Les equations

Une équation est une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs inconnues, souvent représentées par des lettres comme $x$, $y$, ou $t$. Le but est de trouver la valeur de cette inconnue qui rend l'égalité vraie.

Une équation est composée de deux parties, appelées membres, séparées par le signe égal (=) :

• Le membre gauche (tout ce qui est à gauche du signe =)
• Le membre droit (tout ce qui est à droite du signe =)

On peut imaginer une équation comme une balance en équilibre. Pour que la balance reste équilibrée, toute opération effectuée d'un côté doit l'être aussi de l'autre côté.

Ici, $x$ est l'inconnue. Le membre gauche est $2x + 5$ et le membre droit est $11$.

• Solution d'une équation : C'est la valeur (ou les valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Quand on remplace l'inconnue par cette valeur, le membre gauche est égal au membre droit.
• Résoudre une équation : C'est trouver toutes ses solutions.
• Vérification d'une solution : Pour vérifier si une valeur est solution, on la substitue à l'inconnue dans l'équation. Si l'égalité est respectée, c'est une solution.
  • Exemple : Pour l'équation $2x + 5 = 11$, si $x=3$, on a $2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$. Le membre gauche est égal au membre droit ($11=11$), donc $3$ est une solution.
• Ensemble des solutions : C'est l'ensemble de toutes les solutions de l'équation. On le note souvent avec des accolades, par exemple $\{3\}$.

Les équations sont des outils puissants pour résoudre des problèmes de la vie quotidienne. La démarche est la suivante :

1. Mise en équation d'un problème : C'est traduire un énoncé en langage mathématique, en choisissant une inconnue pour représenter ce que l'on cherche.
2. Traduction d'un énoncé : Identifier les informations données et ce qui est demandé.
3. Interprétation des résultats : Une fois l'équation résolue, il faut donner du sens à la solution dans le contexte du problème.

• On choisit l'inconnue : Soit $x$ le prix d'un stylo.
• Mise en équation : $3x + 2 = 8$
• Résolution : (voir section suivante)
• Interprétation : La solution de l'équation sera le prix du stylo.

Pour résoudre une équation, l'objectif est d'isoler l'inconnue (généralement $x$) d'un côté de l'égalité. On utilise les propriétés de l'égalité :

• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions.
  • Si $a=b$, alors $a+c = b+c$ et $a-c = b-c$.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre non nul sans changer ses solutions.
  • Si $a=b$, alors $a \times c = b \times c$ et $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (avec $c \neq 0$).

Ces opérations sont dites opérations inverses : l'addition est l'inverse de la soustraction, la multiplication est l'inverse de la division.

Type $x + a = b$ : Pour isoler $x$, on soustrait $a$ aux deux membres. $x + a = b$ $x + a - a = b - a$ $x = b - a$

$x + 7 - 7 = 12 - 7$ $x = 5$ Vérification : $5 + 7 = 12$. La solution est $5$.

Type $ax = b$ : Pour isoler $x$, on divise les deux membres par $a$ (attention, $a$ ne doit pas être nul). $ax = b$ $\frac{ax}{a} = \frac{b}{a}$ $x = \frac{b}{a}$

$\frac{3x}{3} = \frac{18}{3}$ $x = 6$ Vérification : $3 \times 6 = 18$. La solution est $6$.

Erreurs fréquentes : Oublier de faire la même opération des deux côtés de l'égalité.

C'est une combinaison des deux types précédents. L'ordre des opérations est crucial :

1. On se débarrasse d'abord du terme constant ($b$) en l'ajoutant ou le soustrayant aux deux membres.
2. Ensuite, on se débarrasse du coefficient de $x$ ($a$) en divisant les deux membres.

Méthode pas à pas : $ax + b = c$

1. Soustraire $b$ aux deux membres : $ax + b - b = c - b \implies ax = c - b$
2. Diviser par $a$ (si $a \neq 0$) : $\frac{ax}{a} = \frac{c-b}{a} \implies x = \frac{c-b}{a}$

1. Ajouter $3$ aux deux membres : $4x - 3 + 3 = 9 + 3 \implies 4x = 12$
2. Diviser par $4$ : $\frac{4x}{4} = \frac{12}{4} \implies x = 3$ Vérification : $4 \times 3 - 3 = 12 - 3 = 9$. La solution est $3$.

Avec parenthèses : Il faut d'abord développer les expressions pour supprimer les parenthèses, puis réduire l'équation.

$2x + 6 = 10$ (développement) $2x = 10 - 6$ $2x = 4$ $x = \frac{4}{2}$ $x = 2$

Avec fractions : Pour simplifier, il est souvent utile de mettre toutes les fractions au même dénominateur commun dans chaque membre, puis de supprimer les dénominateurs (car si $\frac{A}{C} = \frac{B}{C}$ et $C \neq 0$, alors $A=B$).

1. Mettre au même dénominateur (ici $6$) : $\frac{2x}{6} + \frac{6}{6} = \frac{5}{6}$
2. On peut maintenant supprimer les dénominateurs : $2x + 6 = 5$
3. Résoudre l'équation simplifiée : $2x = 5 - 6$ $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$

Lorsque l'inconnue ($x$) apparaît dans les deux membres de l'équation, l'objectif est de regrouper tous les termes en $x$ d'un côté de l'égalité (généralement à gauche) et tous les termes constants (les nombres sans $x$) de l'autre côté (généralement à droite).

Pour cela, on utilise les principes fondamentaux de résolution : on ajoute ou soustrait des termes des deux côtés de l'équation.

1. Déplacer les termes en $x$ : Soustraire $2x$ aux deux membres. $5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x$ $3x - 7 = 8$
2. Déplacer les termes constants : Ajouter $7$ aux deux membres. $3x - 7 + 7 = 8 + 7$ $3x = 15$
3. Simplifier pour trouver $x$ : $x = \frac{15}{3}$ $x = 5$

Voici les étapes séquentielles pour résoudre une équation plus complexe :

1. Développer les expressions pour supprimer les parenthèses.
2. Regrouper tous les termes contenant l'inconnue ($x$) dans un membre (par exemple, à gauche) et tous les termes constants dans l'autre membre (à droite). Pour cela, on utilise les additions/soustractions des deux côtés.
3. Réduire chaque membre de l'équation pour obtenir une forme $ax = b$.
4. Isoler l'inconnue en divisant par son coefficient $a$ (si $a \neq 0$).
5. Vérifier la solution en la substituant dans l'équation originale.

Cas particuliers :

• Si on arrive à une égalité vraie (ex: $0=0$), l'équation a une infinité de solutions. C'est vrai pour tout $x$.
• Si on arrive à une égalité fausse (ex: $0=5$), l'équation n'a aucune solution.

Ces équations combinent les difficultés vues précédemment.

Exemple avec parenthèses et l'inconnue des deux côtés : $3(x - 2) = 5x + 4$

1. Développer : $3x - 6 = 5x + 4$
2. Regrouper les $x$ à gauche : $3x - 5x - 6 = 4$ $-2x - 6 = 4$
3. Regrouper les constants à droite : $-2x = 4 + 6$ $-2x = 10$
4. Isoler $x$ : $x = \frac{10}{-2}$ $x = -5$ Vérification : $3(-5 - 2) = 3(-7) = -21$. Et $5(-5) + 4 = -25 + 4 = -21$. La solution est $-5$.

Exemple avec fractions et l'inconnue des deux côtés : $\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{4} - 1$

1. Mettre au même dénominateur (ici 4) : $\frac{2x}{4} + \frac{12}{4} = \frac{x}{4} - \frac{4}{4}$
2. Supprimer les dénominateurs : $2x + 12 = x - 4$
3. Regrouper les $x$ à gauche : $2x - x + 12 = -4$ $x + 12 = -4$
4. Regrouper les constants à droite : $x = -4 - 12$ $x = -16$ Vérification : $\frac{-16}{2} + 3 = -8 + 3 = -5$. Et $\frac{-16}{4} - 1 = -4 - 1 = -5$. La solution est $-16$.

Pour résoudre un problème à l'aide d'équations, suivez ces étapes structurées :

1. Lire et comprendre l'énoncé : Lisez attentivement le problème plusieurs fois. Soulignez les informations importantes et ce qui est demandé.
2. Choisir l'inconnue : Désignez par une lettre (souvent $x$) la quantité que vous cherchez à déterminer. Précisez clairement ce que représente $x$.
3. Mettre le problème en équation : Traduisez l'énoncé en une égalité mathématique en utilisant l'inconnue choisie et les données du problème.
4. Résoudre l'équation : Appliquez les techniques de résolution vues précédemment pour trouver la valeur de l'inconnue.

1. Vérifier la cohérence de la solution : Une fois l'équation résolue, vérifiez si la solution trouvée a du sens dans le contexte du problème. Un âge ne peut pas être négatif, une longueur ne peut pas être nulle, etc.
2. Répondre à la question posée : La solution de l'équation n'est pas toujours la réponse finale du problème. Relisez la question et formulez une phrase claire qui y répond.
3. Formuler la réponse clairement : N'oubliez pas les unités si nécessaire.

"Un père a 42 ans et son fils a 12 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de celui de son fils ?"

1. Choix de l'inconnue : Soit $x$ le nombre d'années cherché.
2. Mise en équation : Dans $x$ années, le père aura $42 + x$ ans. Dans $x$ années, le fils aura $12 + x$ ans. L'âge du père sera le double de celui du fils : $42 + x = 2 \times (12 + x)$
3. Résolution de l'équation : $42 + x = 24 + 2x$ $42 - 24 = 2x - x$ $18 = x$
4. Vérification et interprétation : Dans 18 ans : Le père aura $42 + 18 = 60$ ans. Le fils aura $12 + 18 = 30$ ans. $60 = 2 \times 30$. La solution est cohérente. Réponse : Dans 18 ans, l'âge du père sera le double de celui de son fils.

• Problèmes d'âge : Comme l'exemple ci-dessus.
• Problèmes de partage : Répartir une somme ou une quantité entre plusieurs personnes.
  • Ex: "Partager 100€ entre 3 personnes de sorte que la deuxième ait 10€ de plus que la première, et la troisième ait le double de la première."
• Problèmes de géométrie : Calculer des dimensions (longueur, largeur) à partir de périmètres, d'aires.
  • Ex: "Le périmètre d'un rectangle est de 30 cm. Sa longueur est le double de sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?"
• Problèmes de pourcentages : Calculer une valeur après une augmentation ou une réduction.
  • Ex: "Après une réduction de 15%, un article coûte 85€. Quel était son prix initial ?"

La propriété du produit nul est fondamentale pour résoudre certains types d'équations. Elle stipule que : Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.

Autrement dit, si $A \times B = 0$, alors cela signifie que $A = 0$ ou $B = 0$. Le "ou" est très important : il signifie que l'une ou l'autre condition (ou les deux) doit être vraie. Cela implique qu'il y aura généralement plusieurs solutions à ce type d'équation.

Selon la propriété du produit nul, on a deux possibilités :

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• ou $x + 5 = 0 \implies x = -5$ Les solutions de cette équation sont donc $3$ et $-5$. L'ensemble des solutions est $\{-5; 3\}$.

Pour résoudre une équation produit nul, la démarche est la suivante :

1. Factorisation de l'expression : L'équation doit être sous la forme d'un produit de facteurs égal à zéro. Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord factoriser l'expression. La forme générale recherchée est $(ax+b)(cx+d)=0$.
2. Résoudre chaque équation du premier degré : Une fois factorisée, on utilise la propriété du produit nul pour transformer l'équation en plusieurs équations du premier degré, que l'on sait résoudre.
3. L'ensemble des solutions sera l'union des solutions de chaque petite équation.

1. Factorisation : On remarque un facteur commun $x$. $x(x - 4) = 0$
2. Appliquer la propriété du produit nul :
   • $x = 0$
   • ou $x - 4 = 0 \implies x = 4$
3. Ensemble des solutions : Les solutions sont $0$ et $4$. Soit $\{0; 4\}$.

Les équations produits nuls sont souvent utilisées pour résoudre des équations du second degré (équations où l'inconnue est élevée au carré, comme $x^2$).

• Équations du second degré factorisables : Toutes les équations du second degré ne sont pas des produits nuls directement, mais certaines peuvent être factorisées pour le devenir.

  • Exemple : $x^2 - 9 = 0$ C'est une identité remarquable du type $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $(x - 3)(x + 3) = 0$ Donc $x - 3 = 0 \implies x = 3$ ou $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Solutions : $\{-3; 3\}$.

• Factorisation par facteur commun : C'est la méthode la plus courante pour obtenir un produit nul.

  • Exemple : $(2x+1)(x-3) - 5(x-3) = 0$ Le facteur commun est $(x-3)$. $(x-3)[(2x+1) - 5] = 0$ $(x-3)(2x - 4) = 0$ Donc $x - 3 = 0 \implies x = 3$ ou $2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Solutions : $\{2; 3\}$.

• Problèmes menant à des équations produits nuls : Certains problèmes de géométrie (calcul d'aires par exemple) ou d'autres contextes peuvent aboutir à ce type d'équation après mise en équation.