Vibraciones y movimiento armónico simple

Para describir este movimiento, necesitamos definir variables específicas que no aparecen en movimientos lineales uniformes:

• Elongación ($x$ o $y$): Es la distancia, en cualquier instante, entre la partícula y la posición de equilibrio. Su unidad en el S.I. es el metro (m).
• Amplitud ($A$): Es la elongación máxima. Representa la distancia máxima desde el centro de oscilación hasta un extremo.
• Periodo ($T$): Tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa (ida y vuelta). Se mide en segundos (s).
• Frecuencia ($f$ o $\nu$): Número de oscilaciones por unidad de tiempo. Es la inversa del periodo: $f = \frac{1}{T}$. Se mide en Hercios (Hz).
• Fase ($\omega t + \phi_0$): Representa el estado de vibración en un instante dado.
• Fase inicial ($\phi_0$): Determina el estado de vibración en el instante $t = 0$.

La posición de una partícula que describe un M.A.S. viene dada por una función sinusoidal. Podemos usar indistintamente el seno o el coseno:

$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$

Donde:

• $A$: Amplitud.
• $\omega$: Frecuencia angular o pulsación, medida en $rad/s$. Se relaciona con el periodo mediante ==$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$==.

Determinación de la fase inicial: La $\phi_0$ es crucial para saber dónde empieza el movimiento. Si en $t=0$ el objeto está en el centro y va hacia la derecha, $\phi_0 = 0$. Si está en el extremo positivo, $\phi_0 = \pi/2$ rad.

Para obtener la velocidad y la aceleración, derivamos la ecuación de la elongación respecto al tiempo:

1. Velocidad ($v$): Es la derivada de la posición. $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$ La velocidad es máxima en el punto de equilibrio ($v_{max} = A \cdot \omega$) y es nula en los extremos de la oscilación.

2. Aceleración ($a$): Es la derivada de la velocidad. $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$ Comparando con la ecuación de la elongación, vemos que ==$a = -\omega^2 \cdot x$==. Esto indica que la aceleración es proporcional a la elongación pero de sentido opuesto (siempre apunta hacia el centro).

En el caso de un muelle, esta fuerza sigue la Ley de Hooke: $\vec{F} = -k \cdot \vec{x}$ Donde $k$ es la constante elástica del muelle ($N/m$). El signo negativo indica que es una fuerza restauradora: si estiras el muelle a la derecha, la fuerza tira hacia la izquierda.

Aplicando la Segunda Ley de Newton ($F = m \cdot a$): $-k \cdot x = m \cdot a$

Si sustituimos la aceleración del M.A.S. ($a = -\omega^2 x$) en la ecuación anterior: $-k \cdot x = m \cdot (-\omega^2 x) \implies k = m \cdot \omega^2$

De aquí obtenemos la relación fundamental para la pulsación: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Como $\omega = \frac{2\pi}{T}$, podemos deducir que el periodo de un oscilador armónico es: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ Esto nos dice que el periodo depende de la inercia (masa) y de la rigidez del muelle, pero es independiente de la amplitud.

• Muelle horizontal: La posición de equilibrio coincide con la longitud natural del muelle.
• Muelle vertical: La gravedad estira el muelle una distancia $d$ hasta que el peso se equilibra con la fuerza elástica ($m \cdot g = k \cdot d$). Una vez alcanzado este nuevo punto de equilibrio, el sistema oscila exactamente igual que en horizontal, tomando este punto como el origen ($x=0$).

Depende de la velocidad de la masa: $E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$

• Es máxima en el centro ($x=0$).
• Es cero en los extremos ($x=A$).

Es el trabajo realizado contra la fuerza recuperadora para deformar el sistema: $E_p = \frac{1}{2} k x^2$

• Es máxima en los extremos.
• Es nula en la posición de equilibrio.

La energía mecánica total ($E_m$) es la suma de ambas: $E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) + \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2$ La energía mecánica es constante y proporcional al cuadrado de la amplitud. Durante el movimiento, la energía "fluye" de cinética a potencial, pero su suma siempre permanece igual a $\frac{1}{2} k A^2$.

Un péndulo simple consiste en una masa $m$ suspendida de un hilo de longitud $L$. Para ángulos de oscilación pequeños (menores de 15º), el movimiento es aproximadamente un M.A.S.

La fuerza restauradora es la componente tangencial del peso. La ecuación del periodo resulta: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ Es notable que el periodo no depende de la masa del objeto, solo de la longitud del hilo y de la gravedad local.

En el mundo real, los sistemas pierden energía debido al rozamiento.

• Oscilaciones amortiguadas: La amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo hasta detenerse. La energía mecánica se disipa en forma de calor.
• Oscilaciones forzadas: Se aplica una fuerza externa periódica para mantener el movimiento y compensar las pérdidas por rozamiento.
• Resonancia: Ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural del sistema. En este caso, la transferencia de energía es máxima y la amplitud puede crecer peligrosamente (como una copa que se rompe con una voz aguda o el colapso de puentes por el viento).