Funciones exponenciales, logarítmicas y racionales

Una función de proporcionalidad inversa básica tiene la forma: $f(x) = \frac{k}{x}, \text{ con } k \neq 0$ El aspecto más crítico de estas funciones es su dominio. Como no es posible dividir por cero, el valor que anula el denominador debe ser excluido. Para $f(x) = \frac{k}{x}$, el dominio es $\mathbb{R} - \{0\}$.

El comportamiento de la función cerca de esos puntos prohibidos se denomina comportamiento asintótico: la curva se acerca infinitamente a una línea recta pero nunca llega a tocarla.

La gráfica de una función racional sencilla es una hipérbola. Sus elementos principales son:

1. Asíntota Vertical (AV): Se encuentra en los valores de $x$ que hacen que el denominador sea cero.
2. Asíntota Horizontal (AH): Indica el valor al que se aproxima la función cuando $x$ se hace muy grande (positivo o negativo). Para $f(x) = \frac{k}{x}$, la AH es $y = 0$.
3. Simetría: Las hipérbolas básicas son simétricas respecto al origen de coordenadas $(0,0)$, lo que significa que son funciones impares.

Traslaciones: Podemos desplazar la hipérbola básica mediante la forma $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$:

• $a$ provoca una traslación horizontal (cambia la AV a $x = a$).
• $b$ provoca una traslación vertical (cambia la AH a $y = b$).

En las Ciencias Sociales, estas funciones modelan la relación precio-demanda: si el precio de un producto sube, la cantidad demandada baja proporcionalmente. También son esenciales para el reparto de costes fijos: $Coste\_Unitario = \frac{Costes\_Fijos}{Nº\_Unidades}$ Cuanto más producimos, menor es el impacto de los costes fijos en cada unidad, aunque nunca llegará a ser cero (asíntota horizontal).

Tiene la forma $f(x) = a^x$, donde la base $a$ debe ser un número positivo y distinto de 1 ($a > 0, a \neq 1$).

• Si $a > 1$: La función es creciente (ej. propagación de un virus).
• Si $0 < a < 1$: La función es decreciente (ej. pérdida de valor de una moneda).
• Puntos fijos: Todas pasan por $(0, 1)$ porque $a^0 = 1$, y por $(1, a)$.
• Asíntota: Tienen una asíntota horizontal en el eje X ($y = 0$) hacia uno de los extremos.

En contextos científicos y económicos de capitalización continua, se utiliza la base irracional $e \approx 2,71828...$. La función $f(x) = e^x$ es la exponencial natural. Su importancia radica en que su tasa de crecimiento en cualquier punto es igual al valor de la función en ese punto, lo que facilita enormemente los cálculos en modelos de crecimiento biológico y financiero.

La gráfica de $y = a^x$ puede modificarse:

• $y = a^{x-k}$: Desplazamiento horizontal.
• $y = a^x + c$: Desplazamiento vertical (la asíntota horizontal pasa a ser $y = c$).
• $y = -a^x$: Reflexión respecto al eje X.
• $y = a^{-x}$: Reflexión respecto al eje Y (equivale a $(1/a)^x$).

Por definición: ==$\log_a(x) = y \iff a^y = x$==. Esto implica que el dominio de la función logarítmica es solo $(0, +\infty)$, ya que no existen potencias de base positiva que den como resultado un número negativo o cero.

• Logaritmos decimales: Base 10, se escriben $\log(x)$.
• Logaritmos neperianos: Base $e$, se escriben $\ln(x)$.

La gráfica de $f(x) = \log_a(x)$ es la simétrica de $a^x$ respecto a la bisectriz del primer cuadrante ($y=x$).

• Tiene una asíntota vertical en $x = 0$.
• Pasa siempre por los puntos $(1, 0)$ y $(a, 1)$.
• Su crecimiento es extremadamente lento comparado con funciones polinómicas o exponenciales.

Para resolver problemas complejos, aplicamos las propiedades operativas:

1. Producto: $\log_a(M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$
2. Cociente: $\log_a(M / N) = \log_a M - \log_a N$
3. Potencia: $\log_a(M^n) = n \cdot \log_a M$
4. Cambio de base: $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$ (fundamental para usar la calculadora).

Existen tres estrategias principales:

1. Igualación de bases: Si logramos que $a^f(x) = a^g(x)$, entonces $f(x) = g(x)$.
2. Cambio de variable: En ecuaciones como $2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$, hacemos $t = 2^x$ para obtener una ecuación de segundo grado ($t^2 - 5t + 4 = 0$).
3. Uso de logaritmos: Si las bases no son iguales (ej. $2^x = 7$), aplicamos logaritmos en ambos lados: $x \log 2 = \log 7 \implies x = \frac{\log 7}{\log 2}$.

El objetivo es llegar a una expresión del tipo $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ para igualar los argumentos. ¡Importante! Al finalizar, es obligatorio comprobar las soluciones en la ecuación original para asegurar que no resulten logaritmos de números negativos o cero.

Se resuelven combinando métodos algebraicos clásicos (sustitución, reducción) con las propiedades anteriores. En sistemas logarítmicos, solemos transformar las ecuaciones logarítmicas en lineales usando la definición de logaritmo o sus propiedades.

Es la aplicación reina en economía. Si invertimos un capital $C_0$ a un interés anual $r$ (en decimal) durante $t$ años, el capital final $C_f$ es: $C_f = C_0 \cdot (1 + i)^t$ Si la capitalización es continua (los intereses se reinvierten instantáneamente), usamos el número $e$: $C_f = C_0 \cdot e^{r \cdot t}$. Los logaritmos nos permiten calcular cuánto tiempo ($t$) tardaremos en duplicar una inversión.

El modelo malthusiano básico sigue la fórmula $P(t) = P_0 \cdot e^{k \cdot t}$, donde $k$ es la tasa de crecimiento. Se usa para predecir la evolución de la población humana, bacterias o la difusión de una noticia en redes sociales.

• Vida media: Tiempo necesario para que una sustancia radiactiva se reduzca a la mitad. Sigue una función exponencial decreciente.
• Escalas Logarítmicas: En Ciencias Sociales y Geología, se usan para comprimir rangos de datos muy amplios.
  • Escala Richter: Un terremoto de grado 6 es 10 veces más intenso que uno de grado 5.
  • pH: Mide la acidez mediante el logaritmo de la concentración de iones de hidrógeno.