Números reales y aritmética mercantil

El conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es la unión de dos grandes grupos: los racionales ($\mathbb{Q}$) y los irracionales ($\mathbb{I}$).

1. Números Racionales ($\mathbb{Q}$): Son aquellos que pueden expresarse como una fracción $\frac{a}{b}$. Incluyen a los enteros ($\mathbb{Z}$) y a los decimales exactos o periódicos.
2. Números Irracionales ($\mathbb{I}$): Tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos clásicos son $\sqrt{2}$, $\pi$ o el número $e$.

Los números reales se representan en la recta real, donde a cada punto le corresponde un número único. Para manejar conjuntos de números, utilizamos:

• Intervalos: Pueden ser abiertos $(a, b)$, cerrados $[a, b]$ o semiabiertos.
• Valor absoluto: Se define como $|a|$, y representa la distancia de un número al origen (siempre es positivo).
• Distancia: La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ es $d(a, b) = |b - a|$.

El conjunto de los números reales es denso y completo, lo que significa que no hay "huecos" en la recta numérica.

En las ciencias sociales, a menudo trabajamos con datos aproximados. Es vital conocer la precisión de estos datos.

• Redondeo: Se ajusta la cifra a la más cercana (si la siguiente es $\ge 5$, se suma 1).
• Truncamiento: Se eliminan las cifras a partir de un orden determinado.

Para medir la calidad de una aproximación, usamos:

1. Error Absoluto ($E_a$): $|Valor_{real} - Valor_{aproximado}|$.
2. Error Relativo ($E_r$): $\frac{E_a}{|Valor_{real}|}$. Suele expresarse en porcentaje y es el que realmente indica la precisión de la medida.

Se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños mediante el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10: $a \cdot 10^n$.

• Orden de magnitud: Es la potencia de 10 más próxima al número. Permite comparar escalas de forma rápida.
• Operaciones: Para sumar o restar, debemos igualar los exponentes. Para multiplicar o dividir, se operan las mantisas y se suman o restan los exponentes respectivamente.

Un radical $\sqrt[n]{a}$ puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario: $a^{1/n}$.

Propiedades fundamentales:

• Producto/Cociente: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
• Racionalización: Proceso para eliminar raíces del denominador. Si tenemos $\frac{k}{\sqrt{a}}$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$.
• Suma de radicales: Solo es posible si son radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando).

El logaritmo de un número $y$ en base $a$ es el exponente $x$ al que hay que elevar la base para obtener dicho número: $\log_a y = x \iff a^x = y$

• Logaritmos decimales: Base 10 ($\log$).
• Logaritmos neperianos: Base $e \approx 2,71828$ ($\ln$).

Propiedades:

1. $\log(A \cdot B) = \log A + \log B$
2. $\log(A / B) = \log A - \log B$
3. $\log(A^n) = n \cdot \log A$
4. Cambio de base: $\log_a B = \frac{\log_c B}{\log_c a}$

Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita está en el exponente. Se resuelven igualando bases o aplicando logaritmos en ambos lados. Los logaritmos son herramientas potentes para despejar exponentes en fórmulas de interés compuesto.

Ejemplo de uso de escala logarítmica: La escala Richter para terremotos o el pH en química, donde cada unidad representa un incremento de factor 10.

Un porcentaje es una razón con denominador 100. Para agilizar cálculos, usamos el índice de variación (IV).

• Aumento del 15%: $IV = 1 + 0,15 = 1,15$
• Disminución del 20%: $IV = 1 - 0,20 = 0,80$

Porcentajes encadenados: Si un producto sube un 10% y luego baja un 10%, el índice total es $1,10 \cdot 0,90 = 0,99$. Esto supone una bajada real del 1% respecto al precio inicial.

Es la base de la aritmética mercantil.

1. Interés Simple: Los intereses no se acumulan al capital. $I = C_0 \cdot i \cdot t$.
2. Interés Compuesto: Los intereses se capitalizan (se suman al capital para generar nuevos intereses). $C_f = C_0 \cdot (1 + i)^t$ Donde $i$ es el rédito en tanto por uno y $t$ el tiempo.

Periodos de capitalización: Si el interés es anual pero se capitaliza mensualmente, la fórmula cambia a $C_f = C_0 \cdot (1 + \frac{i}{k})^{k \cdot t}$, donde $k$ es el número de periodos en un año (12 para meses).

TAE (Tasa Anual Equivalente): Es el indicador real del coste o rendimiento de un producto financiero, permitiendo comparar diferentes ofertas independientemente de sus periodos de capitalización.

• Inflación: Aumento generalizado de precios que reduce el poder adquisitivo. Se calcula como una variación porcentual del IPC.
• Impuestos: El IVA (impuesto indirecto) o el IRPF (impuesto directo progresivo).
• Descuentos comerciales: Rebajas aplicadas sobre el precio de venta al público.

Se producen cuando realizamos ingresos periódicos (mensuales, anuales) para acumular un capital futuro. Se basan en la suma de una progresión geométrica. El capital final $C$ tras $n$ periodos con una cuota $c$ es: $C = c \cdot \frac{(1+i)[(1+i)^n - 1]}{i}$ Las anualidades permiten planificar ahorros a largo plazo como los fondos de inversión.

Es el proceso inverso: recibimos un préstamo y lo devolvemos en cuotas periódicas. La cuota mensual ($m$) en un sistema de amortización francés (cuotas constantes) se calcula: $m = C \cdot \frac{i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$ Donde $C$ es el capital prestado e $i$ el interés del periodo.

1. Hipotecas: Préstamos a largo plazo para vivienda. Es vital distinguir entre el capital amortizado y los intereses pagados en cada cuota. Al principio, la mayor parte de la cuota son intereses.
2. Planes de Pensiones: Productos de ahorro a muy largo plazo con ventajas fiscales.
3. Comisiones: Costes adicionales que cobran los bancos por gestión o apertura, que afectan a la TAE final del producto.

Resumen práctico: Para dominar la aritmética mercantil, es crucial entender que el dinero cambia de valor con el tiempo debido al interés. Siempre debemos convertir el tipo de interés al mismo periodo que la frecuencia de pago (si el pago es mensual, el interés debe ser mensual).