Números reales y números complejos

El conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es el resultado de la unión de los números racionales e irracionales. Se caracteriza por ser un conjunto denso, lo que significa que entre dos números reales siempre existe otro número real.

• Números Racionales ($\mathbb{Q}$): Son aquellos que pueden expresarse como una fracción $\frac{a}{b}$, donde $a, b \in \mathbb{Z}$ y $b \neq 0$. Su expresión decimal es exacta o periódica.
• Números Irracionales ($\mathbb{I}$): Son aquellos que no pueden expresarse como fracción. Tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos clásicos son $\sqrt{2}$, $\pi$ o el número $e$.

Todos los números reales pueden representarse en una recta numérica, donde a cada punto de la recta le corresponde un único número real y viceversa. Esta correspondencia biunívoca es lo que permite visualizar las operaciones matemáticas geométricamente.

Para trabajar con conjuntos de números en la recta real, utilizamos los intervalos, que son segmentos o semirrectas de la recta real.

El concepto de entorno de centro $a$ y radio $r$, denotado como $E(a, r)$, define el intervalo abierto $(a-r, a+r)$. Es fundamental para entender el concepto de límite. Un entorno reducido $E^*(a, r)$ es igual al entorno anterior pero excluyendo el propio punto $a$.

El valor absoluto de un número $x$, denotado por $|x|$, representa su distancia al origen (cero) y siempre es un valor no negativo: $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

En el ámbito científico, trabajamos con aproximaciones. Al redondear un número, cometemos errores que debemos cuantificar:

1. Error Absoluto ($E_a$): $|Valor_{real} - Valor_{aproximado}|$.
2. Error Relativo ($E_r$): $\frac{E_a}{|Valor_{real}|}$. Suele expresarse en porcentaje y mide la calidad de la aproximación.

Un radical es una expresión de la forma $\sqrt[n]{a^m}$, que también puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario: $a^{m/n}$.

Las propiedades clave para operar con radicales incluyen:

• Producto/Cociente de igual índice: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
• Potencia de un radical: $(\sqrt[n]{a})^p = \sqrt[n]{a^p}$.
• Raíz de una raíz: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.

La racionalización es el proceso de eliminar radicales del denominador. Si tenemos $\frac{1}{\sqrt{a}}$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$. Si tenemos un binomio como $\frac{1}{a+\sqrt{b}}$, multiplicamos por su conjugado $\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}$ para aprovechar la identidad notable $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$.

El logaritmo en base $a$ de un número $b$ es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número: $\log_a b = x \iff a^x = b$

Propiedades fundamentales:

• $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a x^n = n \cdot \log_a x$
• Cambio de base: $\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}$

Los logaritmos más usados son los decimales (base 10) y los neperianos (base $e \approx 2,7182$).

Se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños mediante el producto de un número decimal (mantisa) entre 1 y 10, y una potencia de 10.

• Ejemplo: $0,000054 = 5,4 \cdot 10^{-5}$.
• El orden de magnitud es la potencia de 10 más cercana al número.

Los números complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$, que no tienen solución en $\mathbb{R}$. Se define la unidad imaginaria $i$ como: $i = \sqrt{-1} \implies i^2 = -1$

Las potencias de $i$ siguen un ciclo de 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$. Para calcular $i^n$, se divide $n$ entre 4 y el resto nos da la potencia equivalente.

Un número complejo $z$ en forma binómica se escribe como: $z = a + bi$ Donde $a$ es la parte real y $b$ es la parte imaginaria.

• Si $b=0$, $z$ es un número real.
• Si $a=0$, $z$ es un imaginario puro.

Se representan en el plano de Argand (eje X para la parte real, eje Y para la imaginaria). El conjugado de $z$ es $\bar{z} = a - bi$, y su opuesto es $-z = -a - bi$.

1. Suma y Resta: Se operan las partes reales e imaginarias por separado. $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$.
2. Multiplicación: Se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que $i^2 = -1$.
3. División: Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para eliminar la $i$ de abajo. $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$

Un número complejo también puede definirse por su longitud y su ángulo respecto al eje real positivo.

• Módulo ($r$ o $|z|$): Es la distancia al origen. $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Argumento ($\alpha$): Es el ángulo que forma el vector con el eje real. $\alpha = \arctan(\frac{b}{a})$.

La forma polar se escribe como $r_\alpha$ y la forma trigonométrica como: $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$

La forma polar simplifica enormemente la multiplicación, división y potenciación:

• Producto: $r_\alpha \cdot r'_\beta = (r \cdot r')_{\alpha + \beta}$ (se multiplican módulos y suman argumentos).
• Cociente: $\frac{r_\alpha}{r'_\beta} = (\frac{r}{r'})_{\alpha - \beta}$ (se dividen módulos y restan argumentos).
• Potenciación (Fórmula de Moivre): $(r_\alpha)^n = r^n_{n \cdot \alpha}$. $[r(\cos \alpha + i \sin \alpha)]^n = r^n(\cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha))$

Todo número complejo $z = r_\alpha$ tiene exactamente $n$ raíces n-ésimas. Todas tienen el mismo módulo $\sqrt[n]{r}$, pero sus argumentos varían: $\beta_k = \frac{\alpha + 360^\circ \cdot k}{n} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, \dots, n-1$

Geométricamente, las raíces n-ésimas son los vértices de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $\sqrt[n]{r}$. Por ejemplo, las tres raíces cúbicas de un número forman un triángulo equilátero.