Iniciación a la derivada de una función

La Tasa de Variación Media (TVM) de una función $f(x)$ en un intervalo cerrado $[a, b]$ representa cuánto cambia la función, en promedio, por cada unidad que aumenta la variable independiente $x$.

Se define mediante la fórmula: $TVM[a, b] = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

• Interpretación geométrica: La TVM coincide con la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $P(a, f(a))$ y $Q(b, f(b))$.
• Ejemplo práctico: Si $f(x) = x^2 + 1$ en el intervalo $[1, 3]$: $TVM[1, 3] = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{(3^2+1) - (1^2+1)}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4$

Si queremos saber qué ocurre en un punto exacto $a$, debemos hacer que el intervalo $[a, b]$ sea cada vez más pequeño. Si llamamos $h$ a la diferencia $b - a$, entonces $b = a + h$. Cuando $h$ tiende a cero, obtenemos la Tasa de Variación Instantánea (TVI).

La derivada de una función en un punto $x = a$ se define como: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

La derivada es el límite de la Tasa de Variación Media cuando el incremento de la variable tiende a cero. Físicamente, si $f(t)$ es la posición de un objeto, su derivada $f'(t)$ representa la velocidad instantánea.

Desde un punto de vista visual, la derivada $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = a$.

1. Ecuación de la recta tangente: Utilizando la fórmula punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$
2. Ecuación de la recta normal: Es la recta perpendicular a la tangente en el punto de contacto. Su pendiente es la inversa negativa de la derivada: $y - f(a) = \frac{-1}{f'(a)} \cdot (x - a)$

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La función derivada $f'(x)$ es una nueva función que asocia a cada valor de $x$ la pendiente de la recta tangente a $f$ en ese punto.

• Derivabilidad y continuidad: Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. Sin embargo, ser continua no garantiza ser derivable (ejemplo: los puntos angulosos como el valor absoluto).
• Cálculo formal: Se obtiene aplicando el límite general: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.

Para agilizar los cálculos, utilizamos tablas de derivadas obtenidas a partir de la definición:

Si tenemos dos funciones $u$ y $v$ que dependen de $x$:

1. Suma/Riferencia: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
2. Producto: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
3. Cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

Es la regla fundamental para derivar funciones compuestas $f(g(x))$. $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

En la práctica, esto significa que derivamos la función exterior manteniendo la interior intacta, y luego multiplicamos por la derivada de la función interior.

• Ejemplo: Si $f(x) = (3x^2 + 1)^5$, su derivada es $f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot (6x)$.

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La primera derivada nos indica la inclinación de la función, lo que permite determinar su crecimiento:

• Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, la función es creciente.
• Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, la función es decreciente.
• Si $f'(x) = 0$, el punto se denomina punto crítico o singular (posible máximo, mínimo o punto de inflexión horizontal).

Los máximos y mínimos locales se encuentran donde la función cambia de tendencia.

• Máximo relativo: La función pasa de crecer a decrecer ($f'(x)$ cambia de $+$ a $-$).
• Mínimo relativo: La función pasa de decrecer a crecer ($f'(x)$ cambia de $-$ a $+$).

Criterio de la segunda derivada: Si $f'(a) = 0$:

• Si $f''(a) < 0$, hay un máximo en $x = a$.
• Si $f''(a) > 0$, hay un mínimo en $x = a$.

La segunda derivada $f''(x)$ estudia la forma de la curva:

• Convexa ($\cup$): Si $f''(x) > 0$. (En algunos textos llamada cóncava hacia arriba).
• Cóncava ($\cap$): Si $f''(x) < 0$. (En algunos textos llamada cóncava hacia abajo).
• Punto de Inflexión: Es el punto donde la curvatura cambia. Se busca resolviendo $f''(x) = 0$ y comprobando que $f'''(x) \neq 0$.

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La optimización consiste en encontrar el valor máximo o mínimo de una magnitud (área, volumen, coste, beneficio).

1. Definir la función objetivo: La variable que queremos optimizar, e.g., $A(x, y)$.
2. Relación entre variables: Buscar una ecuación que ligue las variables (ligadura) para dejar la función objetivo con una sola incógnita.
3. Derivar e igualar a cero: Hallar los puntos críticos.
4. Comprobar: Verificar que es el extremo deseado mediante la segunda derivada o el estudio del signo.

Para dibujar la gráfica de una función con precisión, seguimos este esquema:

1. Dominio y cortes con los ejes.
2. Asíntotas (Verticales, Horizontales y Oblicuas).
3. Monotonía y Extremos: Usando $f'(x)$.
4. Curvatura e Inflexión: Usando $f''(x)$.
5. Tabla de valores clave.

La derivada es la herramienta estándar para medir tasas de cambio:

• Cinemática: Si $s(t)$ es el espacio, $v(t) = s'(t)$ es la velocidad y $a(t) = v'(t) = s''(t)$ es la aceleración.
• Biología: Crecimiento de una población de bacterias en un tiempo determinado.
• Economía: Coste marginal (derivada del coste total respecto a la producción).

Dominar el cálculo de derivadas es la llave para entender el comportamiento dinámico de cualquier sistema científico.