représentés sous différentes formes.

Forme algébrique : Un nombre complexe $z$ s'écrit sous la forme $z = a + ib$, où :

• $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
• $i$ est l'unité imaginaire telle que $i^2 = -1$.

Exemple : $z = 3 + 2i$. Ici, $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = 2$.

Forme trigonométrique : Tout nombre complexe $z \neq 0$ peut aussi être représenté par son module et son argument.

• Le module de $z$, noté $|z|$ ou $\rho$, est la distance du point $M(z)$ à l'origine $O$ dans le plan complexe. Il se calcule par $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• L'argument de $z$, noté $\arg(z)$ ou $\theta$, est l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ où $\vec{u}$ est l'axe des réels. Il est défini à $2\pi$ près. On a $a = |z|\cos(\theta)$ et $b = |z|\sin(\theta)$.

La forme trigonométrique est $z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$.

Passage d'une forme à l'autre :

• Algébrique vers trigonométrique :

  1. Calculer le module $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$.
  2. Trouver l'argument $\theta$ tel que $\cos(\theta) = \frac{a}{\rho}$ et $\sin(\theta) = \frac{b}{\rho}$. Exemple : $z = 1 + i$. $\rho = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$. $z = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$.

• Trigonométrique vers algébrique :

  1. Calculer les valeurs de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$.
  2. Distribuer le module : $z = \rho\cos(\theta) + i\rho\sin(\theta)$. Exemple : $z = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$. $z = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i$.

La forme exponentielle est une notation très compacte et pratique pour les nombres complexes, surtout pour les opérations. Elle est directement liée à la forme trigonométrique.

Notation $e^{i\theta}$ : Pour tout réel $\theta$, on définit $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Cette notation est inspirée des propriétés de l'exponentielle réelle, en particulier le fait que $(e^{ix})' = ie^{ix}$.

Formules d'Euler : À partir de la définition de $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta} = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = \cos(\theta) - i\sin(\theta)$, on peut déduire les formules d'Euler : $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ Ces formules sont fondamentales pour la linéarisation en trigonométrie et le calcul intégral.

Lien avec les formes trigonométrique et algébrique : Si $z = \rho(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ est la forme trigonométrique d'un nombre complexe, alors sa forme exponentielle est $z = \rho e^{i\theta}$.

• $\rho = |z|$ est le module.
• $\theta = \arg(z)$ est l'argument.

Exemple : $z = 1 + i$. On a vu que $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$. Donc $z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$. Exemple : $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$. $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.

La forme exponentielle est très utile car elle simplifie grandement les calculs impliquant des produits, quotients et puissances de nombres complexes. C'est la forme la plus efficace pour les calculs d'opérations.

Les règles de calcul avec les puissances de $e$ s'appliquent ici, ce qui rend les opérations très intuitives.

Soient $z_1 = \rho_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = \rho_2 e^{i\theta_2}$ deux nombres complexes non nuls.

Produit de nombres complexes : Le produit $z_1 z_2$ s'obtient en multipliant les modules et en additionnant les arguments. $z_1 z_2 = (\rho_1 e^{i\theta_1})(\rho_2 e^{i\theta_2}) = \rho_1 \rho_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ Géométriquement, cela correspond à une rotation et une homothétie. L'angle de la rotation est $\theta_1 + \theta_2$ et le rapport de l'homothétie est $\rho_1 \rho_2$.

Quotient de nombres complexes : Le quotient $\frac{z_1}{z_2}$ s'obtient en divisant les modules et en soustrayant les arguments. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1 e^{i\theta_1}}{\rho_2 e^{i\theta_2}} = \frac{\rho_1}{\rho_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ (avec $z_2 \neq 0$)

Puissances (Formule de Moivre) : Pour tout entier relatif $n$, la puissance $z^n$ s'obtient en élevant le module à la puissance $n$ et en multipliant l'argument par $n$. Si $z = \rho e^{i\theta}$, alors : $z^n = (\rho e^{i\theta})^n = \rho^n e^{in\theta}$ Dans le cas particulier où $\rho = 1$ (c'est-à-dire pour un nombre complexe de module 1), on retrouve la Formule de Moivre : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \implies (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ Cette formule est très utile pour calculer les puissances de nombres complexes ou pour exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$.

Interprétation géométrique :

• Multiplier par $e^{i\theta}$ correspond à une rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.
• Multiplier par $\rho$ correspond à une homothétie de centre $O$ et de rapport $\rho$.
• En combinant les deux, multiplier par $z = \rho e^{i\theta}$ est une similitude directe de centre $O$, de rapport $\rho$ et d'angle $\theta$. Ces interprétations sont cruciales pour la géométrie complexe.

Trouver les racines carrées d'un nombre complexe $Z$ signifie trouver $z$ tel que $z^2 = Z$. Il y a toujours deux solutions opposées si $Z \neq 0$.

Méthode algébrique : Soit $Z = A + iB$ et on cherche $z = x + iy$ tel que $(x + iy)^2 = A + iB$. $(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$. On égalise les parties réelles et imaginaires :

1. $x^2 - y^2 = A$
2. $2xy = B$ Une troisième équation utile est le module : $|z^2| = |Z|$, donc $(x^2 + y^2)^2 = A^2 + B^2$, ce qui implique $x^2 + y^2 = \sqrt{A^2 + B^2}$.
3. $x^2 + y^2 = \sqrt{A^2 + B^2}$

Avec ces trois équations, on peut résoudre le système pour trouver $x$ et $y$. En additionnant (1) et (3) : $2x^2 = A + \sqrt{A^2 + B^2} \implies x^2 = \frac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{2}$. En soustrayant (1) de (3) : $2y^2 = \sqrt{A^2 + B^2} - A \implies y^2 = \frac{\sqrt{A^2 + B^2} - A}{2}$. On obtient $x = \pm \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{2}}$ et $y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{A^2 + B^2} - A}{2}}$. Le signe de $xy$ est donné par $B$ (équation 2). Si $B > 0$, $x$ et $y$ ont le même signe. Si $B < 0$, $x$ et $y$ ont des signes opposés.

Exemple : Trouver les racines carrées de $Z = 3 + 4i$.

1. $x^2 - y^2 = 3$
2. $2xy = 4 \implies xy = 2$
3. $x^2 + y^2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ En additionnant (1) et (3) : $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. En soustrayant (1) de (3) : $2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. Puisque $xy = 2 > 0$, $x$ et $y$ doivent avoir le même signe. Les solutions sont $z_1 = 2 + i$ et $z_2 = -2 - i$.

Méthode trigonométrique/exponentielle : Soit $Z = \rho e^{i\theta}$ et $z = r e^{i\alpha}$. On cherche $z$ tel que $z^2 = Z$. $(r e^{i\alpha})^2 = \rho e^{i\theta}$ $r^2 e^{i2\alpha} = \rho e^{i\theta}$ Par identification des modules et des arguments :

• $r^2 = \rho \implies r = \sqrt{\rho}$ (car $r$ est un module, donc réel positif).
• $2\alpha = \theta + 2k\pi$ (car l'argument est défini à $2\pi$ près). $\alpha = \frac{\theta}{2} + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.

Pour $k=0$, on a $\alpha_0 = \frac{\theta}{2}$. Pour $k=1$, on a $\alpha_1 = \frac{\theta}{2} + \pi$. Pour $k=2$, on obtient $\alpha_0 + 2\pi$, ce qui donne la même solution que pour $k=0$. Il y a donc deux racines carrées distinctes : $z_0 = \sqrt{\rho} e^{i\frac{\theta}{2}}$ $z_1 = \sqrt{\rho} e^{i(\frac{\theta}{2} + \pi)} = \sqrt{\rho} e^{i\frac{\theta}{2}} e^{i\pi} = -\sqrt{\rho} e^{i\frac{\theta}{2}} = -z_0$. Les deux racines carrées sont toujours opposées.

Exemple : Racines carrées de $Z = 4e^{i\frac{\pi}{3}}$. Ici $\rho = 4$ et $\theta = \frac{\pi}{3}$. $r = \sqrt{4} = 2$. $\alpha_0 = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$. $\alpha_1 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Les racines sont $z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$ et $z_1 = 2e^{i\frac{7\pi}{6}}$. En forme algébrique : $z_0 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$. $z_1 = -z_0 = -\sqrt{3} - i$.

Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les solutions de l'équation $z^n = 1$. En forme exponentielle, $1 = 1 \cdot e^{i0}$. Soit $z = \rho e^{i\theta}$. Alors $z^n = \rho^n e^{in\theta}$. $\rho^n e^{in\theta} = 1 \cdot e^{i0}$. Donc $\rho^n = 1 \implies \rho = 1$ (car $\rho > 0$). Et $n\theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = \frac{2k\pi}{n}$, où $k \in \mathbb{Z}$.

Les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité sont obtenues pour $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$: $\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n-1$ Il y a toujours $n$ racines $n$-ièmes de l'unité distinctes.

Représentation géométrique : Les points images des racines $n$-ièmes de l'unité dans le plan complexe sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité (cercle de rayon 1 centré à l'origine). Le premier sommet est toujours le point d'affixe 1.

Exemple : Racines cubiques de l'unité ($n=3$). $\omega_0 = e^{i\frac{2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}} = e^{i0} = 1$. $\omega_1 = e^{i\frac{2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}} = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\omega_2 = e^{i\frac{2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}} = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ces trois points forment un triangle équilatéral.

Propriétés des racines de l'unité :

• Le produit de deux racines $n$-ièmes de l'unité est une racine $n$-ième de l'unité.
• L'inverse d'une racine $n$-ième de l'unité est une racine $n$-ième de l'unité.
• La somme des racines $n$-ièmes de l'unité est toujours nulle (sauf pour $n=1$, où la somme est 1). $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$. Ceci est une conséquence du fait que $\omega_k$ sont les racines du polynôme $P(z) = z^n - 1$. Si $n \ge 2$, le coefficient de $z^{n-1}$ est nul, et la somme des racines est égale à l'opposé de ce coefficient.

Pour trouver les racines $n$-ièmes d'un nombre complexe $Z$ non nul, on procède de manière similaire. Soit $Z = \rho e^{i\theta}$ la forme exponentielle de $Z$. On cherche $z = r e^{i\alpha}$ tel que $z^n = Z$. $(r e^{i\alpha})^n = \rho e^{i\theta}$ $r^n e^{in\alpha} = \rho e^{i\theta}$

Par identification :

• $r^n = \rho \implies r = \rho^{1/n} = \sqrt[n]{\rho}$ (la racine $n$-ième réelle positive).
• $n\alpha = \theta + 2k\pi \implies \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$, où $k \in \mathbb{Z}$.

Les $n$ racines $n$-ièmes distinctes de $Z$ sont obtenues pour $k = 0, 1, \dots, n-1$: $z_k = \sqrt[n]{\rho} e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}} \quad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n-1$ Il y a toujours $n$ solutions distinctes si $Z \neq 0$.

Représentation géométrique : Les images des $n$ racines $n$-ièmes de $Z$ forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $\sqrt[n]{\rho}$ centré à l'origine. La première racine $z_0 = \sqrt[n]{\rho} e^{i\frac{\theta}{n}}$ est souvent appelée la racine principale. Les autres racines sont obtenues en multipliant $z_0$ par les racines $n$-ièmes de l'unité : $z_k = z_0 \cdot \omega_k = z_0 \cdot e^{i\frac{2k\pi}{n}}$.

Exemple : Racines quatrièmes de $Z = 16i$. D'abord, mettons $Z$ sous forme exponentielle. $|Z| = 16$. $\arg(Z) = \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ (car $Z$ est sur l'axe imaginaire positif). Donc $Z = 16e^{i\frac{\pi}{2}}$. Ici $n=4$, $\rho = 16$, $\theta = \frac{\pi}{2}$. $r = \sqrt[4]{16} = 2$. Les arguments sont $\alpha_k = \frac{\pi/2 + 2k\pi}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$ pour $k = 0, 1, 2, 3$.

• $k=0: \alpha_0 = \frac{\pi}{8} \implies z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{8}}$
• $k=1: \alpha_1 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8} \implies z_1 = 2e^{i\frac{5\pi}{8}}$
• $k=2: \alpha_2 = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8} \implies z_2 = 2e^{i\frac{9\pi}{8}}$
• $k=3: \alpha_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2} = \frac{13\pi}{8} \implies z_3 = 2e^{i\frac{13\pi}{8}}$ Ces quatre points forment un carré dans le plan complexe.

Le plan complexe est un plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{u}, \vec{v})$, où l'axe des abscisses est l'axe réel et l'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.

Affixe d'un point : À tout point $M(x, y)$ du plan, on associe un unique nombre complexe $z = x + iy$, appelé affixe du point $M$. On note souvent $M(z)$. Inversement, à tout nombre complexe $z$, on associe un unique point $M$ du plan.

Affixe d'un vecteur : Soient $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points du plan complexe. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le nombre complexe $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A$. Si $\vec{w}$ est un vecteur de coordonnées $(x, y)$, son affixe est $z_{\vec{w}} = x + iy$. Les opérations sur les vecteurs (addition, multiplication par un réel) se traduisent par les mêmes opérations sur leurs affixes.

• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ a pour affixe $(z_B - z_A) + (z_D - z_C)$.
• $k\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $k(z_B - z_A)$.

Chaque transformation géométrique usuelle peut être représentée par une fonction complexe $z' = f(z)$, où $z$ est l'affixe du point initial et $z'$ est l'affixe du point transformé.

Translation : Une translation de vecteur $\vec{w}$ d'affixe $b$ transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{w}$. L'écriture complexe est : $z' - z = b \implies ==z' = z + b==$.

• $b$ est l'affixe du vecteur de translation.

Homothétie : Une homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ (réel non nul) transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}$. L'écriture complexe est : $z' - \omega = k(z - \omega) \implies ==z' - \omega = k(z - \omega)==$. Si le centre est l'origine $O(0)$, alors $z' = kz$.

Rotation : Une rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ (réel) transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que :

1. $\Omega M = \Omega M'$ (distance conservée).
2. $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) = \theta \pmod{2\pi}$ (angle orienté). L'écriture complexe est : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$. Si le centre est l'origine $O(0)$, alors $z' = e^{i\theta}z$. Multiplier par $e^{i\theta}$ est une rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.

Une similitude directe est une transformation qui conserve les angles orientés et multiplie les distances par un rapport constant. C'est une composition d'une homothétie et d'une rotation.

Définition et forme complexe : Une application $f$ du plan complexe dans lui-même est une similitude directe s'il existe des nombres complexes $a$ et $b$ ($a \neq 0$) tels que pour tout point $M(z)$ et son image $M'(z')$, on a : $z' = az + b$

• $|a|$ est le rapport de la similitude.
• $\arg(a)$ est l'angle de la similitude.
• Si $a=1$, c'est une translation.
• Si $a$ est réel ($a \neq 1$), c'est une homothétie.
• Si $|a|=1$, c'est une rotation.

Recherche du centre, rapport et angle :

• Le rapport $k = |a|$.
• L'angle $\theta = \arg(a)$.
• Le centre de la similitude, s'il existe et est unique, est le point fixe $C(z_C)$ tel que $z_C = az_C + b$. Si $a \neq 1$, alors $z_C(1 - a) = b \implies z_C = \frac{b}{1 - a}$. Si $a=1$, la similitude est une translation, et elle n'a pas de centre si $b \neq 0$. Si $b=0$, c'est l'identité, tout point est un point fixe.

Composition de similitudes : La composition de deux similitudes directes est une autre similitude directe. Soient $s_1: z' = a_1 z + b_1$ et $s_2: z'' = a_2 z' + b_2$. Alors $s_2 \circ s_1: z'' = a_2(a_1 z + b_1) + b_2 = (a_1 a_2)z + (a_2 b_1 + b_2)$. La nouvelle similitude a pour rapport $|a_1 a_2| = |a_1||a_2|$ et pour angle $\arg(a_1 a_2) = \arg(a_1) + \arg(a_2)$.

Condition d'alignement de trois points : Trois points distincts $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Cela se traduit par le fait que le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel. $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$. Cela signifie que l'argument de ce rapport est $0 \pmod{\pi}$. $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = 0 \pmod{\pi}$.

Condition d'orthogonalité de deux droites : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux. Cela se traduit par le fait que le rapport $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur. $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}^*$. Cela signifie que l'argument de ce rapport est $\frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$. $\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$.

Utilisation des arguments : L'argument d'un quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ représente l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$. $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \pmod{2\pi}$.

• Si $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0 \pmod{\pi}$, les points sont alignés.
• Si $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales, ce qui signifie que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Les nombres complexes permettent de caractériser des ensembles de points par des équations simples.

Ensembles de points définis par des modules :

• L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - z_A| = R$ est le cercle de centre $A(z_A)$ et de rayon $R$. $|z - z_A|$ représente la distance $AM$.
• L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - z_A| = |z - z_B|$ est la médiatrice du segment $[AB]$. $AM = BM$.

Ensembles de points définis par des arguments :

• L'ensemble des points $M(z)$ tels que $\arg(z - z_A) = \theta \pmod{2\pi}$ est une demi-droite d'origine $A$ (privée de $A$), formant un angle $\theta$ avec l'axe réel.
• L'ensemble des points $M(z)$ tels que $\arg\left(\frac{z - z_A}{z - z_B}\right) = \theta \pmod{2\pi}$ est un arc de cercle passant par $A$ et $B$. Si $\theta = 0 \pmod{\pi}$, les points $M, A, B$ sont alignés (droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$). Si $\theta = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$, l'ensemble est le cercle de diamètre $[AB]$ (privé de $A$ et $B$).

Les nombres complexes simplifient souvent les calculs et les démonstrations en géométrie.

Démonstrations de propriétés :

• Pour montrer qu'un triangle est équilatéral, on peut montrer que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ ou $e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
• Pour montrer qu'un quadrilatère est un carré, on peut utiliser les conditions d'orthogonalité et d'égalité des longueurs des côtés, ou les propriétés des rotations.

Calculs de distances et d'angles :

• La distance $AB$ est donnée par $|z_B - z_A|$.
• L'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$ est donné par $\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$.

Utilisation des transformations : Souvent, un problème géométrique peut être résolu en identifiant une transformation (translation, rotation, homothétie, similitude) qui relie les points ou figures. Exemple : Démontrer qu'un triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$. Cela revient à montrer que $z_C - z_A = i(z_B - z_A)$ ou $z_C - z_A = -i(z_B - z_A)$. Cela signifie que le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est obtenu en faisant tourner $\overrightarrow{AB}$ de $\pm \frac{\pi}{2}$. Ou de manière équivalente, $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = i$ ou $-i$.

Théorème fondamental de l'algèbre (Théorème de D'Alembert-Gauss) : Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe. Une conséquence importante est que tout polynôme de degré $n \ge 1$ à coefficients complexes admet exactement $n$ racines complexes, comptées avec leur multiplicité.

Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ : Si $P(z)$ est un polynôme de degré $n$ et que $z_1, z_2, \dots, z_n$ sont ses $n$ racines (pas nécessairement distinctes), alors $P(z)$ peut être factorisé sous la forme : $P(z) = a(z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)$ où $a$ est le coefficient dominant de $P(z)$. Dans $\mathbb{C}$, tout polynôme est entièrement factorisable en produit de facteurs du premier degré.

Racines complexes conjuguées : Si un polynôme $P(z)$ a des coefficients réels, et s'il admet une racine complexe $z_0 = a + ib$, alors son conjugué $\bar{z_0} = a - ib$ est aussi une racine de $P(z)$. Les racines non réelles d'un polynôme à coefficients réels viennent toujours par paires conjuguées.

Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : Si $P(z)$ est un polynôme à coefficients réels, sa factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ sera un produit de facteurs du premier degré (pour les racines réelles) et de facteurs du second degré irréductibles (pour les paires de racines complexes conjuguées). Si $z_0 = a+ib$ est une racine, alors $\bar{z_0} = a-ib$ l'est aussi. Le produit $(z - z_0)(z - \bar{z_0})$ donne : $(z - (a+ib))(z - (a-ib)) = (z - a - ib)(z - a + ib) = (z - a)^2 - (ib)^2 = (z - a)^2 + b^2 = z^2 - 2az + a^2 + b^2$. C'est un polynôme du second degré à coefficients réels, dont le discriminant est $\Delta = (-2a)^2 - 4(a^2+b^2) = 4a^2 - 4a^2 - 4b^2 = -4b^2 < 0$ (si $b \neq 0$), donc irréductible dans $\mathbb{R}$.

L'équation générale est $az^2 + bz + c = 0$, où $a, b, c$ sont des nombres complexes et $a \neq 0$. La méthode de résolution est la même que pour les équations à coefficients réels.

Calcul du discriminant complexe : Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$. Maintenant, $\Delta$ peut être un nombre complexe non réel.

Recherche des racines carrées complexes : Il faut calculer les deux racines carrées de $\Delta$. Soit $\delta$ une des racines carrées de $\Delta$ (on peut utiliser la méthode vue précédemment). Les deux racines carrées sont $\delta$ et $-\delta$.

Formule de résolution : Les solutions de l'équation $az^2 + bz + c = 0$ sont données par la formule : $z_{1,2} = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ où $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$.

Exemple : Résoudre $z^2 + (1 - 2i)z - 2i = 0$. $a=1, b=1-2i, c=-2i$. $\Delta = b^2 - 4ac = (1 - 2i)^2 - 4(1)(-2i)$ $\Delta = (1 - 4i + 4i^2) + 8i = (1 - 4i - 4) + 8i = -3 + 4i$. Cherchons les racines carrées de $\Delta = -3 + 4i$. On utilise la méthode algébrique : $(x+iy)^2 = -3+4i$. $x^2-y^2 = -3$ $2xy = 4 \implies xy = 2$ $x^2+y^2 = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$. $2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. $2y^2 = 8 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$. Comme $xy = 2 > 0$, $x$ et $y$ ont le même signe. Les racines carrées de $\Delta$ sont $\delta_1 = 1 + 2i$ et $\delta_2 = -1 - 2i$. On prend $\delta = 1 + 2i$.

Les solutions de l'équation sont : $z_1 = \frac{-(1 - 2i) + (1 + 2i)}{2(1)} = \frac{-1 + 2i + 1 + 2i}{2} = \frac{4i}{2} = 2i$. $z_2 = \frac{-(1 - 2i) - (1 + 2i)}{2(1)} = \frac{-1 + 2i - 1 - 2i}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Les solutions sont $z = 2i$ et $z = -1$.

Pour les équations polynomiales de degré $n > 2$, il n'existe pas de formule générale comme pour le second degré. On utilise souvent des stratégies spécifiques.

Racine évidente : Si on peut trouver une racine simple (souvent un entier, un petit nombre complexe $i, -i, 1, -1, 2, -2$, etc.) par inspection, cela permet de factoriser le polynôme. Si $z_0$ est une racine de $P(z)$, alors $(z - z_0)$ est un facteur de $P(z)$.

Division euclidienne de polynômes : Si $z_0$ est une racine, on peut effectuer la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - z_0)$. $P(z) = (z - z_0)Q(z)$, où $Q(z)$ est un polynôme de degré $n-1$. On peut alors chercher les racines de $Q(z)$, ce qui réduit le problème à un degré inférieur.

Exemple : Résoudre $z^3 - (3+i)z^2 + (2+3i)z - 2i = 0$. En testant des valeurs simples, on voit que $z=i$ est une racine : $i^3 - (3+i)i^2 + (2+3i)i - 2i = -i - (3+i)(-1) + 2i + 3i^2 - 2i$ $= -i + 3 + i + 2i - 3 - 2i = 0$. Donc $z=i$ est une racine. On peut diviser le polynôme par $(z-i)$. Par division euclidienne ou par la méthode des coefficients indéterminés : $z^3 - (3+i)z^2 + (2+3i)z - 2i = (z-i)(z^2 - 3z + 2)$. Il reste à résoudre $z^2 - 3z + 2 = 0$. C'est une équation du second degré à coefficients réels. $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$. Les racines sont $z = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$. $z_1 = \frac{3+1}{2} = 2$. $z_2 = \frac{3-1}{2} = 1$. Les solutions de l'équation cubique sont $i, 1, 2$.

Utilisation des racines n-ièmes : Certaines équations polynomiales peuvent être ramenées à la recherche de racines $n$-ièmes. Par exemple, $z^n = Z$ est une équation polynomiale de degré $n$. On peut aussi rencontrer des équations de la forme $z^n + a = 0$ ou des équations binômes $az^n + b = 0$, qui se réduisent à $z^n = -\frac{b}{a}$.

En résumé, les nombres complexes fournissent un cadre complet et élégant pour comprendre et résoudre de nombreux problèmes qui étaient inaccessibles avec les seuls nombres réels, particulièrement en algèbre et en géométrie.